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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,矩形中的折疊問題,讓我們的親人及朋友因我們的存在而感到快樂和幸福,矩形性質(zhì)獨特,折疊起來形態(tài)各異,趣味無窮,會產(chǎn)生豐富多彩的幾何問題,而這些問題往往融入了豐富的數(shù)學知識和思想,以矩形為背景的折疊問題是近年來興起的一類比較新型的問題,在中考試題,競賽試題中屢見不鮮。在很多中考試卷中,矩形的折疊問題成為一道最后的,“,壓軸題,”,。為此今天咱們專題研究有關(guān)矩形折疊的數(shù)學問題。,學習目標,:,通過本節(jié)課對矩形折疊問題的探究學習,達到總結(jié)折疊問題的規(guī)律,提煉解決折疊問題的方法,并利用折疊的規(guī)律和方法進行計算和證明,
2、.,學習重難點,:綜合運用知識挖掘矩形折疊問題中角度和線段的數(shù)量關(guān)系,.,。,1.,如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做 圖形,這條直線叫做 這時,我們也說這個圖形關(guān)于這條直線對稱,.,2.,關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是 形。,3.,如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是對應點連線的 線。,一、交流預習,軸對稱,對稱軸,全等,垂直平分,矩形的翻折一直是中考的重點,關(guān)于矩形的翻折通常有以下幾種情況,一、將一邊折到對角線上,三、一邊沿對角線翻折,四、一條對角線的頂點折疊重合,二、將一個頂點折到一邊上,例、折疊矩形紙片,先折出折痕(對角線),再折疊邊與對角線
3、重合,得折痕。若,求,一、將一邊折到對角線上,例、如圖,矩形紙片的長cm,寬3cm,將其折疊,使點與點重合,那么折疊后的長和折痕的長分別是多少?,二、,一條對角線的頂點折疊重合,例、四邊形是一塊矩形紙片,是上一點,且:,將沿折痕翻折,若點恰好落在邊上的點上,求、的長。,三、,將一個頂點折到一邊上,例,4,、如圖,已知將矩形ABCD沿著直線BD折疊,使點C落在C,/,處,BC,/,交AD于E,AD=8,AB=4,求BDE的面積,B,C,D,A,E,C,/,F,四、,一邊沿對角線翻折,(1),折疊過程,實質(zhì)上是一個,軸對稱變換,,,折痕就是對稱軸,,變換前后兩個圖形全等,。,(,2,)在矩形的折疊
4、問題中,若有求邊長問題,常設(shè)未知數(shù),找到相應的直角三角形,用勾股定理建立方程,利用,方程思想,解決問題。,(,3,)在折疊問題中,若直接解決較困難時,可將圖形,還原,,可讓問題變得簡單明了。有時還可采用,動手操作,,通過折疊觀察得出問題的答案。,找折痕,兩相等,輔助線,構(gòu)直角,用勾股,或相似,四、總結(jié)歸納,4.,如圖,已知矩形,ABCD,,將,BCD,沿對角線,BD,折疊,點,C,落在點,E,處,,BE,交,AD,于點,F,。根據(jù)圖形,你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和角嗎?,解:AB=CD=DE,BF=DF,BC=BE=AD,AF=EF,A=E=90,ABF=EDF,BDC=BDE,FBD=FD
5、B=DBC,B,C,D,E,F,A,一、交流預習,1,、如圖,已知矩形,ABCD,,將,BCD,沿對角線,BD,折疊,點,C,落在點,E,處,,BE,交,AD,于點,F,。,(,1,)若,ADE=20,,求,EBD,的度數(shù)。,(,2,)若,AB=4,,,BC=8,,求,AF,。,(,3,)在(,2,)的條件下,試求,重疊部分,DBF,的面積。,二、互助探究,B,C,D,E,F,A,1,、如圖,已知矩形,ABCD,,將,BCD,沿對角線,BD,折疊,點,C,落在點,E,處,,BE,交,AD,于點,F,。,(,1,)若,ADE=20,,求,EBD,的度數(shù)。,B,C,D,E,F,A,1,、如圖,已知
6、矩形,ABCD,,將,BCD,沿對角線,BD,折疊,點,C,落在點,E,處,,BE,交,AD,于點,F,。,(,2,)若,AB=4,,,BC=8,,求,AF,。,B,C,D,E,F,A,1,、如圖,已知矩形,ABCD,,將,BCD,沿對角線,BD,折疊,點,C,落在點,E,處,,BE,交,AD,于點,F,。,(,3,)在(,2,)的條件下,試求,重疊部分,DBF,的面積。,B,C,D,E,F,A,2,、如圖,矩形紙片,ABCD,中,,AB=3,厘米,,BC=4,厘米,現(xiàn)將,A,、,C,重合,再將紙片折疊壓平,,(,1,)找出圖中的一對全等三角形,并證明;,(,2,),AEF,是何種形狀的三角形
