2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第39講 排列、組合、二項(xiàng)式定理教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第39講 排列、組合、二項(xiàng)式定理教案 新人教版一課標(biāo)要求:1分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理通過(guò)實(shí)例,總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理;能根據(jù)具體問(wèn)題的特征,選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題;2排列與組合通過(guò)實(shí)例,理解排列、組合的概念;能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式,并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題;3二項(xiàng)式定理能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理; 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。二命題走向本部分內(nèi)容主要包括分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理三部分;考查內(nèi)容:(1)兩個(gè)原理;(2)排列、組合的概念,排列數(shù)和組合數(shù)公式,排列和組合的應(yīng)用;(3)二項(xiàng)式定理,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)和。排列、組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,而且在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用,因此新高考會(huì)有題目涉及;二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考每年必考內(nèi)容,新高考會(huì)繼續(xù)考察??疾煨问剑?jiǎn)为?dú)的考題會(huì)以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬于中低難度的題目,排列組合有時(shí)與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小,屬于高考題中的中低檔題目;預(yù)測(cè)xx年高考本部分內(nèi)容一定會(huì)有題目涉及,出現(xiàn)選擇填空的可能性較大,與概率相結(jié)合的解答題出現(xiàn)的可能性較大。三要點(diǎn)精講1排列、組合、二項(xiàng)式知識(shí)相互關(guān)系表2兩個(gè)基本原理(1)分類計(jì)數(shù)原理中的分類;(2)分步計(jì)數(shù)原理中的分步;正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。3排列(1)排列定義,排列數(shù)(2)排列數(shù)公式:系 =n(n1)(nm+1);(3)全排列列: =n!;(4)記住下列幾個(gè)階乘數(shù):1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720;4組合(1)組合的定義,排列與組合的區(qū)別;(2)組合數(shù)公式:Cnm=;(3)組合數(shù)的性質(zhì)Cnm=Cnn-m;rCnr=nCn-1r-1;Cn0+Cn1+Cnn=2n;Cn0-Cn1+(-1)nCnn=0,即 Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1;5二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式展開(kāi)公式:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn;(2)通項(xiàng)公式:二項(xiàng)式展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是:Tk+1=Cnkan-kbk;6二項(xiàng)式的應(yīng)用(1)求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和;(2)證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式;(3)證明整除性。求數(shù)的末位;數(shù)的整除性及求系數(shù);簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問(wèn)題;(4)近似計(jì)算。當(dāng)|x|充分小時(shí),我們常用下列公式估計(jì)近似值:(1+x)n1+nx;(1+x)n1+nx+x2;(5)證明不等式。四典例解析題型1:計(jì)數(shù)原理例1完成下列選擇題與填空題(1)有三個(gè)不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,則不同的投法有 種。A81B64C24D4(2)四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍,獲得冠軍的可能的種數(shù)是( )A81B64C24D4(3)有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽,每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽,則有不同的參賽方法有 ;每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加,則有不同的參賽方法有 ;每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽,每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加,則不同的參賽方法有 。解析:(1)完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行,是選用基本原理的關(guān)鍵。將“投四封信”這件事分四步完成,每投一封信作為一步,每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法,因此:N=3333=34=81,故答案選A。本題也可以這樣分類完成,四封信投入一個(gè)信箱中,有C31種投法;四封信投入兩個(gè)信箱中,有C32(C41A22+C42C22)種投法;四封信投入三個(gè)信箱,有兩封信在同一信箱中,有C42A33種投法、,故共有C31+C32(C41A22+C42C22)+C42A33=81(種)。故選A。(2)因?qū)W生可同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍,故學(xué)生可重復(fù)排列,將4名學(xué)生看作4個(gè)“店”,3項(xiàng)冠軍看作“客”,每個(gè)“客”都可住進(jìn)4家“店”中的任意一家,即每個(gè)“客”有4種住宿法。