同濟六版高等數(shù)學第一章第八節(jié)

單擊此處編輯母版標題樣式,上頁,下頁,鈴,結束,返回,首頁,一、函數(shù)的連續(xù)性,二、函數(shù)的間斷點,1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,上頁,下頁,鈴,結束,返回,首頁,一、函數(shù)的連續(xù)性,變量的增量,設函數(shù),y,=,f,(,x,)在點,x,0,的某一個鄰域,U,(,x,0,)內(nèi)有定義,下頁,稱D,y,=,f,(,x,0,+D,x,),-,f,(,x,0,)函數(shù),y,的增量為,在鄰域,U,(,x,0,)內(nèi),若自變量,x,從初值,x,0,變到終值,x,1,則稱,D,x,=,x,1,-,x,0,為自變量,x,的增量,D,x,D,y,函數(shù)的連續(xù)性定義,提示:,下頁,設,x,=,x,0,+,D,x,則當,D,x,0時,x,x,0,因此,設函數(shù),y,=,f,(,x,)在點,x,0,的某一個鄰域內(nèi)有定義,如果,那么就稱函數(shù),y,=,f,(,x,)在點,x,0,處連續(xù),D,y,=,f,(,x,0,+D,x,),-,f,(,x,0,),討論:,如何用,e,-,d,語言敘述函數(shù)的連續(xù)性定義？,e,0,d,0,當|,x,-,x,0,|,d,有|,f,(,x,),-,f,(,x,0,)|,e,提示:,下頁,函數(shù)的連續(xù)性定義,設函數(shù),y,=,f,(,x,)在點,x,0,的某一個鄰域內(nèi)有定義,如果,那么就稱函數(shù),y,=,f,(,x,)在點,x,0,處連續(xù),左連續(xù)與右連續(xù),結論,函數(shù),y,=,f,(,x,)在點,x,0,處連續(xù),函數(shù),y,=,f,(,x,)在點,x,0,處左連續(xù)且右連續(xù),下頁,函數(shù)的連續(xù)性定義,設函數(shù),y,=,f,(,x,)在點,x,0,的某一個鄰域內(nèi)有定義,如果,那么就稱函數(shù),y,=,f,(,x,)在點,x,0,處連續(xù),注:,連續(xù)函數(shù),在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),連續(xù)函數(shù)舉例,1,多項式函數(shù),P,(,x,)在區(qū)間(,-,+,)內(nèi)是連續(xù)的,這是因為,函數(shù),P,(,x,)在(,-,+,)內(nèi)任意一點,x,0,處有定義,并且,下頁,如果區(qū)間包括端點,那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù),在左端點連續(xù)是指右連續(xù),2,函數(shù),y,=,sin,x,在區(qū)間(,-,+,)內(nèi)是連續(xù)的,這是因為,函數(shù),y,=,sin,x,在(,-,+,)內(nèi)任意一點,x,處有定義,并且,首頁,連續(xù)函數(shù),在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),連續(xù)函數(shù)舉例,二、函數(shù)的間斷點,間斷點的定義,設函數(shù),f,(,x,)在點,x,0,的某去心鄰域內(nèi)有定義,在此前提下,如果函數(shù),f,(,x,)有下列三種情形之一,(1)在,x,0,沒有定義,則函數(shù),f,(,x,)在點,x,0,不連續(xù),而點,x,0,稱為函數(shù),f,(,x,)的不連續(xù)點或間斷點,(2)雖然在,x,0,有定義,但,f,(,x,)不存在,(3)雖然在,x,0,有定義且,f,(,x,)存在,但,f,(,x,),f,(,x,0,),下頁,間斷點分類:,第一類間斷點:,及,均存在,若,稱,若,稱,第二類間斷點:,及,中至少一個不存在,稱,若其中有一個為振蕩,稱,若其中有一個為,為,可去間斷點,.,為,跳躍間斷點,.,為,無窮間斷點,.,為,振蕩間斷點,.,間斷點舉例,例1,下頁,例2,當,x,0時,函數(shù)值在,-,1與,+,1之間變動無限多次,所以點,x,=,0是函數(shù)的間斷點,所以點,x,=,0稱為函數(shù)的振蕩間斷點,下頁,間斷點舉例,所以點,x,=,1是函數(shù)的間斷點,如果補充定義,令,x,=,1時,y,=,2,則所給函數(shù)在,x,=,1成為連續(xù),所以,x,=,1稱為該函數(shù)的可去間斷點,例3,下頁,間斷點舉例,所以,x,=,1是函數(shù),f,(,x,)的間斷點,如果改變函數(shù),f,(,x,)在,x,=,1處的定義,令,f,(1),=,1,則函數(shù)在,x,=,1成為連續(xù),所以,x,=,1也稱為此函數(shù)的可去間斷點,例4,下頁,間斷點舉例,因函數(shù),f,(,x,)的圖形在,x,=,0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,我們稱,x,=,0為函數(shù),f,(,x,)的跳躍間斷點,例5,下頁,間斷點舉例,思考與練習,1.討論函數(shù),間斷點的類型.,答案,2.確定函數(shù),間斷點的類型.,答案,3.p65 第4題,作業(yè),P65 3（2）（3）（4）,1.討論函數(shù),x,=2 是第二類無窮間斷點.,間斷點的類型.,答案:,x,=1 是第一類可去間斷點,解:,間斷點,為無窮間斷點;,故,為跳躍間斷點.,2.確定函數(shù),間斷點的類型.,