2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 難點(diǎn)2.12 推理與新定義問(wèn)題教學(xué)案 理.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 難點(diǎn)2.12 推理與新定義問(wèn)題教學(xué)案 理隨著新課標(biāo)的深入實(shí)施，素質(zhì)教育要求不斷提高，全國(guó)各地的高考試卷都相繼推出了以能力立意為目標(biāo)，以增大思維容量為特色，具有相當(dāng)濃度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型脫穎而出，為高考試題增添了活力縱觀近年各地高考的創(chuàng)新題型，不難發(fā)現(xiàn)，推理與“新定義”型這種題目是高考試題的一大熱點(diǎn)所謂“新定義”型問(wèn)題，主要是指在問(wèn)題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些新概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有的知識(shí)、能力進(jìn)行理解，并根據(jù)新的定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型這類(lèi)題目具有啟發(fā)性、思考性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點(diǎn)，由于它構(gòu)思巧妙，題意新穎，是考察學(xué)生綜合素質(zhì)和能力、挖掘?qū)W生潛力的較佳題型，因而它受到的青睞一新定義以新課標(biāo)內(nèi)容為背景，這種類(lèi)型的問(wèn)題很多，一般是以新課標(biāo)教材內(nèi)容為背景，給出某種新概念、新運(yùn)算（符號(hào)）、新法則（公式）等，學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新運(yùn)算（符號(hào)）、新法則（公式）之后，運(yùn)用新課標(biāo)學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等尋求問(wèn)題解決縱觀這幾年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)，“新定義”型問(wèn)題按其命題背景可分為三種類(lèi)型：以新課標(biāo)內(nèi)容為背景、以高等數(shù)學(xué)為背景、以跨學(xué)科為背景現(xiàn)就相關(guān)類(lèi)型作探討：1新定義集合所謂“新定義集合”，給出集合元素滿(mǎn)足的性質(zhì)，探討集合中的元素屬性，要求有較高的抽象思維和邏輯推理能力由于此類(lèi)題目編制角度新穎，突出能力立意，突出學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查，特別能夠考查學(xué)生“現(xiàn)場(chǎng)做題”的能力，并且在近幾年高考模擬試題和高考試題中出現(xiàn)頻繁出現(xiàn)下面選取幾例進(jìn)行分類(lèi)歸納，解題時(shí)應(yīng)時(shí)刻牢記集合元素的三要素：確定性，互異性，無(wú)序性例1已知集合，若對(duì)于任意，存在，使得成立，則稱(chēng)集合是“理想集合”.給出下列4個(gè)集合：；.其中所有“理想集合”的序號(hào)是（ ）A. B. C. D.【答案】B的點(diǎn)都能找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn),使得成立，故正確；項(xiàng)由圖象可得，直角始終存在，故正確；項(xiàng)，由圖象可知，點(diǎn)在曲線(xiàn)上不存在另外一個(gè)點(diǎn)，使得成立，故錯(cuò)誤；綜合正確，所以選B.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，元素與集合的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想，推理分析與綜合運(yùn)算能力，屬于難題，此類(lèi)新定義問(wèn)題最主要是弄明白問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是什么，對(duì)于此題而言，通過(guò)可得出就是在函數(shù)的曲線(xiàn)上找任意一個(gè)點(diǎn)都能找到一個(gè)點(diǎn),使得成立，找到新定義的含義了，剩余的選項(xiàng)中都是我們所熟知的基本初等函數(shù)，可通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析即可求解，所以對(duì)新定義的轉(zhuǎn)化能力是解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.2新定義函數(shù)例2【xx湖南株洲兩校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若f（x）滿(mǎn)足條件：存在a，bD（ab），使f（x）在a，b上的值域也是a，b，則稱(chēng)為“優(yōu)美函數(shù)”，若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D點(diǎn)評(píng)：定義新函數(shù)的定義域與值域相同，先判定函數(shù)的單調(diào)性，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程根的情況，本題的關(guān)鍵也是能否轉(zhuǎn)化為函數(shù)根的問(wèn)題，然后求解.例3若函數(shù)在區(qū)間上，均可為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)為“三角形函數(shù)”已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A B C D【答案】A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查考生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.解答本題首先通過(guò)給出的定義把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，得到最小值，通過(guò)比較區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值求出最大值，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，進(jìn)而求得其范圍.3新定義數(shù)列例4. 