7、?說明你的理由;,(,3,)求,AE,的長。,E,A,B,C,D,F,G,(,4,)試確定重疊部分,AEF,的面積。,二、互助探究,若連結(jié),CF,四邊形,AECF,是菱形嗎,?,A,B,C,D,x,4,8-x,x,6,6,3.,如圖,矩形紙片,ABCD,中,,AB=6cm,AD,=8cm,,,在,BC,上找一點,F,,沿,DF,折疊矩形,ABCD,,使,C,點落在對角線,BD,上的點,E,處,,此時折痕,DF,的長是多少?,二、互助探究,1,把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊,,EM,、,FM,為折痕,折疊后的,C,點落在,MB,或,MB,的延長線上,那么,EMF,的度數(shù)是(),三、分層提
8、高,2,如圖,把一個長方形紙片沿,EF,折疊后,點,D,、,C,分別落在,D,、,C,的位置,若,EFB,65,,則,AED,等于(),3,如圖,5,,四邊形,ABCD,為矩形紙片把紙片,ABCD,折疊,使點,B,恰好落在,CD,邊的中點,E,處,折痕為,AF,若,CD=6,,則,AF,等于(),A.,圖,5,4.,折疊矩形,ABCD,,讓點,B,落在對角線,AC,上若,AD=4,,,AB=3,,請求出線段,CE,的長度。,D,C,F,E,B,A,1,、如圖,矩形,ABCD,沿,AE,折疊,使,D,點落在,BC,邊上的,F,點處,如果,BAF=60,,那么,DAE,等于,五、鞏固反饋,2.如圖
9、,已知矩形紙片,ABCD,點E是AB的中點,點G是BC上的一點,BEG60現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊,使點B落在紙片上的點H處,連接AH,則與BEG相等的角的個數(shù)為,_.,3.,將矩形紙片,ABCD,按如圖,1,所示的方式折疊,得到圖,2,所示的菱形,AECF.,若,AB=3,則,BC,的長為,(),(A)1,(B)2,(C),(D),4.,如圖,在矩形,ABCD,中,,E,是,AD,的中點,將,ABE,折疊后得到,GBE,延長,BG,交,CD,于點,F,,若,CF=1.FD=2,,則,BC,的長為(),A,B,C,D,E,F,6,、,1,、,如圖,將矩形紙片,ABCD,沿對角線,BD,折疊,點,
10、C,落在點,E,處,BE,交,AD,于點,F.,連結(jié),AE.,證明,:AEBD,作業(yè)設(shè)計,(E),E,F,(F),分析:根據(jù)點,E,、,F,分別在,AB,、,AD,上移動,可畫出兩個極端位置時的圖形。,10,10,8,6,6,6,4,點,E,、,F,仍在矩形,ABCD,的邊,AB,、,AD,上,仍將,AEF,沿,EF,折疊,使點,A,在,BC,邊上,當折痕,EF,移動時,,點,A,在,BC,邊上也隨之移動。則,AC,的范圍為,2.,如圖,矩形紙片,ABCD,中,AB=6cm,AD=10cm,,,4AC8,3,、,如圖,把一張矩形的紙片,ABCD,沿對角線,BD,折疊,使點,C,落在點,E,處,
11、,BE,與,AD,的交于點,F,。,(,1,)求證,ABF,EDF,;,(,2,)若將折疊的圖形恢復原狀,點,F,與邊,BC,邊上的點,M,正好重合,連接,DM,,試判斷四邊形,BMDF,的形狀,并說明理由。,如圖,矩形紙片,ABCD,中,,AB=6cm,AD=8cm,,,點,E,、,F,是矩形,ABCD,的邊,AB,、,AD,上的兩個點,將,AEF,沿,EF,折疊,使,A,點落在,BC,邊上的,A,點,過,A,作,AGAB,交,EF,于,H,點,交,AD,于,G,點。,2,3,證明線段相等的方法有證全等,等角對等邊,平行四邊形,等量線段的和差等。,A,B,C,D,A,E,F,G,H,(,1,
12、)找出圖中所有相等的線段(不包括矩形的對邊),(,2,)請你自己提出一個問題,自己解決。,x,y,(x,y),1,、如圖,將矩形,ABCD,沿,AE,折疊,使點,D,落,在,BC,邊上的,F,點處。,矩形中的折疊問題,(,1,)若,BAF,60,,求,EAF,的度數(shù);,(,2,)若,AB,6cm,,,AD,10cm,,,求線段,CE,的,長及,AEF,的,面積,.,2,、如圖,矩形紙片,ABCD,中,現(xiàn)將,A,、,C,重合,使紙片折疊壓平,設(shè)折痕為,EF,。,A,B,E,C,D,F,G,(,1,)連結(jié),CF,,四邊形,AECF,是什么特殊的四邊形?為什么?,(,2,)若,AB,4cm,,,AD,8cm,,你能求出線段,BE,及折痕,EF,的長嗎?,矩形中的折疊問題,3,、在平面直角坐標系中,矩形,OABC,的兩邊,OA,、,OC,分別落在,x,軸,,y,軸上,且,OA=4,,,0C=3,。,(,1,)求對角線,OB,所在直線的解析式;,O,C,A,B,x,y,3,、在平面直角坐標系中,矩形,OABC,的兩邊,OA,、,OC,分別落在,x,軸,,y,軸上,且,OA=4,,,0C=3,。,(,2,)如圖,將,OAB,沿對角線,OB,翻折得到,OBN,,,ON,與,AB,交于點,M,。,O,C,A,B,x,y,試求直線,MN,的解析式,.,判斷,OBM,是什么三角形,并說明理由;,