微積分基本定理 課件.ppt

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1、bxxxxxa nn 1210 , 1 iii xx 任 取 ni i xf1 )(做 和 式 ： 常 數(shù) ）且 有 ， (/)(lim 10 Anabfni in 復(fù) 習(xí) ： 1、 定 積 分 是 怎 樣 定 義 ？設(shè) 函 數(shù) f（ x） 在 a， b上 連 續(xù) ， 在 a， b中 任 意 插 入 n-1個(gè) 分 點(diǎn) ：把 區(qū) 間 a,b等 分 成 n個(gè) 小 區(qū) 間 ，, 1 ii xx 在 每 個(gè) 小 區(qū) 間 ./)( 1 nabfni i ba dxxf )(則 ， 這 個(gè) 常 數(shù) A稱 為 f(x)在 a， b上 的 定 積 分 (簡(jiǎn) 稱 積 分 )記 作 nfdxxf n i iba

2、/a)-b)(lim)(A 10n （即 xfS ii )( 被積函數(shù) 被積表達(dá)式 積分變量 積 分 區(qū) 間, ba積 分 上 限積 分 下 限 nfdxxf ni iba /a)-b)(lim)(A 10n （即 積 分 和 1、如果函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)且f（x）0時(shí)，那么：定積分 就表示以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積。ba dxxf )( 2、定積分 的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯形面積的代數(shù)和來(lái)表示。 ba dxxf )( 1S 2S 3S321 SSSdxxfba )( 復(fù) 習(xí) ： 2、 定 積 分 的 幾 何 意 義 是 什 么 ？ ,0)( xf ba Adxxf )( 曲

3、 邊 梯 形 的 面 積,0)( xf ba Adxxf )( 曲 邊 梯 形 的 面 積 的 負(fù) 值4321)( AAAAdxxfba 說(shuō)明：1A 2A 3A 4A 定 積 分 的 簡(jiǎn) 單 性 質(zhì)(1) ( ) ( ) ( )b ba akf x dx k f x dx k 為 常 數(shù)1 2 1 2(2) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x f x dx f x dx f x dx (3) ( ) ( ) ( ) (acb) b c ba a cf x dx f x dx f x dx 題 型 1： 定 積 分 的 簡(jiǎn) 單 性 質(zhì) 的 應(yīng) 用 2008200710 21

4、 32 )()()()(1 dxxfdxxfdxxfdxxf 、 化 簡(jiǎn) 481,9,29,32 30 330 230 30 dxxdxxxdxdx、 已 知 ， ?)1512218()2( ?)86341 230 3 2330 dxxxx dxxxx（）（ 求 ：點(diǎn) 評(píng) ：運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以化簡(jiǎn)定積分計(jì)算，也可以把一個(gè)函數(shù)的定積分化成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)定積分的和或差 題 型 2： 定 積 分 的 幾 何 意 義 的 應(yīng) 用 ？、 31 41 dx ？、 a xdx02 ？、 dxx 30 293 8 221 a 問(wèn) 題 1： 你 能 求 出 下 列 格 式 的 值 嗎 ？ 不 妨 試 試 。49

5、 問(wèn) 題 2： 一 個(gè) 作 變 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) 的 物 體 的 運(yùn) 動(dòng) 規(guī)律 S S(t)。 由 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 可 以 知 道 ， 它 在 任 意時(shí) 刻 t的 速 度 v(t) S （ t)。 設(shè) 這 個(gè) 物 體 在 時(shí) 間段 a， b 內(nèi) 的 位 移 為 S， 你 能 分 別 用 S(t)， v(t)來(lái) 表 示 S嗎 ？ 從 中 你 能 發(fā) 現(xiàn) 導(dǎo) 數(shù) 和 定 積 分 的 內(nèi) 在聯(lián) 系 嗎 ？ 另一方面，從導(dǎo)數(shù)角度來(lái)看：如果已知該變速直線運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)為s=s(t)，則在時(shí)間區(qū)間a,b內(nèi)物體的位移為s(b)s(a)， 所以又有 ).()(d)( asbsttvba 由于 ，即s(t

6、)是v(t)的原函數(shù)，這就是說(shuō)，定積分 等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間a,b上的增量s(b)s(a).)()( tvts ba ttv d)( 從定積分角度來(lái)看：如果物體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為v=v(t)，那么在時(shí)間區(qū)間a,b內(nèi)物體的位移s可以用定積分表示為.d)( ba ttvs 探 究 新 知 ： tOy tyy Bni SSSSS 21 a ay bS a(t ) 0 t1 it 1 it nb(t )nt 1t2 S1S2 iS nS1h 2h ih nhA by aybyS ttvS ii 1 嗎 ？表 示， 你 能 分 別 用內(nèi) 的 位 移 為時(shí) 間 段 設(shè) 這 個(gè) 物 體