由分步計(jì)數(shù)原理得:N=444=64。故答案選B。(3)學(xué)生可以選擇項(xiàng)目,而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)學(xué)生無(wú)條件限制,所以類似(1)可得N=34=81(種);競(jìng)賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生,而學(xué)生無(wú)選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì),每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生,共有N=43=64(種);等價(jià)于從4個(gè)學(xué)生中挑選3個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)賽,每人參加一項(xiàng),故共有C43A33=24(種)。例2(06江蘇卷)今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球,同色球不加以區(qū)分,將這9個(gè)球排成一列有種不同的方法(用數(shù)字作答)。解析:本題考查排列組合的基本知識(shí),由題意可知,因同色球不加以區(qū)分,實(shí)際上是一個(gè)組合問(wèn)題,共有。點(diǎn)評(píng):分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問(wèn)題的重要手段,也是基礎(chǔ)方法,在高中數(shù)學(xué)中,只有這兩個(gè)原理,尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處,當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí),用分類的方法可以有效的將之化簡(jiǎn),達(dá)到求解的目的。題型2:排列問(wèn)題例3(1)(06北京卷)在這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有( )(A)36個(gè) (B)24個(gè) (C)18個(gè) (D)6個(gè)(2)(06福建卷)從4名男生和3名女生中選出3人,分別從事三項(xiàng)不同的工作,若這3人中至少有1名女生,則選派方案共有( )(A)108種 (B)186種 (C)216種 (D)270種(3)(06湖南卷)在數(shù)字1,2,3與符號(hào),五個(gè)元素的所有全排列中,任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是( )A6 B. 12 C. 18 D. 24(4)(06重慶卷)高三(一)班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂(lè)節(jié)目,2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序,要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排,則不同排法的種數(shù)是( )(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040解析:(1)依題意,所選的三位數(shù)字有兩種情況:(1)3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù),有種方法(2)3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù),有,故共有24種方法,故選B;(2)從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù),合理的選派方案共有=186種,選B;(3)先排列1,2,3,有種排法,再將“”,“”兩個(gè)符號(hào)插入,有種方法,共有12種方法,選B;(4)不同排法的種數(shù)為3600,故選B。點(diǎn)評(píng):合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問(wèn)題,首先應(yīng)該進(jìn)入排列問(wèn)題的情景,想清楚我處理時(shí)應(yīng)該如何去做。例4(1)(06天津卷)用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),則其中數(shù)字1,2相鄰的偶數(shù)有個(gè)(用數(shù)字作答);(2)(06上海春)電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告,其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告,要求首尾必須播放公益廣告,則共有 種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示).解析:(1)可以分情況討論: 若末位數(shù)字為0,則1,2,為一組,且可以交換位置,3,4,各為1個(gè)數(shù)字,共可以組成個(gè)五位數(shù); 若末位數(shù)字為2,則1與它相鄰,其余3個(gè)數(shù)字排列,且0不是首位數(shù)字,則有個(gè)五位數(shù); 若末位數(shù)字為4,則1,2,為一組,且可以交換位置,3,0,各為1個(gè)數(shù)字,且0不是首位數(shù)字,則有=8個(gè)五位數(shù),所以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè)。(2)分二步:首尾必須播放公益廣告的有A22種;中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種,從而應(yīng)當(dāng)填 A22A4448. 從而應(yīng)填48。點(diǎn)評(píng):排列問(wèn)題不可能解決所有問(wèn)題,對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題都是以排列公式為輔助。題型三:組合問(wèn)題例5(1)(06重慶卷)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的個(gè)班實(shí)習(xí),每班至少名,最多名,則不同的分配方案有( )(A)種(B)種 (C)種(D)種(2)(06天津卷)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有()A10種B20種C36種 D52種解析:(1)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí),每班至少1名,最多2名,則將5名教師分成三組,一組1人,另兩組都是2人,有種方法,再將3組分到3個(gè)班,共有種不同的分配方案,選B;(2)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),分情況討論:1號(hào)盒子中放1個(gè)球,其余3個(gè)放入2號(hào)盒子,有種方法;1號(hào)盒子中放2個(gè)球,其余2個(gè)放入2號(hào)盒子,有種方法;則不同的放球方法有10種,選A。