高數(shù)第七章題庫(kù)微分方程

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1、第十二章微分方程答案 一、 選擇題 1.下列不是全微分方程的是 A. (x2 y)dx (x 2y)dy B. 2、 (y 3x )dx (4 y x)dy 0 3 2 C. 3(2x 3xy )dx 2(2x2y 2.若y3是二階非齊次線性方程（1）： y 的齊次線性方程（2）的兩個(gè)線性無關(guān)的特解, A. c1yl c2 y2是(2)的通解 3. )dy 0 P(x)y D. 2x(yex 1)dx ex dy 0 Q（x） f （x）的一個(gè)特解，y1，y2是對(duì)應(yīng) 那么下列說法錯(cuò)誤的是（ c1, C2 ,c3為任意常數(shù)） B. c〔yi 丫3是（1

2、）的解 c. gw c2y2 qy3是⑴ 的通解 d. 卜列是方程 xdx ydy y2 y3是（i）的解 My2dx的積分因子的是D A. x2 2 y b. "C. ’X2 y2 D. 1 x2~- 丫2 4?方程dxy x d2y 2x e 1的通解應(yīng)包含得獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)為 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5.已知方程y p(x)y 0的一個(gè)特解y cos2x ,則該方程滿足初始特解 y(0) 2的特 解為（C ）. (A) y cos2x 2 (B) y cos2x 1 (C) y 2cos2x (D) y

3、 2cos x 1 3 1 2 6T 嚶 e2x 1的通解應(yīng)包含得獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)為 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7.設(shè)線性無關(guān)的函數(shù) y1，y2, y3都是微分方程y P(x)y q(x)y f （x）的解，則該方程 的通解為 （D ）. (A) y Ci y1 y3 (B) y Gy1 c2 y2 (Ci C2)y3 (C) y Gy1 (1 ci C2)y3 (D) y Gy1 c2 y2 (1 C1 C2)y3 8.設(shè)方程y 2y 3y _ I，* f（x）有特解y ,則其通解為（B

4、 x 3x (A) c1e c2e (B) c1e 3x c2e y* x 3x (C) c〔xe c2xe y* (D) x c〔e 3x c2e y* 9.微分方程 y y cot x 0的通解為（A (A) csin x (B) c sinx (C) ccosx (D) cosx 10.方程 cos x的通解為

5、 (A) sin x c1x C2 (B) sin x ox c2 (C) cosx CiX (D) cosx ox 02 11. x e 的通解為 12. 13. (A) (C) (B) c〔x c2 (D) c〔x c2 微分方程 (A) 1 (C) 3 4 xy 0的階是（ 卜列微分方程中, （B） 2 （D） 4 屬于可分離變量方程的是 (A) xsin xy dx ydy (B) ln (C) dy xsiny dx (D) 14.方程 y 2y 0的通解是 A. y sin 2x 2

6、x y 4e ； C. y ce 2x D. 15.下列函數(shù)中的（ D ）是微分方程式 7y 12y 0 的解。 A. y x3； B. C. 2x y e ; D. 3x e 16.以 ex 和 exsin X為特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程是（ D ） (A)y 2y (B) y 2y 2y 4 （C）y y （D）無這樣的方程。

7、 2 17. y 2y y x 1的特解y*可設(shè)為(C ) 2 *xz_。_ (A)y exAx2 Bx C ⑻ y* Ax3 Bx2 Cx D (C) y* Ax2 Bx C (D) y* xex Ax2 Bx C t y cos 2t 18 .若 4 是方程y 4y sin 2t的一個(gè)特解，則該方程的通解是( A ) y (A) C1sin 2t c2cos2t ；cos2t y (B) 1sin 2t 工 cos2t c1 4 y Ci C2t e 2t :cos2t (0 c c 4 y (D) 2t Ge 2t

8、 c2e -cos2 t 4 19 .下列各微分方程中是一階線性方程的是（ B ） 1 2 （A）xy y x （B）y xy sin x 2 (C) yy x (D) y xy 0 20.方程y 2y 5y sin2x的特解可設(shè)為(D ) 2 (A)y x asin 2x ( b) y asin2x (C)y x asin 2x b cos2x ①)y asin 2x bcos2x 二、 填空題 1、以y q c2t c3t2 et （ G,a,c3為任意常數(shù)）為通解的常微分方程是 ,3 ,2 , d y 3d y 3dx 3 3 2 3 dt dt dt