7、在的 速 度 為時(shí) 刻的 概 念 可 知 ， 它 在 任 意 由 導(dǎo) 數(shù)是運(yùn) 動(dòng) 的 物 體 的 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律如 圖 ： 一 個(gè) 作 變 速 直 線 S, , ,tvtySba tytvt tyy 1 itynab ty i 1 aybyS ba dtty tyy ay by ni SSSSS 21 111 iiii tynabttyttvS ttytDPChS iii 1tan ttvS ni in 1 1lim ni in tty1 1lim dttv ba aybydttyS ba 微積分基本定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，并且F(x)f（x)，則， ba aFbFxxf )(

8、)(d)(這個(gè)結(jié)論叫微 積 分 基 本 定 理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛頓萊布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula). ).()()(d)( aFbFxFxxf baba 或記作 說(shuō)明：牛 頓 萊 布 尼 茨 公 式 提 供 了 計(jì) 算 定 積 分 的 簡(jiǎn) 便的 基 本 方 法 ， 即 求 定 積 分 的 值 ， 只 要 求 出 被 積函 數(shù) f(x)的 一 個(gè) 原 函 數(shù) F(x)， 然 后 計(jì) 算 原 函 數(shù)在 區(qū) 間 a,b上 的 增 量 F(b) F(a)即 可 .該 公 式把 計(jì) 算 定 積 分 歸 結(jié) 為 求 原 函

9、 數(shù) 的 問(wèn) 題 。 例 1 計(jì) 算 下 列 定 積 分 解 （ ）( ) ( )| ( ) ( )b baa f x dx F x F b F a 找 出 f(x)的 原函 數(shù) 是 關(guān) 鍵 dxx21 11 31 22 xdx xx 1ln 2ln1ln2lnln1 2121 xdxx abxdxx baba lnlnln11 ：公 式 81322 223131 2 xxdx 練 習(xí) 1: _4 _3 _2 _11 21 310 310 10 dxxdxxxdx dx 12141415 banba n nxdxx 12 1 ：公 式 例 計(jì) 算 定 積 分 解 : dxxx 31 22 13

10、 223 11,3 xxxx dxxdxxdxxdxx 31 231 231 231 2 1313原 式 3761131131 3331313 xx 達(dá) 標(biāo) 練 習(xí) ： _14 _1233 _12 _231 2121 221 10 2 dxe dxxx dxxx dtt x 1 2ln23 91 2 ee 初 等 函 數(shù) 微 積 分 基 本 定 理 )()()( aFbFdxxfba 三 、 小 結(jié) banba n nxdxx 12 1 ：公 式 abxdxx baba lnlnln11 ：公 式 |bacx 11 |1 n baxn + cos | bax-sin |bax 定 積 分 公

11、式 6)( )x x b xa e dxe e 7)( ) ln ax bx xa dxa a a 15)(ln ) 1bax x dxx 1)( ) bacx c cdx 12) b nn n ax nx dxx 3)(sin ) cos cosba xdxx x 4)(cos ) sin sinba xdxx x ln| |bax|x bae |ln x baa a 牛 頓 牛 頓 ， 是 英 國(guó) 偉 大 的 數(shù) 學(xué) 家 、 物 理 學(xué) 家 、天 文 學(xué) 家 和 自 然 哲 學(xué) 家 。 1642年 12月 25日生 于 英 格 蘭 林 肯 郡 格 蘭 瑟 姆 附 近 的 沃 爾 索普 村

12、,1727年 3月 20日 在 倫 敦 病 逝 。 牛 頓 1661年 入 英 國(guó) 劍 橋 大 學(xué) 三 一 學(xué) 院 ，1665年 獲 文 學(xué) 士 學(xué) 位 。 隨 后 兩 年 在 家 鄉(xiāng) 躲避 瘟 疫 。 這 兩 年 里 ， 他 制 定 了 一 生 大 多 數(shù)重 要 科 學(xué) 創(chuàng) 造 的 藍(lán) 圖 。 1667年 回 劍 橋 后 當(dāng)選 為 三 一 學(xué) 院 院 委 ， 次 年 獲 碩 士 學(xué) 位 。1669年 任 盧 卡 斯 教 授 直 到 1701年 。 1696年任 皇 家 造 幣 廠 監(jiān) 督 ， 并 移 居 倫 敦 。 1703年任 英 國(guó) 皇 家 學(xué) 會(huì) 會(huì) 長(zhǎng) 。 1706年 受 女 王 安

13、 娜封 爵 。 他 晚 年 潛 心 于 自 然 哲 學(xué) 與 神 學(xué) 。 牛 頓 在 科 學(xué) 上 最 卓 越 的 貢 獻(xiàn) 是 微 積 分和 經(jīng) 典 力 學(xué) 的 創(chuàng) 建 。 返 回 萊 布 尼 茲萊 布 尼 茲 ， 德 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 、 哲 學(xué) 家 ， 和 牛 頓同 為 微 積 分 的 創(chuàng) 始 人 ； 1646年 7月 1日 生 于萊 比 錫 ， 1716年 11月 14日 卒 于 德 國(guó) 的 漢 諾威 。 他 父 親 是 萊 比 錫 大 學(xué) 倫 理 學(xué) 教 授 ， 家庭 豐 富 的 藏 書(shū) 引 起 他 廣 泛 的 興 趣 。 1661年入 萊 比 錫 大 學(xué) 學(xué) 習(xí) 法 律 ， 又 曾 到 耶

