三重積分的變量代換

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1、首頁(yè),上頁(yè),返回,下頁(yè),結(jié)束,三重積分的變量代換,柱面坐標(biāo)代換 球面坐標(biāo)代換,三重積分的對(duì)稱性,一、三重積分的換元法,例1.求由下面方程表示的曲面所圍立體的體積:,其中,解:令,則,1.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn),M,的柱坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:,坐標(biāo)面分別為,圓柱面,半平面,平面,因此,適用范圍:,1),積分域,是圓,柱或它在某坐標(biāo)面上的投影為圓(或一部分),;,2),被積函數(shù),中含有,x,2,+y,2,(,相應(yīng)地,y,2,+z,2,x,2,+z,2,),形式,.,其中,為由,例2.,計(jì)算三重積分,所圍,解:,在柱面坐標(biāo)系下,及平面,柱面,成半圓柱體.,例3.,計(jì)算三重積分,

2、解:,在柱面坐標(biāo)系下,所圍成.,與平面,其中,由拋物面,原式=,2.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn),M,的球坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,坐標(biāo)面分別為,球面,半平面,錐面,因此有,適用范圍:,1),積分域,表面是球面或頂點(diǎn)在原點(diǎn)的圓錐面;,2),被積函數(shù),含,x,2,+y,2,+z,2,一類式子.,例4.,計(jì)算三重積分,解:,在球面坐標(biāo)系下,所圍立體.,其中,與球面,3.廣義球坐標(biāo)變換,直角坐標(biāo)與廣義球坐標(biāo)的關(guān)系,例13.3.9.橢球 的體積,內(nèi)容小結(jié),積分區(qū)域,多由坐標(biāo)面,被積函數(shù),形式簡(jiǎn)潔,或,坐標(biāo)系 體積元素 適用情況,直角坐標(biāo)系,柱面坐標(biāo)系,球面坐標(biāo)系,*說(shuō)明,:,三重積分也有類

3、似二重積分的,換元積分公式:,對(duì)應(yīng)雅可比行列式為,變量可分離.,圍成;,二、利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算,使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：,.積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；,.被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的,奇偶性,解,積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，,被積函數(shù)是 的,奇函數(shù),解,例7.,求曲面,所圍立體體積.,解:,由曲面方程可知,立體位于,xoy,面上部,利用對(duì)稱性,所求立體體積為,yoz,面對(duì)稱,并與,xoy,面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為,且關(guān)于,xoz,輪換對(duì)稱性,：,若積分區(qū)域,的表達(dá)式中將,x,y,z,依次輪換,表達(dá)式不變,則稱,關(guān)于,x,y,z,輪換對(duì)稱.此時(shí)有,例8.,設(shè),是由平面,x+y+z=1,和三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的,區(qū)域,求,解:由輪換對(duì)稱性,說(shuō)明,：二重積分也有輪換對(duì)稱性.,若積分區(qū)域,D,的表達(dá)式中將,x,y,依次輪換,表達(dá)式不變,則稱,D,關(guān)于,x,y,輪換對(duì)稱.此時(shí)有,例9.,設(shè),證:由輪換對(duì)稱性,1.,將,用三次積分表示,其中,由,所,提示:,綜合例子,六個(gè)平面,圍成,2.,設(shè),由錐面,和球面,所圍成,計(jì)算,提示:,利用對(duì)稱性,用球坐標(biāo),3.,計(jì)算,所圍成.,其中,由,分析：,若用“先二后一”,則有,計(jì)算較繁!,采用“,先一后二,”較好.,所圍,故可,表為,解:,4.,計(jì)算,其中,解:,利用對(duì)稱性,思考題,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,