點(diǎn)評(píng):計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ),應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合例6(1)(06陜西卷)某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,則不同的選派方案共有 種;(2)(06全國(guó)II)5名志愿者分到3所學(xué)校支教,每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者,則不同的分派方法共有( )(A)150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 解析:(1)可以分情況討論, 甲去,則乙不去,有=480種選法;甲不去,乙去,有=480種選法;甲、乙都不去,有=360種選法;共有1320種不同的選派方案;(2)人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式,若是1,2,2,則有60種,若是1,1,3,則有90種,所以共有150種,選A。點(diǎn)評(píng):排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問(wèn)題,諸如分組問(wèn)題等;題型4:排列、組合的綜合問(wèn)題例7平面上給定10個(gè)點(diǎn),任意三點(diǎn)不共線,由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中,無(wú)三條直線交于同一點(diǎn)(除原10點(diǎn)外),無(wú)兩條直線互相平行。求:(1)這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)(除原10點(diǎn)外)。(2)這些直線交成多少個(gè)三角形。解法一:(1)由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=45條。這45條直線除原10點(diǎn)外無(wú)三條直線交于同一點(diǎn),由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn),共有C452個(gè)交點(diǎn)。而在原來(lái)10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此。所以,在原來(lái)點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù);所以這些直線交成新的點(diǎn)是:C45210C92=630。(2)這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如下求:因?yàn)槊總€(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn),這三個(gè)點(diǎn)來(lái)自上述630個(gè)點(diǎn)或原來(lái)的10個(gè)點(diǎn)。所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這640個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合,即C6403=43486080(個(gè))。解法二:(1)如圖對(duì)給定的10點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn),四點(diǎn)連成6條直線,這6條直線交3個(gè)新的點(diǎn)。故原題對(duì)應(yīng)于在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍,即這些直線新交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是:3C104=630。(2)同解法一。點(diǎn)評(píng):用排列、組合解決有關(guān)幾何計(jì)算問(wèn)題,除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對(duì)策之外,還要考慮實(shí)際幾何意義。例8已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的3個(gè)不同的元素,并且該直線的傾斜角為銳角,求符合這些條件的直線的條數(shù)。解 設(shè)傾斜角為,由為銳角,得tan=-0,即a、b異號(hào)。(1)若c=0,a、b各有3種取法,排除2個(gè)重復(fù)(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0),故有33-2=7(條);(2)若c0,a有3種取法,b有3種取法,而同時(shí)c還有4種取法,且其中任兩條直線均不相同,故這樣的直線有334=36條,從而符合要求的直線共有7+36=43條;點(diǎn)評(píng):本題是xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題,據(jù)抽樣分析正確率只有0.37。錯(cuò)誤原因沒(méi)有對(duì)c=0與c0正確分類;沒(méi)有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。題型5:二項(xiàng)式定理例9(1)(湖北卷)在的展開(kāi)式中,的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有A3項(xiàng) B4項(xiàng) C5項(xiàng) D6項(xiàng)(2)的展開(kāi)式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是(A)0(B)2(C)4(D)6解析:本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)公式的有關(guān)知識(shí);(1),當(dāng)r0,3,6,9,12,15,18,21,24時(shí),x的指數(shù)分別是24,20,16,12,8,4,0,4,8,其中16,8,4,0,8均為2的整數(shù)次冪,故選C;(2)的展開(kāi)式通項(xiàng)為,因此含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2項(xiàng).選B;點(diǎn)評(píng):多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則。在求系數(shù)過(guò)程中,盡量先化簡(jiǎn),降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別,盡量化成加減運(yùn)算,在運(yùn)算過(guò)程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用,例如求常數(shù)項(xiàng),可令.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別。