2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3 1．回歸分析 回歸分析是對(duì)具有______________的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，回歸分析的基本步驟是畫出兩個(gè)變量的_________________，求____________________，并用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)． 2．線性回歸模型 （1）在線性回歸方程中，，___________.其中___________，___________，稱為樣本的中心. （2）線性回歸模型，其中稱為_____________，自變量稱為__________變量，因變量稱為____________變量． 溫馨提示：是回歸直線的斜率的估計(jì)值，表示每增加一個(gè)單位，的平均增加單位數(shù)． 3．刻畫回歸效果的方式 方式方法 計(jì)算公式 刻畫效果 __________________ 越_________，表示回歸的效果越好 殘差圖 稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，__________________ 殘差點(diǎn)_________________地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度_____________，說明模型擬合精確度越高. 殘差平方和 殘差平方和越____________，模型的擬合效果越好 參考答案 1．相關(guān)關(guān)系 散點(diǎn)圖 回歸方程 2．（1） （2）隨機(jī)誤差 解釋 預(yù)報(bào) 3． 接近于1 比較均勻 越窄 小 重點(diǎn) 1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差分析的概念 2.會(huì)用殘差分析判斷線性回歸模型的擬合效果 3.掌握建立回歸模型的步驟 難點(diǎn) 通過對(duì)典型案例的探究，了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用 易錯(cuò) 不能準(zhǔn)確理解概念和參數(shù)的含義 一、概念辨析 有下列說法： ①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法； ②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示； ③通過回歸方程可以估計(jì)觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)； ④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A．1　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①反映的正是最小二乘法思想，故正確． ②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，也正確． ③解釋的是回歸方程的作用，故也正確． ④是不正確的，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系． 【名師點(diǎn)睛】由題目可獲取以下信息： ①線性回歸分析； ②散點(diǎn)圖； ③相關(guān)性檢驗(yàn)等的相關(guān)概念及意義． 解答本題可先逐一核對(duì)相關(guān)概念及其性質(zhì)，然后再逐一作出判斷，最后得出結(jié)論． 二、線性回歸模型 一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長(zhǎng)，生產(chǎn)的零件有一些會(huì)缺損，按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的零件有缺損的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 轉(zhuǎn)速x（轉(zhuǎn)/秒） 16 14 12 8 每小時(shí)生產(chǎn)缺損零件數(shù)y（件） 11 9 8 5 （1）作出散點(diǎn)圖； （2）如果與線性相關(guān)，求出回歸直線方程； （3）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個(gè)，那么，機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（結(jié)果保留整數(shù)） 附：線性回歸方程中，，其中為樣本平均值. 【答案】詳見解析 【解析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如下圖： （2）由題中數(shù)據(jù)列表如下： i 1 2 3 4 xi 16 14 12 8 yi 11 9 8 5 xiyi 176 126 96 40 ， ∴， ∴. （3）令，解得. 故機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在轉(zhuǎn)/秒內(nèi). 【名師點(diǎn)睛】1．求回歸直線方程的一般步驟 （1）作出散點(diǎn)圖，依據(jù)問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，觀察點(diǎn)的分布是否呈條狀分布，即是否在一條直線附近，從而判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系． （2）當(dāng)兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程． 2．回歸直線方程中的表示x每增加1個(gè)單位時(shí)，的變化量的估計(jì)值為． 可以利用回歸直線方程預(yù)報(bào)在取某個(gè)值時(shí)的估計(jì)值． 由于回歸直線方程中的系數(shù)和是通過樣本估計(jì)而來(lái)的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果有偏差． 三、線性回歸分析 為研究重量（單位：克）對(duì)彈簧長(zhǎng)度（單位：厘米）的影響，對(duì)不同重量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 （1）作出散點(diǎn)圖，并求回歸方程： （2）求相關(guān)指數(shù)R2，并判斷模型的擬合效果； （3）進(jìn)行殘差分析． 【答案】詳見解析 【解析】（1）散點(diǎn)圖如下圖所示： 從散點(diǎn)圖，可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求得線性回歸方程的系數(shù). 因?yàn)椋? ， ，． 計(jì)算，得． 