高中數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用》學(xué)案1新人教B版選修2-2

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1、 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用 目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 會從幾何直觀了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次 . 2. 了解函數(shù)在某點 取得極值的必要條件 ( 導(dǎo)數(shù)在極值點兩端異號 ) 和充分條件 （ ）；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次 . 3．會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次 . 重點： 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系 . 會求一些函數(shù)的 ( 極 ) 最 大值與 ( 極 ) 最小值

2、 難點： 利用導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題時有關(guān)字母討論的問題 . 知識要點梳理 知識點一：函數(shù)的單調(diào)性 ( 一 ) 導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性： 一般地，設(shè)函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)， 則在這個區(qū)間上， 若 ，則 在這個區(qū)間上為增函數(shù)；若 ，則 在這個區(qū)間上為減函數(shù)；若恒有 ， 則 在這一區(qū)間上為常函數(shù) . 反之，若 在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有 恒成立（但不恒等于 0）；若 在某區(qū)間上單調(diào)遞減， 則在該區(qū)間上有 恒成立（但不恒等于 0）． 注意： 1. 若在某區(qū)間上有有限個點使 ，在其余點恒有 ，則

3、仍為增 函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似） . 即在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)， （或 ）是 在 (a ， b) 內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！例如： 而 f(x) 在 R 上遞增 . 2. 學(xué)生易誤認(rèn)為只要有點使 ，則 f(x) 在(a ， b) 上是常函數(shù)，要指出個別導(dǎo) 數(shù)為零不影響函數(shù)的單調(diào)性，同時要強(qiáng)調(diào)只有在這個區(qū)間內(nèi)恒有 ，這個函數(shù) 在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù) . 3. 要關(guān)注導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系 . （二）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟： 1. 確定函數(shù) 的定義域； 2. 求導(dǎo)數(shù) ；

4、 用心 愛心 專心 1 3. 在定義域內(nèi)解不等式 ，解出相應(yīng)的 x 的范圍； 當(dāng) 時， 在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)； 當(dāng) 時 在相應(yīng)區(qū) 間上為減函數(shù) . 4. 寫出 的單調(diào)區(qū)間 . 知識點二：函數(shù)的極值 （一）函數(shù)的極值的定義 一般地，設(shè)函數(shù) 在點 及其附近有定義， （1）若對于 附近的所有點，都有 ，則 是函數(shù) 的一個極大值，記 作 ； （ 2）若對 附近的所有點，都有 ，則 是函數(shù) 的一個極小值， 記作 . 極大值與極小值統(tǒng)稱極值 . 在定義中，取得極

5、值的點稱為極值點，極值點是自變量 的值，極值指的是函數(shù)值 . 注意： 由函數(shù)的極值定義可知： （ 1）在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù) y=f(x) 在 x=x 0 及其附近有定義，否則無 從比較 . （ 2）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的， 是一個局部概念； 在函數(shù)的 整個定義域內(nèi)可能有多個極值，也可能無極值 . 由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近 點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小 . （ 3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系 . 即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值 . 極 小值

6、不一定是整個定義區(qū)間上的最小值 . （ 4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部， 區(qū)間的端點不能成為極值點 . 而使函數(shù)取得 最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點 . （ 5）可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值， 則該點的導(dǎo)數(shù)一定為零， 反之不成立 . 即 是 可導(dǎo)函數(shù) 在點 取得極值的必要非充分條件 . 在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的 話，則切線是水平 的，從而有 . 但反過來不一定 . 如函數(shù) y=x3，在 x=0 處，曲線 的切線是水平的，但這點不是函數(shù)的極值點 . （二）求函數(shù)極值的的基本步驟： ①確定函數(shù)

7、的定義域； ②求導(dǎo)數(shù) ； ③求方程 的根； ④檢查 在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，則 f(x) 在這個根處取得極大 值；如果左負(fù)右 正，則 f(x) 在這個根處取得極小值 .( 最好通過列表法 ) 知識點三：函數(shù)的最大值與最小值 （一） 函數(shù)的最大值與最小值定理 用心 愛心 專心 2 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則 在 上必有最大值和最小值；在開 區(qū)間 內(nèi)連續(xù)的函數(shù) 不一定有最大值與最小值 . 如 . （二）求函數(shù)最值的的基本步驟： 若函數(shù) 在閉區(qū)間 有

8、定義， 在開區(qū)間 內(nèi)有導(dǎo)數(shù)， 則求函數(shù) 在 上的最大值和最小值的步驟如下： （ 1）求函數(shù) 在 內(nèi)的導(dǎo)數(shù) （2）求 在 內(nèi)的極值； （ 3）求 在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值 ， ； （ 4）將 的各極值與 ， 比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求 最小值 . （三）最值理論的應(yīng)用 解決有關(guān)函數(shù)最值的實際問題，導(dǎo)數(shù)的理論是有力的工具，基本解題思路為： （ 1）認(rèn)知、立式：分析、認(rèn)知實際問題中各個變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系； （ 2）探求最值：立足函數(shù)的定義域，探求函

