高中數(shù)學《復數(shù)的四則運算》素材3新人教B版必修2-2

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1、 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入復習指導 『教材重點』 ：１．復數(shù)的相等， 復數(shù)與實數(shù)以及虛數(shù)的關系， 復數(shù)的幾何意義； ２．復數(shù)的加減、乘除運算法則，以及復數(shù)加法、減法的幾何意義；３．體會數(shù)學思想方法－類比法． 『教材難點』：復數(shù)的幾何意義，復數(shù)加法以及復數(shù)減法的幾何意義，復數(shù)的除 法． 『復習過程指導』 在復習本章時， 我們重點從數(shù)學思想方法上勾通知識的內在聯(lián)系： (1) 復數(shù)與實 數(shù)、有理數(shù)的聯(lián)系； （2）復數(shù)的代數(shù)形式的加法、減法運算與平面向量的加法、減 法運算的聯(lián)系； （ 3）復數(shù)的代

2、數(shù)形式的加法、減法、乘法運算與多項式的加法、減 法、乘法運算的聯(lián)系． 在知識上，在學法上，在思想方法上要使知識形成網(wǎng)絡，以增強記憶，培養(yǎng)自 己的數(shù)學邏輯思維能力．其數(shù)學思想方法（類比法、化一般為特殊法）網(wǎng)絡如下： 多項 式 類比 復數(shù) 類比 向量 運算 運算 運算 轉 化 有理數(shù) 轉化 實數(shù) 類比 數(shù)軸上 運算 運算 向量運 一．數(shù)學思想方法總結 算 1 數(shù)學思想方法之

3、一：類比法（ 1）復數(shù)的運算 復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運算法則 (a bi ) ( c di ) ( a c) (b d )i 復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算運算法則： (a bi )(c di ) (ac bd ) (ad bc)i 顯然在運算法則上類似于多項式的加減法（合并同類項） ，以及多項式的乘法，這就給我們對復數(shù)的運算以及記憶帶來了極大的方便． （ 2）復數(shù)的幾何意義 我們知道， 實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應的； 有序實數(shù)對與直角坐標平面內的點一 一對應；類似的我們有： 復數(shù)集 C＝ a bi | a, b R 與坐標系中

4、的點集(a ,b) |a R, b R 一一對 應．于是： 復數(shù)集 z ＝ a bi 復平面內的點 Z ( a, b) 復數(shù)集 z ＝ a bi 平面向量 OZ 用心 愛心 專心 例 1（ 2005 高考浙江 4）．在復平面內，復數(shù) i ＋(1 ＋ 3 2 對應的點 1 i ) i 位于 ( ) (A) 第一象限(B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

5、 i ＋ (1 ＋ 3 i 2 1 2 3i 3 解答：復數(shù) ) ＝ 1 i 1 i 2 ＝ 因為復數(shù)  3 1 2 3)i 2 ( 2 3 ( 1 2 3)i 對應著直角坐標平面內的點 ( 3 , 1 2 3) ， 2 2 2 2 故在第二象限，答案為 B． 此題一方面考查了復數(shù)的運算能力， 另一方面考察了對復數(shù)的

6、幾何意義的 理解． 例 2．非零復數(shù) z1, z2 分別對應復平面內向量 OA, OB ，若 | z1 z2 | =| z1 z2 | 則向量 OA 與 OB 的關系必有（ ） A ． OA = OB B ． OA OB C ． OA OB D ． OAOB， 共線 解答： 由向量的加法及減法可知： y OC ＝ OA OB C AB ＝ OB OA B 由復數(shù)加法以及減法的幾何

7、意義可知： A | z1 z2 | 對應 OC 的模 o x 圖１ | z1 z2 | 對應 AB 的模 又因為 | z1 z2 | = | z1 z2 | ，且非零復數(shù) z1, z2 分別對應復平面內向量 OA,OB 所以四邊形 OACB是正方形 因此 OA OB ，故答案選 B． 注： 此題主要考察了復數(shù)加法以及減法的幾何意義 （ 3）復數(shù)的化簡 虛數(shù)除法運算的分母“實數(shù)化” ，類似的有實數(shù)運算的分母“有理化” ． 例３（ 2005 高考

8、 天津卷理 (2) ）若復數(shù) a 3i （ a ∈ R，i 為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)， 則實數(shù) a 的值為 1 2i （ A） -2 (B)4 (C) -6 (D)6 用心 愛心 專心 解答：由 a 3i ＝ (a 3i)(1 2i) ＝ a 6 (3 2a)i 1 2i(1 2i )(1 2i ) 12 22 ＝ a 6 3 2a i 5 5 因為復

9、數(shù) a 3i 是純虛數(shù) 1 2i 所以 a 6 0 且 3 2a 0 5 5 解得 a 6 故答案選 C． 注 ： 這 里 在 復 數(shù) 的 化 簡 中 主 要 用 了 一 對 共 軛 復 數(shù) 的 積 是 實 數(shù) (1 2i)(1 2i ) ＝５，一般地（ a bi ）