14、 拿 大 學(xué)學(xué) 習(xí) 幾 何 ， 1666年 在 紐 倫 堡 阿 爾 特 多 夫 取 得 法 學(xué) 博 士 學(xué) 位 。他 當(dāng) 時(shí) 寫(xiě) 的 論 文 論 組 合 的 技 巧 已 含 有 數(shù) 理 邏輯 的 早 期 思 想 ， 后 來(lái) 的 工 作 使 他 成 為 數(shù) 理 邏 輯 的 創(chuàng) 始 人 。1667年 他 投 身 外 交 界 ， 曾 到 歐 洲 各 國(guó) 游 歷 。 1676年 到 漢諾 威 ， 任 腓 特 烈 公 爵 顧 問(wèn) 及 圖 書(shū) 館 的 館 長(zhǎng) ， 并 常 居 漢 諾 威 ，直 到 去 世 。 萊 布 尼 茲 的 多 才 多 藝 在 歷 史 上 很 少 有人 能 和 他 相 比 ， 他 的

15、著 作 包 括 數(shù) 學(xué) 、 歷 史 、 語(yǔ) 言 、 生 物、 地 質(zhì) 、 機(jī) 械 、 物 理 、 法 律 、 外 交 等 各 個(gè) 方 面 。 返 回 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式 11. ( ) , ( ) 0;2. ( ) , ( ) ;3. ( ) sin , ( ) cos ;4. ( ) cos , ( ) sin ;5. ( ) , ( ) ln ( 0);6. ( ) , ( ) ; 17. ( ) log , ( ) ( 0, 1); ln8. n nx xx xaf x c f xf x x f x nxf x x f x xf x x f x xf x a f

16、x a a af x e f x ef x x f x a ax a 公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則公 式 若 則 且公 式 若 1( ) ln , ( ) ;f x x f x x 則 返 回 nx1nnx 1x1lnx asinxcosx sinxcosx xexalnxa a xec0函 數(shù) f(x)導(dǎo) 函 數(shù)f(x)回 顧 ： 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式 loga x lnx被 積函 數(shù) f(x)一 個(gè) 原函 數(shù) F(x)新 知 ： 基 本 初 等 函 數(shù) 的 原 函 數(shù) 公 式c cx nx 11 1 nxn si

17、nxcosx sinxcosx xalnxaa xexe 1x .xdxsin,dxxsin,dxxsin :2 2020 計(jì)算下列定積分例 00 |xcosdxxsin,xsinxcos 因 為解 ;20coscos 2 2 |xcosdxxsin ;2cos2cos 202 |xcosdxxsin 0 .00cos2cos 問(wèn) 題 ：通過(guò)計(jì)算下列定積分，進(jìn)一步說(shuō)明其定積分的幾何意義。通過(guò)計(jì)算結(jié)果能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論2 sin xdx 20 sin xdx 我 們 發(fā) 現(xiàn) ：（ ） 定 積 分 的 值 可 取 正 值 也 可 取 負(fù) 值 ， 還 可 以 是 0；

18、（ 2） 當(dāng) 曲 邊 梯 形 位 于 x軸 上 方 時(shí) ， 定 積 分 的 值 取 正 值 ；（ 3） 當(dāng) 曲 邊 梯 形 位 于 x軸 下 方 時(shí) ， 定 積 分 的 值 取 負(fù) 值 ；（ 4） 當(dāng) 曲 邊 梯 形 位 于 x軸 上 方 的 面 積 等 于 位 于 x軸 下 方的 面 積 時(shí) ， 定 積 分 的 值 為 0得 到 定 積 分 的 幾 何 意 義 ：曲邊梯形面積的代數(shù)和。 的 解 析 式求 且點(diǎn)是 一 次 函 數(shù) ， 其 圖 象 過(guò)、 已 知 )(,1)( ),4,3()(110 xfdxxf xf 微積分與其他函數(shù)知識(shí)綜合舉例： 的 最 大 值 。求、 已 知 )(,)2()(2 10 22 afdxxaaxaf 練 一 練 ： 已 知 f(x)=ax+bx+c,且 f(-1)=2,f(0)=0,的 值求 cbadxxf ,2)(10 例 1 求 .)1sincos2(20 dxxx原 式 20(2sin cos )|x x x .23 例 2 設(shè) , 求 . 215 102)( xxxxf 20 )( dxxf解解 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf 在 2,1 上 規(guī) 定 當(dāng) 1x 時(shí) ， 5)( xf , 10 2152 dxxdx原 式 .6 x yo 1 2