9、數(shù)的最值； （ 3）檢驗、作答：利用實際意義檢查（2）的結(jié)果，并回答所提出的問題，特殊地，如 果所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點 滿足 ，并且 在點 處有極大（?。┲?， 而所給實際問題又必有最大（?。┲?，那么上述極大（?。┲当闶亲畲螅ㄐ。┲?. 規(guī)律方法指導(dǎo) （ 1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域 D，并且解決問題的過 程中始終立足于定義域 D.若由不等式 確定的 x 的取值集合為 A，由 確定 的 x 的取值范圍為 B，則應(yīng)有 . 如： . （ 2）最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系： ①函數(shù)的最大值和最小值是比較整個

10、定義域上的函數(shù)值得出的 （具有絕對性） ，是 整個定義域上的整體性概念， 最大值是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最大值； 最小值 是函數(shù)在整個定義域上所有函數(shù)值中的最小值 . 函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點附近兩 側(cè)的函數(shù)值而得出的（具有相對性） ，是局部的概念； ②極值可以有多個，最大 ( 小 ) 值若存在只有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能 在區(qū)間端點取得；最大（?。┲悼赡苁悄硞€極大（?。┲?，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值； ③有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值 . ④若 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲?/p>

11、，則這一極大（小） 值即為最大（?。┲?. 典型例題 例 1． 設(shè) f(x)=ax 3+x 恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定 a 的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。 用心 愛心 專心 3 解析： f(x)=3ax 2+1，若 a≥0, f(x) >0，對 x∈ R 恒成立，此時 f(x) 只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾。 若 a<0，∵ f(x)= , 此時 f(x) 恰有三個單調(diào)區(qū)間。 ∴ a<0 且單調(diào)減區(qū)間為 ，單調(diào)增區(qū)間為 。 例 2． 求函數(shù) y=2ex +e-x 的極值

12、。 解析： y=2e x-e -x ，令 y=0, 即 2e2x=1, 列表： x y - 0 + y ↘ 極小值 ↗ ∴ y 極小 。 例 3． 求函數(shù) f(x)=3x-x 3 在閉區(qū)間 的最大值和最小值。 解析： f(x)=3-3x 2, 令 f(x)=0 ，則 x1=-1 ， x2=1。 則 f(-1)=-2, f(1)=2 ，又 , ∴ [f(x)] =2, [f(x)] min =-18 。 max 例 4． 如右圖所示，在二次函數(shù) f(x)=4x-x

13、2 的圖象與 x 軸所圍成圖形中有個內(nèi)接矩形 ABCD，求這個矩形面積的最大值。 解析： 設(shè)點 B 的坐標(biāo)為 (x,0) 且 0

14、例 5．一艘漁艇停泊在距岸 9km處，今需派人送信給距漁艇 km處的海岸漁站，如 果送信人步行每小時 5km，船速每小時 4km，問應(yīng)在何處登岸再步行可以使抵達(dá)漁站的時間最?。? 解析： 如圖示設(shè) A 點為漁艇處， BC為海岸線， C 為漁站，且 AB=9km, 設(shè) D 為海岸線上一點， CD=x，只需將時間 T 表示為 x 的函數(shù)， 用心 愛心 專心 4 ∵ ， 由 A 到 C的時間 T，則 （0≤x≤15） （0≤x≤15） 令 T=0 ，解得 x=3，在 x=3 附近，

15、T 由負(fù) 到正， 因此在 x=3 處取得最小值， 又 ，比較可知 T(3) 最小。 訓(xùn)練題： 1．函數(shù) y=4x 2(x-2), x ∈ [-2 ， 2] 的最小值是 _____。 2．一個外直徑為 10cm 的球，球殼厚度為 ，則球殼體積的近似值為 ____。 3．函數(shù) f(x)=x 4-5x 2+4 的極大值是 ______，極小值是 _____。 4．做一個容積為 256 升的方底無蓋水箱，問高為多少時最省材料？ 參考答案： 1. – 642. 19.63cm 3 3. 4 ； 4. 設(shè)高為 h，底邊長為 a，則所用材料為 S=a2+4ah, 而 a2h=256，a∈(0,+ ∞), ∴ , a ∈(0,+ ∞), 令 S(a)= , ∴ a=8 。 顯然當(dāng) 08 時， S(a)>0 ，因此當(dāng) a=8 時， S 最小，此時 h=4。 用心 愛心 專心 5