所以所求回歸方程為． （2）列表如下： 0.05 0.005 0.04 0.025 1.41 2.31 ． 所以， 所以回歸模型的擬合效果較好． （3）由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在比較狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長(zhǎng)度與拉力呈線性關(guān)系．由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型． 【名師點(diǎn)睛】1.線性回歸分析的過程： （1）隨機(jī)抽取樣本，確定數(shù)據(jù)，形成樣本點(diǎn)； （2）由樣本點(diǎn)形成散點(diǎn)圖，判定是否具有線性相關(guān)關(guān)系； （3）由最小二乘法求線性回歸方程； （4）進(jìn)行殘差分析，分析模型的擬合效果，不合適時(shí)，分析錯(cuò)因，予以糾正； （5）依據(jù)回歸方程作出預(yù)報(bào)． 2．用散點(diǎn)圖可粗略判斷兩個(gè)變量間有無(wú)線性相關(guān)關(guān)系，用相關(guān)指數(shù)R2可以描述兩個(gè)變量之間的密切程度． 四、非線性回歸分析 在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 試建立y與x之間的回歸方程． 【答案】詳見解析 【解析】作出變量y與x之間的散點(diǎn)圖如圖所示． 由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系． 設(shè)，令，則.由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表： t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 作出y與t的散點(diǎn)圖如圖所示． 由圖可知y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系． 又， ， ， ∴. 所以y與x的回歸方程是. 【名師點(diǎn)睛】求非線性回歸方程的步驟： 1．確定變量，作出散點(diǎn)圖． 2．根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)． 3．變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程． 4．分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來(lái)判斷擬合效果． 5．根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程． 五、不能準(zhǔn)確理解概念和參數(shù)的含義 關(guān)于與有如下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 為了對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，現(xiàn)有以下兩種線性模型：甲模型，乙模型，試比較哪一個(gè)模型擬合的效果更好． 【錯(cuò)解】∵， ， ∴． ∴乙模型擬合的效果更好． 【錯(cuò)因分析】明確的大小與擬合效果的關(guān)系 用相關(guān)指數(shù)來(lái)比較模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，并不是越小模型的擬合效果越好． 【正解】∵， ， ∴． ∴甲模型擬合的效果更好． 1．已知回歸直線方程，若變量x每增加1個(gè)單位，則 A．y平均增加2.5個(gè)單位 B．y平均增加1個(gè)單位 C．y平均減少2.5個(gè)單位 D．y平均減少2個(gè)單位 2．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和 A．越大　 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均錯(cuò) 3．對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，則下列說法中不正確的是 A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程 必過樣本點(diǎn)的中心 B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 C．用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果，的值越小，說明模型的擬合效果越好 D．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)，則變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系 4．在對(duì)兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)有以下操作：①求回歸方程；②收集數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，…，n；③對(duì)所求出的回歸方程作出解釋；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖．則下列操作順序正確的是 A．③②④① B．①②④③ C．②①③④ D．②④①③ 5．關(guān)于隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因分析正確的是 （1）用線性回歸模型來(lái)近似真實(shí)模型所引起的誤差； （2）忽略某些因素的影響所產(chǎn)生的誤差； （3）對(duì)樣本數(shù)據(jù)觀測(cè)時(shí)產(chǎn)生的誤差； （4）計(jì)算錯(cuò)誤所產(chǎn)生的誤差． A．（1）（2）（4）　　　　　 B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（2）（3） 6．在如圖所示的5組數(shù)據(jù)中，去掉________后，剩下的4組數(shù)據(jù)線性相關(guān)性更強(qiáng). 7．已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為（4,5），則回歸直線方程是________． 8．某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚? 　學(xué)生 學(xué)科　　　 A B C D E 數(shù)學(xué)成績(jī)（x） 88 76 73 66 63 物理成績(jī)（y） 78 65 71 64 61 （1）畫出散點(diǎn)圖； （2）求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的回歸方程； （3）一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96分，試預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)． 