2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

專題6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【考情分析】1.理解等比數(shù)列的概念2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系【重點(diǎn)知識梳理】知識點(diǎn)一 等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q0)表示數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：q(n2，q為非零常數(shù))，或q(nN*，q為非零常數(shù))知識點(diǎn)二 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為ana1qn1；通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sn.知識點(diǎn)三 等比數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即：G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列G2ab.(2)若an為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，akm，ak2m，仍是等比數(shù)列，公比為qm(4)當(dāng)q1，或q1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn【必會(huì)結(jié)論】等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，則amanapaqa.(3)若數(shù)列an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，anbn，(0)仍然是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(5)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(6)等比數(shù)列an滿足或時(shí)，an是遞增數(shù)列；滿足或時(shí)，an是遞減數(shù)列【典型題分析】高頻考點(diǎn)一 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算【例1】（2020新課標(biāo)）數(shù)列中，若，則（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，則，解得. 【舉一反三】(2019高考全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a11，S3，則S4 【解析】(1)通解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a11及S3，易知q1.把a(bǔ)11代入S3，得1qq2，解得q，所以S4.優(yōu)解一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)镾3a1a2a3a1(1qq2)，a11，所以1qq2，解得q，所以a4a1q3，所以S4S3a4.優(yōu)解二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意易知q1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnA(1qn)(其中A為常數(shù))，則a1S1A(1q)1，S3A(1q3)，由可得A，q.所以S4.【答案】【方法技巧】(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解；(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Snna1；當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Sn?！九e一反三】(2019高考全國卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15，且a53a34a1，則a3()A16 B8C4 D2【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由a53a34a1，得a1q43a1q24a1，得q43q240，令q2t，則t23t40，解得t4或t1(舍去)，所以q24，即q2或q2(舍去)又S415，所以a11，所以a3a1q24.故選C.高頻考點(diǎn)二 等比數(shù)列的判定與證明【例2】（2020北京卷）已知是無窮數(shù)列給出兩個(gè)性質(zhì)：對于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；對于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)使得()若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)，說明理由；()若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì)，說明理由；()若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì)，證明：為等比數(shù)列.【答案】()詳見解析；()詳解解析；()證明詳見解析.【解析】()不具有性質(zhì)；()具有性質(zhì)；具有性質(zhì)；()假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時(shí)必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，然后利用性質(zhì)：取，則，即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為，下面我們來證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)中，取，則，從而，與前面類似的可知?jiǎng)t存在，滿足，若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù)，不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.【變式探究】(2019全國卷)已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項(xiàng)公式【解析】(1)證明：由題設(shè)得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因?yàn)閍1b11，所以anbn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因?yàn)閍1b11，所以anbn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.【方法技巧】等比數(shù)列的判定方法定義法若q(q為非零常數(shù)，nN*)或q(q為非零常數(shù)且n2，nN*)，則an是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列an中，an0且aanan2(nN*)，則an是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列an的通項(xiàng)公式可寫成ancqn1(c，q均為非零常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkqnk(k為非零常數(shù)，q0,1)，則an是等比數(shù)列【特別提醒】(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定；(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可。【舉一反三】（2018全國卷）已知數(shù)列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，設(shè)bn=ann（1）求b1，b2，b3；（2）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求an的通項(xiàng)公式【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4(2) bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列理由見解析.(3) an=n2n-1【解析】（1）由條件可得an+1=2(n+1)nan將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12從而b1=1，b2=2，b3=4（2）bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得an+1n+1=2ann，即bn+1=2bn，又b1=1，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列（3）由（2）可得ann=2n-1，所以an=n2n-1高頻考點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】(2020河南洛陽市模擬)在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x26x20的兩根，則的值為()A BC. D或【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x26x20的兩根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150，則a9，所以a9.【方法技巧】(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用【變式探究】（2020河北承德模擬）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a54，則log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5 【答案】5【解析】由題意知a1a5a4，因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a32.所以a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3(a)2a3a25.所以log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255.高頻考點(diǎn)四 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用【例4】（2020江蘇卷）設(shè)an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列已知數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.【舉一反三】 (2018全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63，求m.【解析】(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63，得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63，得2m64，解得m6.綜上，m6.【變式探究】（2020江蘇南京模擬）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，則 【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)椋詀n的公比q1.由，得q3，所以.【答案】