2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 4.4函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 4.4函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換；2.結合三角恒等變換考查y＝Asin(ωx＋φ)的性質和應用；3.考查給出圖象的解析式． 復習備考要這樣做　1.掌握“五點法”作圖，抓住函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的特征；2.理解三種圖象變換，從整體思想和數(shù)形結合思想確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質． 1． 用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點． 如下表所示. x ωx＋φ 0 π 2π y＝ Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2. 函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的步驟如下： 3． 圖象的對稱性 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象是軸對稱也是中心對稱圖形，具體如下： (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于直線x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成軸對稱圖形． (2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于點(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心對稱圖形． [難點正本　疑點清源] 1． 作圖時應注意的兩點 (1)作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域． (2)對于具有周期性的函數(shù)，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象． 2． 圖象變換的兩種方法的區(qū)別 由y＝sin x的圖象，利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) (x∈R)的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個單位． 1． 已知簡諧運動f(x)＝2sin (|φ|<)的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相φ分別為__________． 答案　6， 解析　由題意知1＝2sin φ，得sin φ＝，又|φ|<， 得φ＝；而此函數(shù)的最小正周期為T＝2π＝6. 2． (xx浙江)把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是 (　　) 答案　A 解析　y＝cos 2x＋1 y＝cos x＋1 y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)． 結合選項可知應選A. 3． (xx大綱全國)設函數(shù)f(x)＝cos ωx (ω>0)，將y＝f(x)的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則ω的最小值等于 (　　) A. B．3 C．6 D．9 答案　C 解析　由題意可知，nT＝ (n∈N*)， ∴n＝ (n∈N*)， ∴ω＝6n (n∈N*)，∴當n＝1時，ω取得最小值6. 4． 把函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個單位，再把所得函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，所得的函數(shù) 解析式為(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案　D 解析　將原函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y＝sin＝sin的圖象；再把所得函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)y＝sin的圖象． 5. 已知簡諧運動f(x)＝Asin(ωx＋φ) (|φ|<)的部分圖象如圖所示，則該簡諧 運動的最小正周期T和初相φ分別為 (　　) A．T＝6π，φ＝ B．T＝6π，φ＝ C．T＝6，φ＝ D．T＝6，φ＝ 答案　C 解析　由圖象易知A＝2，T＝6，∴ω＝， 又圖象過(1,2)點，∴sin＝1， ∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝. 題型一　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換 例1　已知函數(shù)y＝2sin， (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五點法”作出它在一個周期內的圖象； (3)說明y＝2sin的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到． 思維啟迪：(1)由振幅、周期、初相的定義即可解決． (2)五點法作圖，關鍵是找出與x相對應的五個點． (3)只要看清由誰變換得到誰即可． 解　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π， 初相φ＝. (2)令X＝2x＋，則y＝2sin＝2sin X. 列表，并描點畫出圖象： x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 (3)方法一　把y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再把y＝sin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象，最后把y＝sin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 方法二　將y＝sin x的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 探究提高　(1)作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點法，此法注意在作出一個周期上的簡圖后，應向兩端伸展一下，以示整個定義域上的圖象；(2)變換法作圖象的關鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用ωx＋φ＝ω來確定平移單位． 　