9．某商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷售量（件）與月平均氣溫（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫（℃） 17 13 8 2 月銷售量（件） 24 33 40 55 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的，氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為℃，據(jù)此估計(jì)該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣銷售量約為件 A．46 B．40 C．70 D．58 10．已知方程是根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，其中x的單位是cm，的單位是kg，那么針對(duì)某個(gè)體（160，53）的殘差是________． 11．某學(xué)生課外活動(dòng)興趣小組對(duì)兩個(gè)相關(guān)變量收集到5組數(shù)據(jù)如下表： x 10 20 30 40 50 y 62 ■ 75 81 89 由最小二乘法求得回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清，請(qǐng)推斷該點(diǎn)數(shù)據(jù)的值為________． 12．某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100棵種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日 溫差x（℃） 10 11 13 12 8 發(fā)芽y（顆） 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，剩下的2組數(shù)據(jù)用于回歸方程檢驗(yàn)． （1）若選取的是12月1日與12月5日的2組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程； （2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的線性回歸方程是否可靠？ （3）請(qǐng)預(yù)測(cè)溫差為14 ℃的發(fā)芽數(shù)． 13．（xx新課標(biāo)III）下圖是我國(guó)xx年至xx生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明； （2）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)xx我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量. 附注： 參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： 1．C【解析】因?yàn)橛?，得，若變量x每增加1個(gè)單位，則y平均減少2.5個(gè)單位，故選C. 2．B【解析】∵，∴當(dāng)越大時(shí)，越小，即殘差平方和越小，故選B. 3．C 【解析】R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好，故選C. 4．D 【解析】根據(jù)回歸分析的思想，可知對(duì)兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，應(yīng)先收集數(shù)據(jù)（xi，yi），然后繪制散點(diǎn)圖，再求回歸方程，最后對(duì)所求的回歸方程作出解釋，因此選D. 5．D【解析】理解線性回歸模型中隨機(jī)誤差e的含義是解決此問題的關(guān)鍵，隨機(jī)誤差可能由于觀測(cè)工具及技術(shù)產(chǎn)生，也可能因忽略某些因素產(chǎn)生，也可以是回歸模型產(chǎn)生，但不是計(jì)算錯(cuò)誤． 6．D(3,10)【解析】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量的線性相關(guān)性，樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)越集中在某一直線附近，其線性相關(guān)性越強(qiáng)，顯然去掉D(3,10)后，其余各點(diǎn)更能集中在某一直線的附近，即線性相關(guān)性更強(qiáng)． 7．【解析】由斜率的估計(jì)值為1.23，且回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心（4,5），可得，即. 8．【解析】（1）散點(diǎn)圖如下圖所示： （2）由圖可看出，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸方程來(lái)刻畫與之間的關(guān)系，因?yàn)? . . . ∴. ∴. ∴y對(duì)x的線性回歸方程是. （3）當(dāng)時(shí)，. 所以預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)是82分． 9．C 【解析】由表格得為（10，38）， ∵在回歸直線上， ∴，解得=58，∴， 當(dāng)時(shí)，．故選C． 10．【解析】把代入， 得， 所以殘差. 11．68 【解析】由題意可得， 設(shè)要求的數(shù)據(jù)為，則有，因?yàn)榛貧w直線過樣本點(diǎn)的中心，所以， 解得. 12．【解析】　（1）由數(shù)據(jù)求得，，. 由公式求得，. 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為. （2）當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，. 所以該研究所得到的線性回歸方程是可靠的． （3）當(dāng)時(shí)，有， 所以當(dāng)溫差為14 ℃時(shí)的發(fā)芽數(shù)約為32顆. 13．【解析】（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ，，， ， . 因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. （2）由及（1）得， . 所以，關(guān)于的回歸方程為：. 將xx對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得：. 所以預(yù)測(cè)xx我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約1.82億噸.