2019-2020年高二數(shù)學(xué) 第二章 第1節(jié) 曲線與方程知識(shí)精講 理 人教實(shí)驗(yàn)B版選修2－1.doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 第二章 第1節(jié) 曲線與方程知識(shí)精講 理 人教實(shí)驗(yàn)B版選修2－1 【本講教育信息】 一、教學(xué)內(nèi)容： 選修2－1 曲線與方程 二、教學(xué)目標(biāo)： 了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法研究幾何問題的方法；掌握用幾種重要的方法求曲線的方程的方法和步驟。 三、知識(shí)要點(diǎn)分析： 1、求曲線方程的步驟： （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)； （2）寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P={M︱p（M）}； （3）用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0； （4）化方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式； （5）說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。 2、求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、交軌法。 （1）直接法：將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，即直接通過建立x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成f（x，y）＝0，此法是求軌跡的最基本的方法。 （2）定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系，從而求出軌跡方程。 注：①用定義法求曲線方程，靈活運(yùn)用題設(shè)重要條件，確定動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線定義確定方程的類型。 ②步驟：列出等量關(guān)系式；由等式的幾何意義，結(jié)合圓錐曲線的定義確定軌跡的形狀；寫出方程。 ③利用“定義法”求軌跡方程的關(guān)鍵：找出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系。 （3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成的軌跡的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）卻隨著另一動(dòng)點(diǎn)Q（x1，y1）的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律地運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為已給定或容易求得，則可先將x1、y1表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程。 （4）待定系數(shù)法：所求曲線是所學(xué)過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可； （5）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程 （6）交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程。 要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形、在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需說明及討論清楚。 【典型例題】 例1. 已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線 解：建立坐標(biāo)系如圖所示， 設(shè)|AB|=2a，則A（－a，0），B（a，0）. 設(shè)M（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn). 則由題設(shè)，得=λ，代入坐標(biāo)， 得=λ，化簡(jiǎn)得 （1－λ2）x2+（1－λ2）y2+2a（1+λ2）x+（1－λ2）a2=0 （1）當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線（y軸）. （2）當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0，點(diǎn)M的軌跡是以（－，0）為圓心，為半徑的圓. 感悟：本題所用的方法是直接法，在所求得的曲線方程中含參數(shù)，應(yīng)通過對(duì)參數(shù)的討論來說明軌跡的類型，即是什么曲線，它的位置，形狀，大小如何，此題易忽視討論λ=1的情況。 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用直接法求得軌跡方程，再由λ值的變化討論方程所表示的曲線。 例2. 如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程。 命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程： 錯(cuò)解分析：欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題. 技巧與方法：對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程. 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為（x，y），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理： 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－（x2+y2） 又|AR|=|PR|= 所以有（x－4）2+y2=36－（x2+y2），即x2+y2－4x－10=0 因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)， Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng). 設(shè)Q（x，y），R（x1，y1），因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)， 所以x1=， 代入方程x2+y2－4x－10=0，得 －10=0 整理得：x2+y2=56，這就是所求的頂點(diǎn)Q的軌跡方程. 例3. 已知圓x2+y2=16，A（2，0），若P，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。 解：設(shè)PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由已知圓的參數(shù)方程， 可設(shè)， ， …………（1） 又，， ，化簡(jiǎn)得 代入（1）式，得 ， 所以所求PQ中點(diǎn)的軌跡方程為。 例4. 圓過點(diǎn)P（2，－1）且和直線相切，圓心在直線y=－2x上，求此圓的方程。 解：設(shè)圓的方程為， 由已知， 解得a=1，b=－2，r=或a=9，b=－18，r=13. 所以此圓的方程為。 注意：求圓的方程，可先設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，再由題設(shè)條件建立方程組，解方程組，確定方程中的待定系數(shù)。 例5. 設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線 y2=4px（p＞0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。 命題意圖：本題主要考查用“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程。 知識(shí)依托：直線與拋物線的位置關(guān)系。 錯(cuò)解分析：當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）時(shí)，注意對(duì)“x1=x2”的討論。 技巧與方法：將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系。 解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）（x≠0） 直線AB的方程為x=my+a 由OM⊥AB，得m=－ 由y2=4px及x=my+a，消去x，得y2－4pmy－4pa=0 所以y1y2=－4pa， x1x2= 所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2 所以 故x=my+4p，用m=－代入，得x2+y2－4px=0（x≠0） 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。 解法二：設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得 則OB的方程為，代入y2=4px得 ∴AB的方程為，過定點(diǎn)， 由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外） 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。 解法三：設(shè)M（x，y） （x≠0），OA的方程為， 代入y2=4px得 則OB的方程為，代入y2=4px得 由OM⊥AB，得 M既在以O(shè)A為直徑的圓 ……①上， 又在以O(shè)B為直徑的圓 ……②上（O點(diǎn)除外）， ①+②得 x2+y2－4px=0（x≠0） 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。 本講涉及的數(shù)學(xué)思想、方法 1、曲線方程的意義；方程恰為曲線C的方程即曲線C恰為方程的曲線的充要條件；已知曲線求方程：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；已知曲線方程求曲線：要做到不多不少剛剛好；曲線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)。 2、注意動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的某些隱含條件，注意方程化簡(jiǎn)時(shí)的等價(jià)性，主要是在去分母和兩邊平方時(shí)的變形，還要注意圖形可以有不同的位置或字母系數(shù)取不同值時(shí)的討論。 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案 （期中考試復(fù)習(xí)） （一）預(yù)習(xí)前知 1、什么是算法？ 2、畫程序框圖的規(guī)則是什么？ （二）預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 探究反思 探究反思的任務(wù)：算法，程序框圖，概率，常用邏輯用語 1、算法的特征： ①____________ ②______________ ③_______________ 2、當(dāng)A和B互斥時(shí)，事件A+B的概率滿足加法公式： P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥） 3、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式：_______________ 4、古典概型 （1）古典概型的兩大特點(diǎn)： 1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)； 2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等； （2）古典概型的概率計(jì)算公式：_______________________ 5、幾何概型的概率公式： P（A）=_______________________________ 6、原命題： 逆命題： 否命題： 逆否命題 ： 7、一般地，如果已知 ，那么我們就說 是 成立的 ；q是p成立的 ； 如果既有，又有qp，那么我們就說 是 成立的 。 8、反證法：是從要證明的結(jié)論的反面出發(fā)，推出一個(gè)矛盾的結(jié)果，從而得到原結(jié)論成立的證明方法。有些問題直接證明時(shí)條件很少或無法從正面得到結(jié)論，但用反證法較易。 用反證法證題的步驟是： （1） （2） （3） 【模擬試題】（答題時(shí)間：90分鐘） 一、選擇題 1. 如果命題“坐標(biāo)滿足方程 的點(diǎn)都在曲線 上”不正確，那么以下正確的命題是（ ） A. 曲線 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 . B. 坐標(biāo)滿足方程 的點(diǎn)有些在 上，有些不在 上. C. 坐標(biāo)滿足方程 的點(diǎn)都不在曲線 上. D. 一定有不在曲線 上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足方程 . 2. 和y軸相切并且和曲線x2+y2=4 （0≤x≤2）相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（ ）。 A. y2=－4（x－1）（x>0） B. y2=2（x+1）（0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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