《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點專題6-3 等比數(shù)列及其前n項和》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點專題6-3 等比數(shù)列及其前n項和（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題6.3 等比數(shù)列及其前n項和
【考情分析】
1.理解等比數(shù)列的概念．
2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
【重點知識梳理】
知識點一 等比數(shù)列的定義
如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
知識點二 等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
(1)若
2、等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝＝.
知識點三 等比數(shù)列及前n項和的性質(zhì)
(1)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.
(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則akal＝aman．
(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm．
(4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n
3、為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．
【必會結(jié)論】等比數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝amqn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則aman＝apaq＝a.
(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{anbn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．
(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
(5)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n
4、－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
(6)等比數(shù)列{an}滿足或時，{an}是遞增數(shù)列；滿足或時，{an}是遞減數(shù)列．
【典型題分析】
高頻考點一 等比數(shù)列基本量的運算
【例1】（2020新課標(biāo)Ⅱ）數(shù)列中，，，若，則（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，
，
，則，解得.
【舉一反三】(2019高考全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝1，S3＝，則S4＝ ．
【解析】 (1)通解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝1及S3
5、＝，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝＝，得1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以S4＝＝＝.
優(yōu)解一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所以1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以a4＝a1q3＝＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋＝.
優(yōu)解二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意易知q≠1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝A(1－qn)(其中A為常數(shù))，則a1＝S1＝A(1－q)＝1 ①，S3＝A(1－q3)＝?、冢散佗诳傻肁＝，q＝－.所以S4＝＝.
【答案】
【方法技巧】
(1)等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五
6、個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解；
(2)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝。
【舉一反三】(2019高考全國卷Ⅲ)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝( )
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，則t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍
7、去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故選C.
高頻考點二 等比數(shù)列的判定與證明
【例2】（2020北京卷）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：
①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；
②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．
(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；
(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；
(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.
【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；
(Ⅱ)具有性質(zhì)①；
具有
8、性質(zhì)②；
(Ⅲ)假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：
首先利用性質(zhì)②：取，此時，
由數(shù)列的單調(diào)性可知，
而，故，
此時必有，即，
即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，
然后利用性質(zhì)①：取，則，
即數(shù)列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，
否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，
在性質(zhì)②中，取，則，從而，
與前面類似的可知則存在，滿足，
若，則：，與假設(shè)矛盾；
若，則：，與假設(shè)矛盾；
若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；
即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，
同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，
同理，當(dāng)數(shù)列中的項數(shù)均為負(fù)數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.
由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負(fù)，不
9、會同時出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).
從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.
【變式探究】(2019全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；
(2)求{an}和{bn}的通項公式．
【解析】(1)證明：由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又因為a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋
10、2.
又因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
【方法技巧】等比數(shù)列的判定方法
定義法
若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
中項公式法
若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列
通項公式法
若數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝cqn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等
11、比數(shù)列
前n項和公式法
若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝kqn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列
【特別提醒】(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定；
(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可。
【舉一反三】（2018全國卷）已知數(shù)列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，設(shè)bn=ann．
（1）求b1?，??b2?，??b3；
（2）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求an的通項公式．
【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4．
(2) {bn}
12、是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．理由見解析.
(3) an=n2n-1．
【解析】
（1）由條件可得an+1=2(n+1)nan．
將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
從而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
由條件可得an+1n+1=2ann，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（3）由（2）可得ann=2n-1，所以an=n2n-1．
高頻考點三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
【例3】(2020河南洛陽市模擬)在等比
13、數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為( )
A．－ B．－
C. D．－或
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，所以a3a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－.
【方法技巧】
(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則aman＝apaq”，可以減少運算量，提高解題速度．
(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形．此外，
14、解題時注意設(shè)而不求思想的運用．
【變式探究】（2020河北承德模擬）等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝ ．
【答案】5
【解析】由題意知a1a5＝a＝4，因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝(a)2a3＝a＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
高頻考點四 等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用
【例4】（2020江蘇卷）設(shè){a
15、n}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．
【答案】4
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.
等差數(shù)列的前項和公式為，
等比數(shù)列的前項和公式為，
依題意，即，
通過對比系數(shù)可知，故.
【舉一反三】 (2018全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.
【解析】(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，
解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，
此方程沒有正整數(shù)解．
若an＝2n－1，則Sn＝＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
綜上，m＝6.
【變式探究】（2020江蘇南京模擬）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝，則＝ ．
【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為＝，所以{an}的公比q≠1.由＝，得q3＝－，所以＝＝.
【答案】
2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點專題6-3 等比數(shù)列及其前n項和