已知函數(shù)f(x)＝3sin，x∈R. (1)畫出函數(shù)f(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖； (2)將函數(shù)y＝sin x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象？ 解　(1)列表取值： x π π π π x－ 0 π π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五個關鍵點并用光滑曲線連接，得到一個周期的簡圖． (2)先把y＝sin x的圖象向右平移個單位，然后把所有的點的橫坐標擴大為原來的2倍，再把所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，得到f(x)的圖象． 題型二　求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　(1)(xx江蘇) 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(0)的值是______． (2)(xx遼寧)已知函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則f()等于 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2＋ B. C. D．2－ 思維啟迪：(1)由平衡點和相鄰最低點間的相對位置確定周期；根據(jù)待定系數(shù)法求φ. (2)將“ωx＋φ”看作一個整體放在一個單調區(qū)間內求解． 答案　(1)　(2)B 解析　(1)由題圖知A＝，＝－＝， ∴T＝π，ω＝＝2. ∴2＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)． 令k＝0，得φ＝. ∴函數(shù)解析式為f(x)＝sin， ∴f(0)＝sin ＝. (2)由圖形知，T＝＝2(π－)＝，∴ω＝2. 由2π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－π，k∈Z. 又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan(20＋)＝1， 知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)， ∴f()＝tan(2＋)＝tan＝. 探究提高　根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考慮： ①A的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即A＝； ②k的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即k＝； ③ω的確定：結合圖象，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)來確定ω； ④φ的確定：由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k最開始與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)確定φ. 已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的圖象 的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式為____________． 答案　f(x)＝2sin 解析　觀察圖象可知：A＝2且點(0,1)在圖象上， ∴1＝2sin(ω0＋φ)，即sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.又∵π是函數(shù)的一個零點，且是圖象遞增穿過x軸形成的零點，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin. 題型三　三角函數(shù)模型的應用 例3　如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8米，圓上最低點與地 面的距離為0.8米，且每60秒轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以 OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設B點與地面間的距離為h. (1)求h與θ間的函數(shù)關系式； (2)設從OA開始轉動，經(jīng)過t秒到達OB，求h與t之間的函數(shù)關系式，并求該纜車首次到達最高點時所用的時間． 解　(1)過點O作地面的平行線ON，過點B作ON的垂線BM交ON于 點M(如圖)， 當θ>時，∠BOM＝θ－， h＝OA＋BM＋0.8 ＝5.6＋4.8sin. 當0≤θ≤時，上式也成立． ∴h與θ間的函數(shù)關系式為h＝5.6＋4.8sin. (2)點A在圓上轉動的角速度是弧度/秒， ∴t秒轉過的弧度數(shù)為t， ∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)． 首次到達最高點時，h＝10.4米， 即sin＝1，t－＝， 即t＝30秒時，該纜車首次到達最高點． 探究提高　本題屬三角函數(shù)模型的應用，通常的解決方法：轉化為y＝sin x，y＝cos x等函數(shù)解決圖象、最值、單調性等問題，體現(xiàn)了化歸的思想方法；用三角函數(shù)模型解決實際問題主要有兩種：一種是用已知的模型去分析解決實際問題，另一種是需要建立精確的或者數(shù)據(jù)擬合的模型去解決問題，尤其是利用數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)解決實際問題，充分體現(xiàn)了新課標中“數(shù)學建?！钡谋举|． 如圖所示，某地夏天從8～14時用電量變化曲線近 似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)． (1)求這一天的最大用電量及最小用電量； (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式． 