10、（ a bi ）＝ a2 b2 這也是一個復數(shù)與實數(shù)轉化的過程，即 a 6 3 2a i 是純虛數(shù)可得： a 6 3 2a 5 5 0 且 0 ， 5 5 2．數(shù)學思想方法之二 轉化法 我們知道在運算上， 高次方程要轉化為低次方程， 多元方程要轉化為一元方程進 行運算； 實數(shù)的運算要轉

11、化為有理數(shù)的運算； 類似地， 有關虛數(shù)的運算要轉化為實數(shù) 的運算． 實數(shù) a(b 0) 基礎知識：復數(shù) a bi 虛數(shù) a bi (b 0) 純虛數(shù) bi ( a 0) 非純虛數(shù) a （ 0) bi a 例４（ 2005 高考北京卷（ 9））若 z1 a 2i , z2 3 4i ，且 z1 為純虛

12、數(shù)，則 z2 實數(shù) a 的值為 ． 解答： z1 ＝ a 2i (a 2i )(3 4i ) ＝ 3a 8 6 4a i z2 3 4i 32 42 25 25 因為 z1 為純虛數(shù) z2 所以 3a 8 0 且 6 4a 0 ．解得 a 8

13、 25 25 3 R ，若 a bi 例５．（ 2005 高考，吉林、黑龍江、 廣西（５））設 a 、b 、c 、 d c di 為實數(shù)，則， （A） bc ad 0 （B） bc ad 0 （C） bc ad 0 （D） bc ad 0 用心 愛心 專心

14、 解答： 由 a bi ac bd bc ad i c di c 2 d 2 c 2 d 2 因 a bi 數(shù)， c di 所以其虛部 bc ad 0 ，即 bc ad 0 c2 d2 故答案 C． 里先把分母“ 數(shù)化” ，即分子以及分母同乘以分母的“ 數(shù)化”因式． 似于以前所學的 數(shù)化 的把分母“有理化” ．再把它 化 數(shù)

15、的運算． 二．解 律 １有關虛數(shù) 位 i 的運算及拓展 虛 數(shù) i 的 乘 方 及 其 規(guī) 律 ： i 1 i ， i 2 ＝ － １ ， i 3 i ， i 4 1 ， i 5 i,i 6 1,i 7 i ,i 8 1 ? i 4n 1 i, i 4 n 2 1,i 4n 3 i ,i 4n 1?（ n N ） 拓展（ 1）任何相 四個數(shù)的和 ０； （2）指數(shù)成等差的四個數(shù)的和 ０； 例如： i 2n 3 i 2n 1 i 2 n 1 i 2 n 3 ＝０ （3） 多個數(shù)相加的 律．

16、 例 6．求 i 10 i11 i12 ? i 2006 的 解答：共有 2006－ 10＋１＝１ 997 項 由于 1997＝ 4 499＋1 由于 4 個的和等于 0 因此原式＝ i10 ＝－ 1 2．有關復數(shù)的幾個常用化 式 (1 i )2 2i ,(1 i )2 2i ， 1 i ， 1 i i, 1 i i i 1 i 1 i 例 7（ 2005 高考重 2）． 1 i 2005 （ ） ( ) 1 i

17、 A． i B．－ i C． 22005 D．－ 22005 解答： (1 i )2005 i 2005 (i 4 )501 i i 1 i 故答案 A 3．有關復數(shù)的 合運算 例７（ 2005 高考上海 18）、（本 分 12 分）在復數(shù)范 內解方程 | z |2 (z z)i 3 i （ i 虛數(shù) 位） 2 i 解法一． z a bi ( a, b R) ， z a bi 用心 愛心 專心

18、 由于 | z |2 ( z z)i a2 b2 2ai 3 i ＝ (3 i )(2 i ) ＝ 1 i 2 i 22 12 所以 a2 b2 2ai ＝ 1 i 根據(jù)復數(shù)的相等得 a2 b2 1 2a 1 解得 a 1 , b 3 2 2 因此， z 1 3 2 即為所求．

19、 2 解題評注：（ 1）設復數(shù)的代數(shù)形式（ z a bi ( a,b R) ）以代入法解題的 一種基本而常用的方法； （ 2）復數(shù)的相等（ a bi ＝ c dia c, b d ( a ,b , c , d ）R是實現(xiàn)復數(shù)運算轉化為實數(shù)運算的重要方法．這兩種方法必須切 實掌握； 三．高考命題趨勢 從新教材的特點來看， 高考題的難度不會大， 主要以客觀題的形式考察基礎知識．以上結合高考題給出了復習的方法， 以及重點難點， 希望同學們結合數(shù)學思想方法，使知識形成網(wǎng)絡，系統(tǒng)全面的掌握所學知識． 用心 愛心 專心