【上海市靜安區(qū)xx屆質(zhì)檢】設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：；所有項(xiàng)； 設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為換句話(huà)說(shuō)， 是數(shù)列中滿(mǎn)足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值我們稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列例如，數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3（1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項(xiàng)和思路分析：（1）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義求出數(shù)列；（2）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得： ，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)分類(lèi)討論求出伴隨數(shù)列的前100項(xiàng)以及它們的和；（3）由題意和與的關(guān)系式求出，代入得，并求出伴隨數(shù)列的各項(xiàng)，再對(duì)分類(lèi)討論，分別求出伴隨數(shù)列的前項(xiàng)和（3） ，當(dāng)時(shí)， ， ，由得： ，使得成立的的最大值為， ，當(dāng)時(shí)： ，當(dāng)時(shí)： ，當(dāng)時(shí)： ，點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，著重考查對(duì)抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，觀察、分析尋找規(guī)律是難點(diǎn)，是難題4 定義新運(yùn)算型例5【四川省成都市xx屆12月月考】定義一種運(yùn)算，若，當(dāng)有5個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A點(diǎn)評(píng)：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 .5 定義新法則型例6一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱(chēng)為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?），已知某種二元碼 的碼元滿(mǎn)足如下校驗(yàn)方程組： 其中運(yùn)算 定義為：現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第 位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定 等于 思路分析：根據(jù)二元碼及新定義，分析新定義的特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算求得.【答案】點(diǎn)評(píng)：本題以二元碼為背景考查新定義問(wèn)題，解決時(shí)候要耐心讀題，并分析新定義的特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的對(duì)于新法則，關(guān)鍵在于找到元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以借助圖表等方法尋找它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)關(guān)系列方程6 以高等數(shù)學(xué)為背景本類(lèi)型的題目通常是以高等數(shù)學(xué)符號(hào)、概念直接出現(xiàn)或以高等數(shù)學(xué)概念、定理作為依托融于初等數(shù)學(xué)知識(shí)中此類(lèi)問(wèn)題的設(shè)計(jì)雖來(lái)源于高等數(shù)學(xué)，但一般是起點(diǎn)高，落點(diǎn)低，它的解決的方法還是運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能這要求學(xué)生認(rèn)真閱讀相關(guān)定義或方法，在充分理解題意的基礎(chǔ)上，結(jié)合已有的知識(shí)進(jìn)行解題例7對(duì)于使成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值1，稱(chēng)為函數(shù)的“下確界”，若的“下確界”為A、8 B、6 C、 4 D、1【思路分析】根據(jù)“下確界”的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值.【解析】由且，即，從而，由“下確界”的定義得“下確界”為點(diǎn)評(píng)：本題要充分理解題意，準(zhǔn)確把握“下確界”的實(shí)質(zhì)是什么？從而轉(zhuǎn)化求的最小值的問(wèn)題，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，便能求出相應(yīng)函數(shù)的最值3 以跨學(xué)科為背景本類(lèi)型的題目，主要是介紹數(shù)學(xué)知識(shí)在其他學(xué)科或領(lǐng)域的運(yùn)用，一般都會(huì)介紹運(yùn)用時(shí)的知識(shí)背景、數(shù)學(xué)模型，因而題中文字、信息較多學(xué)生必須準(zhǔn)確地把握題意、理順線(xiàn)索、分析相應(yīng)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)和能力進(jìn)行推理、運(yùn)算例8設(shè)數(shù)列A： ， , ().如果對(duì)小于()的每個(gè)正整數(shù)都有 ，則稱(chēng)是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組成的集合.（1）對(duì)數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫(xiě)出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得，則 ；（3）證明：若數(shù)列A滿(mǎn)足- 1（n=2,3, ,N）,則的元素個(gè)數(shù)不小于 -.