解　(1)最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度． (2)觀察圖象，可知從8～14時的圖象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個周期的圖象． ∴A＝(50－30)＝10，b＝(50＋30)＝40. ∴＝14－8＝，∴ω＝， ∴y＝10sin＋40. 將x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝， ∴所求解析式為y＝10sin＋40，x∈[8,14]． 利用三角函數(shù)的性質求解析式 典例：(12分)如圖為y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一段． (1)求其解析式； (2)若將y＝Asin(ωx＋φ)的圖象向左平移個單位長度后得y＝f(x)，求f(x)的對稱軸方程． 審題視角　(1)圖象是y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．(2)根據(jù)“五點法”作圖的原則，M可以看作第一個零點；可以看作第二個零點． 規(guī)范解答 解　(1)由圖象知A＝， 以M為第一個零點，N為第二個零點．[2分] 列方程組　解之得[4分] ∴所求解析式為y＝sin.[6分] (2)f(x)＝sin ＝sin，[8分] 令2x－＝＋kπ(k∈Z)，則x＝π＋ (k∈Z)，[10分] ∴f(x)的對稱軸方程為x＝π＋ (k∈Z)．[12分] 答題模板 第一步：根據(jù)圖象確定第一個平衡點、第二個平衡點或最高點、最低點． 第二步：將“ωx＋φ”作為一個整體，找到對應的值． 第三步：列方程組求解． 第四步：寫出所求的函數(shù)解析式． 第五步：反思回顧，查看關鍵點、易錯點及答題規(guī)范． 溫馨提醒　(1)求函數(shù)解析式要找準圖象中的“五點”，利用方程求解ω，φ；(2)討論性質時將ωx＋φ視為一個整體． 方法與技巧 1． 五點法作函數(shù)圖象及函數(shù)圖象變換問題 (1)當明確了函數(shù)圖象基本特征后，“描點法”是作函數(shù)圖象的快捷方式．運用“五點法”作正、余弦型函數(shù)圖象時，應取好五個特殊點，并注意曲線的凹凸方向． (2)在進行三角函數(shù)圖象變換時，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角”變化多少． 2． 由圖象確定函數(shù)解析式 由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象確定A、ω、φ的題型，常常以“五點法”中的第一個零點作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置．要善于抓住特殊量和特殊點． 3． 對稱問題 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與x軸的每一個交點均為其對稱中心，經(jīng)過該圖象上坐標為(x，A)的點與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對稱軸，這樣的最近兩點間橫坐標的差的絕對值是半個周期(或兩個相鄰平衡點間的距離)． 失誤與防范 1． 由函數(shù)y＝sin x(x∈R)的圖象經(jīng)過變換得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，在具體問題中，可先平移變換后伸縮變換，也可以先伸縮變換后平移變換，但要注意：先伸縮，后平移時要把x前面的系數(shù)提取出來． 2． 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質是本節(jié)考查的重點，也是高考熱點，復習時盡可能使用數(shù)形結合的思想方法，如求解對稱軸、對稱中心和單調區(qū)間等． 3． 注意復合形式的三角函數(shù)的單調區(qū)間的求法．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調區(qū)間的確定，基本思想是把ωx＋φ看做一個整體．在單調性應用方面，比較大小是一類常見的題目，依據(jù)是同一區(qū)間內函數(shù)的單調性． A組　專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移φ (0≤φ<2π)個單位后，得到函數(shù)y＝sin的圖象，則φ等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　將函數(shù)y＝sin x向左平移φ(0≤φ<2π)個單位得到函數(shù)y＝sin(x＋φ)．只有φ＝π時有y＝sin＝sin. 2． (xx課標全國)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調遞減，則ω的取值范圍是 (　　) A. B. C. D．(0,2] 答案　A 解析　取ω＝，f(x)＝sin， 其減區(qū)間為，k∈Z， 顯然?，k∈Z， 排除B，C. 取ω＝2，f(x)＝sin， 其減區(qū)間為，k∈Z， 顯然?，k∈Z，排除D. 3． 將函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象F向左平移個單位長度后得到圖象F′，若F′的一個對稱中心為，則φ的一個可能取值是 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　圖象F′對應的函數(shù)y′＝sin， 則＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z， 令k＝1時，φ＝，故選D. 4． 若函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，則(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ 答案　D 解析　∵T＝π，∴ω＝2. 又2sin φ＝，|φ|<，∴φ＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0)在閉區(qū)間[－π，0]上的圖象如圖所示，則ω＝________. 答案　3 解析　由圖象可以看出T＝π，∴T＝π＝，因此ω＝3. 6． 已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在區(qū)間上有最小值，無最大值，則ω＝________. 