例10(1)(06江西卷)在(x)xx 的二項(xiàng)展開(kāi)式中,含x的奇次冪的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x時(shí),S等于( )A.23008 B.23008 C.23009 D.23009(2)(06山東卷)已知的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為,其中=1,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是( )(A)45i (B) 45i (C) 45 (D)45(3)(06浙江卷)若多項(xiàng)式( )(A)9 (B)10 (C)9 (D)10解析:(1)設(shè)(x)xxa0xxxa1xxxaxxxaxx;則當(dāng)x時(shí),有a0()xxa1()xxaxx()axx0 (1),當(dāng)x時(shí),有a0()xxa1()xxaxx()axx23009 (2),(1)(2)有a1()xxaxx()23009223008,故選B;(2)第三項(xiàng)的系數(shù)為,第五項(xiàng)的系數(shù)為,由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為可得n10,則,令405r0,解得r8,故所求的常數(shù)項(xiàng)為45,選A;(3)令,得,令,得;點(diǎn)評(píng):本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的特殊值法,基礎(chǔ)題;題型6:二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例11證明下列不等式:(1)()n,(a、bx|x是正實(shí)數(shù),nN);(2)已知a、b為正數(shù),且+=1,則對(duì)于nN有(a+b)n-an-bn22n-2n+1。證明:(1)令a=x+,b=x,則x=;an+bn=(x+)n+(x-)n=xn+Cn1xn-1+Cnnn+xn-Cn1xn-1+(-1)nCnnn=2(xn+Cn2xn-22+Cn4xn-44+)2xn即()n(2)(a+b)n=an+Cn1an-1b+Cnnbn(a+b)n=bn+Cn1bn-1a+Cnnan上述兩式相加得:2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+Cnk(an-kbk+bn-kak)+Cnn(an+bn) (*)+=1,且a、b為正數(shù)ab=a+b2 ab4又an-kbk+bn-kak2=2()n(k=1,2,n-1)2(a+b) n2an+2bn+Cn12()n+Cn22()n+Cnn-12()n(a+b)nan-bn(Cn1+Cn2+Cnn-1)()n(2n2)2n=22n2n+1點(diǎn)評(píng):利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式,可以證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題。題(1)中的換元法稱之為均值換元(對(duì)稱換元)。這樣消去奇數(shù)次項(xiàng),從而使每一項(xiàng)均大于或等于零。題(2)中,由由稱位置二項(xiàng)式系數(shù)相等,將展開(kāi)式倒過(guò)來(lái)寫(xiě)再與原來(lái)的展開(kāi)式相加,這樣充分利用對(duì)稱性來(lái)解題的方法是利用二項(xiàng)式展開(kāi)式解題的常用方法。例12(1)求46n+5n+1被20除后的余數(shù);(2)7n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17除以9,得余數(shù)是多少?(3)根據(jù)下列要求的精確度,求1.025的近似值。精確到0.01;精確到0.001。解析:(1)首先考慮46n+5n+1被4整除的余數(shù)。5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+Cn+1n4+1,其被4整除的余數(shù)為1,被20整除的余數(shù)可以為1,5,9,13,17,然后考慮46n+1+5n+1被5整除的余數(shù)。46n=4(5+1)n=4(5n+Cn15n-1+Cn25n-2+Cnn-15+1),被5整除的余數(shù)為4,其被20整除的余數(shù)可以為4,9,14,19。綜上所述,被20整除后的余數(shù)為9。(2) 7n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17 =(7+1)n1=8n1=(9-1)n1 =9n-Cn19n-1+Cn29n-2+(1)n-1Cnn-19+(1)nCnn-1(i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)原式=9n-Cn19n-1+Cn29n-2+(1)n-1Cnn-192除以9所得余數(shù)為7。(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)原式=9n-Cn19n-1+Cn29n-2+(1)n-1Cnn-19除以9所得余數(shù)為0,即被9整除。(3)(1.02)5(1+0.02)5 =1+c510.02+C520.022+C530.023+C540.024+C550.025C520.022=0.004,C530.023=810-5當(dāng)精確到0.01時(shí),只要展開(kāi)式的前三項(xiàng)和,1+0.10+0.004=1.104,近似值為1.10。當(dāng)精確到0.001時(shí),只要取展開(kāi)式的前四項(xiàng)和,1+0.10+0.004+0.0008=1.10408,近似值為1.104。點(diǎn)評(píng):(1)用二項(xiàng)式定理來(lái)處理余數(shù)問(wèn)題或整除問(wèn)題時(shí),通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身?xiàng)之和或之差再按二項(xiàng)式定理展開(kāi)推得所求結(jié)論;(2)用二項(xiàng)式定理來(lái)求近似值,可以根據(jù)不同精確度來(lái)確定應(yīng)該取到展開(kāi)式的第幾項(xiàng)。五思維總結(jié)解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理使用方法有兩種:?jiǎn)为?dú)使用;聯(lián)合使用。2將具體問(wèn)題抽象為排列問(wèn)題或組合問(wèn)題,是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。3對(duì)于帶限制條件的排列問(wèn)題,通常從以下三種途徑考慮:(1)元素分析法:先考慮特殊元素要求,再考慮其他元素;(2)位置分析法:先考慮特殊位置的要求,再考慮其他位置;(3)整體排除法:先算出不帶限制條件的排列數(shù),再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。4對(duì)解組合問(wèn)題,應(yīng)注意以下三點(diǎn):(1)對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算,是解組合題的常用方法;(2)是用“直接法”還是“間接法”解組合題,其原則是“正難則反”;(3)設(shè)計(jì)“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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