思路分析：（1）關(guān)鍵是理解G時(shí)刻的定義，根據(jù)定義即可寫(xiě)出的所有元素；（2）要證，即證中含有一元素即可；（3）當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.只要證明當(dāng)時(shí)仍然成立即可.點(diǎn)評(píng)：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題要注意分析題意，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型，數(shù)列的綜合問(wèn)題涉及到的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如：求和或應(yīng)用)、特殊到一般思想(如：求通項(xiàng)公式)、分類(lèi)討論思想(如：等比數(shù)列求和，或)等.由上各例可見(jiàn)，“新定義”型的問(wèn)題，通常是選取合適的數(shù)學(xué)背景，把新定義、新運(yùn)算、新符號(hào)等巧妙的融入高考試題中來(lái)，雖然它的構(gòu)思巧妙、題意新穎、隱蔽性強(qiáng)，到處都體現(xiàn)出新意，但是，它考查的還是基本知識(shí)和基本技能，解題的關(guān)鍵在于全面準(zhǔn)確理解題意，科學(xué)合理的推理運(yùn)算因此，“新題”不一定是“難題”，只有夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握好雙基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是我們?nèi)俚姆▽毝评韱?wèn)題最近幾年,在高考數(shù)學(xué)命題中,在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況的同時(shí),也逐漸加大了對(duì)學(xué)生綜合應(yīng)用能力的考查.合情推理創(chuàng)新題型的考查力度增大,要求考生在推理過(guò)程中具備獨(dú)特的方法和技巧.這類(lèi)題型在高考試題中的位置較為特殊,尤其是“類(lèi)比推理”和“歸納推理”題型.1類(lèi)比推理類(lèi)比推理是由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和已知其中一類(lèi)對(duì)象的某些特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理.類(lèi)比推理在具體實(shí)施過(guò)程中，關(guān)鍵是找到兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征.然后，用一類(lèi)對(duì)象的已知特征，去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得到一個(gè)猜想，最后檢驗(yàn)這個(gè)猜想.它是數(shù)學(xué)的重要方法之一.要找到類(lèi)比，往往需要一點(diǎn)想象力和創(chuàng)新精神，在高中階段類(lèi)比方向主要集中在等差數(shù)列與等比數(shù)列，平面幾何與立體幾何，平面向量與空間向量等.例9已知是的三邊，若滿(mǎn)足，即，為直角三角形，類(lèi)比此結(jié)論：若滿(mǎn)足時(shí)，的形狀為_(kāi)（填“銳角三角形”，“直角三角形”或“鈍角三角形”）思路分析：本題考查解三角形、類(lèi)比推理，涉及分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先判斷得最大，則角最大，故該三角形為銳角三角形.【答案】銳角三角形 ，故該三角形為銳角三角形.點(diǎn)評(píng)：類(lèi)比推理是合情推理中的一類(lèi)重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類(lèi)事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類(lèi)比遷移的客觀因素，類(lèi)比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比，也可以由解題方法上的類(lèi)似引起當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類(lèi)比一般來(lái)說(shuō)，高考中的類(lèi)比問(wèn)題多發(fā)生在橫向與縱向類(lèi)比上，如圓錐曲線(xiàn)中橢圓與雙曲線(xiàn)等的橫向類(lèi)比以及平面與空間中三角形與三棱錐的縱向類(lèi)比等2歸納推理例10觀察如下數(shù)表的規(guī)律（仿楊輝三角：下一行的數(shù)等于上一行肩上相鄰兩數(shù)的和）：該數(shù)表最后一行只有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是_.思路分析：本題主要考查了歸納推理委托，著重考查了由數(shù)表探究數(shù)列的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的排布規(guī)律，計(jì)算數(shù)表數(shù)列問(wèn)題，以及等差數(shù)列的應(yīng)用，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，對(duì)于歸納推理問(wèn)題解答的關(guān)鍵在于根據(jù)給定的數(shù)表數(shù)列，尋找數(shù)字的排布規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答.【答案】點(diǎn)評(píng)：歸納遞推思想在解決問(wèn)題時(shí)，從特殊情況入手，通過(guò)觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用其思維模式是“觀察歸納猜想證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想由上各例可見(jiàn)，在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論.在進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后通過(guò)類(lèi)比，推導(dǎo)出類(lèi)比對(duì)象的性質(zhì).歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類(lèi)比推理關(guān)鍵是看共性. 即合情推理的關(guān)鍵是尋求規(guī)律，明確已知結(jié)論的性質(zhì)或特征.高考中此類(lèi)問(wèn)題的指向性很強(qiáng)，要得到正確結(jié)論的歸納或類(lèi)比.