答案　 解析　依題意，x＝＝時，y有最小值， ∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z)． ∴ω＝8k＋ (k∈Z)，因為f(x)在區(qū)間上有最小值，無最大值，所以－<，即ω<12，令k＝0， 得ω＝. 7． 設函數(shù)f(x)＝sin x－cos x，若0≤x≤2 011π，則函數(shù)f(x)的各極值之和為________． 答案　 解析　f′(x)＝cos x＋sin x＝sin，令f′(x)＝0，得x＝－＋kπ (k∈Z)，∵f(x)＝sin， ∴f＝sin ＝sin＝－cos kπ， 當k為奇數(shù)時，函數(shù)取得極大值； 當k為偶數(shù)時，函數(shù)取得極小值－， ∵0≤x≤2 011π，∴≤k≤， ∴此函數(shù)在此區(qū)間上各極值的和為. 三、解答題(共22分) 8． (10分)(xx陜西)函數(shù)f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設α∈，f＝2，求α的值． 解　(1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3， ∴A＋1＝3，即A＝2. ∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為， ∴最小正周期T＝π，∴ω＝2， ∴函數(shù)f(x)的解析式為y＝2sin＋1. (2)∵f＝2sin＋1＝2， ∴sin＝. ∵0<α<，∴－<α－<， ∴α－＝，∴α＝. 9． (12分)已知函數(shù)f(x)＝2sincos－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若將f(x)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值． 解　(1)因為f(x)＝sin＋sin x ＝cos x＋sin x＝2 ＝2sin， 所以f(x)的最小正周期為2π. (2)∵將f(x)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象， ∴g(x)＝f＝2sin[＋] ＝2sin. ∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴當x＋＝，即x＝時，sin＝1，g(x)取得最大值2. 當x＋＝，即x＝π時，sin＝－，g(x)取得最小值－1. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 函數(shù)y＝sin 2x的圖象向右平移φ (φ>0)個單位，得到的圖象恰好關于x＝對稱，則φ的最小值為 (　　) A.π B.π C.π D．以上都不對 答案　A 解析　y＝sin 2x的圖象向右平移φ個單位得到y(tǒng)＝sin 2(x－φ)的圖象，又關于x＝對稱，則2＝kπ＋ (k∈Z)，2φ＝－kπ－ (k∈Z)，取k＝－1，得φ＝π. 2． 設ω>0，函數(shù)y＝sin(ωx＋)＋2的圖象向右平移個單位后與原圖象重合，則ω的最小值是 (　　) A. B. C. D．3 答案　C 解析　由函數(shù)向右平移個單位后與原圖象重合， 得是此函數(shù)周期的整數(shù)倍．又ω>0， ∴k＝，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝. 3. 電流強度I(安)隨時間t(秒)變化的函數(shù)I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<) 的圖象如右圖所示，則當t＝秒時，電流強度是 (　　) A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安 答案　A 解析　由圖象知A＝10，＝－＝， ∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)． 為五點中的第二個點，∴100π＋φ＝. ∴φ＝.∴I＝10sin， 當t＝秒時，I＝－5安． 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m對任意實數(shù)t都有f＝f，且f＝－3，則實數(shù)m的值等于________． 答案?。?或－5 解析　依題意得，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱，于是當x＝時，函數(shù)f(x)取得最值，因此有2＋m＝－3，解得m＝－5或m＝－1. 5． 已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－≤φ≤)的圖象上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2，且過點，則函數(shù)解析式f(x)＝_______________. 答案　sin 解析　據(jù)已知兩個相鄰最高及最低點距離為2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函數(shù)圖象過點，故f(2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin. 6． 某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的平均氣溫值為________℃. 答案　20.5 解析　由題意得　∴ ∴y＝23＋5cos， x＝10時，y＝23＋5＝20.5. 三、解答題 7． (13分)(xx湖南)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<) 的部分圖象如圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝f－f的單調遞增區(qū)間． 解　(1)由題設圖象知，周期T＝2＝π， 所以ω＝＝2.因為點在函數(shù)圖象上， 所以Asin＝0，即sin＝0. 又因為0<φ<，所以<＋φ<. 從而＋φ＝π，即φ＝. 又點(0,1)在函數(shù)圖象上，所以Asin ＝1，解得A＝2. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin. (2)g(x)＝2sin－2sin ＝2sin 2x－2sin ＝2sin 2x－2 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間是，k∈Z.