9、 2、若1,x2,x4是某個(gè)二階非齊次線性常微分方程的三個(gè)特解，那么該方程的通解是 ,2 .、 ，4 c［（x 1） c2 （x 1） 1 （G,c2 為任息常數(shù)） 1 1 3 .微分萬程dy y2cosxdx的通解： y 1 sin x c 4 .微分方程xdy ydx y2eydy的通解是：x y（c ey） 1 x 5 . 被分方程ydx+（y-x）dy=0 的通解是：一 In y c 2 y y” 4y 0。 2 6 .以y cos2x sin 2x為一個(gè)特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程是 dy 7 .解形如dx x的微分方程，求解時(shí)可作的變量代換 x

10、 u y u xu 8 .微分方程y 4y 3y 0的通解y=_C1ex C2e3x 9 .微分方程 y"+2y / +2y=0的通解是 _ y e x C1 cosx C2 sinx 10、微分方程 y 10y 34y 0 的通解是 _ y e 5x (c1cos3x c2 sin 3x) _ 計(jì)算題 1.解方程(x 1)dy 解：將方程改寫為電 dx 首先求齊次方程包 x n 1 ny e (x 1),這里n為常數(shù)。 n x n y e (x 1)。 1 dx x 1 y 0的通解為y c(x 1)n 再設(shè) y c(x)(x 1)n,于 曰dy ■

11、 dx dc(M(x 1)n n(x 1)n 1c(x),帶入原方程，得 dx dc(x) dx 于是原方程通解為 ex,即 c( x) C , C為任意常數(shù)。 x y (e C)(x 1)n。 d 3 2.解方程W dt3 解：特征方程為 1,1 居。 2 2 于是原方程解為 C1e 21 .3 e2 Q cos——t 2 css/)……任意常數(shù) 2 3.解方程近 dx 解：作變量代換 y x y x tg U, y x dy dx du x dx 則原方程變?yōu)? du x——u u tgu。即 dx du

12、 tgu dx "，口 ——,解得 x sin u 此外還有解 tgu 0 ,即sinu 0。于是方程通解為 sinu cx,這里c為任意常數(shù)。 代回原來變量，得原方程通解 sinY cx 5 x 4 .解方程dy 一 J 2 dx 2x y 解：將原方程改寫為dx 2x y，即dx 2x y。 dy y dy y dx 2 c 先求出齊次方程 — —x的通解為x cy 。 dy y 再設(shè) x c( y)y2, dx dy 答y2 2c(“代入原方程得等 解得c(y) In y C , C為任意常數(shù)。所以原方程通解為 x y2(C l

13、n y) 5 # 5 .解方程：xdy 2 xy y(x 0) 2 解：將方程改寫為以2 y y (x dx x x 0),作代換y x dy du u,— x— u ,則原方程 dx dx du du dx 父為 x — 2 Ju o即—尸 —。 dx 2,u x 于是得此方程通解為 而 ln( x) c,即 u [ln( x) 此外方程還有解u 0。 代回原來的變量，得原方程通解 y x[ln( 2 c] , (ln( x) c 0),這里c為任意常數(shù)。 2 . x) c] (ln( x) c 0)與 y 0 5 # .4 . 2 d

14、 x d x 6 .解萬程「25x0 dt4 dt2 解：特征方程為(2 1)2 0 ,有兩個(gè)二重根i ,原方程的四個(gè)實(shí)值解分別是 cost,t cost,sin t,tsint。故通解為 x (c1 c2t)cost (c3 c4t)sint, c1,c2,c3,c4 為任意常數(shù) 4 # 7 .設(shè)二階可微函數(shù)y滿足方程 y 6y 4e4x , y(0)= 1 , y(0) 1,求y 3 解：由題知對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 r2 6r 0 解得 r1 0, r2 6 于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 y c1 c2e6x 設(shè)非齊次方程的特解為： Y* ke4x 1 把它

15、代入所給方程，得 k 1 2 所以：y* -e4x 2 故已知方程的通解為 y c1 c2e6x ge4x 又 f (0) 1 , f (0)= 1 故 c1 c2 2 即：y 1(1 e6x e4x) 7 8 .求微分萬程y 4y 3y 2e x的通解 3 解：由題知對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 r 2 4r 3 0 解得 r1 1 , r2 3 于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 y c1e x c2e 3x * 因 1是特征根，故設(shè)非齊次方程的特解為： Y axe .. .. * 把它代入所給方程，得 a 1 , 所以：Y xe 故已知方程的通解為 y c^e

16、 x c2e 3x xe x 7 9 .求效分方程 y 2y y xex的通解 3 解：由題知對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 r2 2r 1 0,解得 r1 r2 1。 于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 y c〔ex C2xex 因 1是重特征根，故設(shè)非齊次方程的特解為： * 2 x Y (ax b)x%x 把它代入所給方程，得 a 1, b=0 , 所以：Y* 1x3ex 6 6 1 c 故已知萬程的通解為 y c1ex c2xex -x3ex 7 # 1 2 6 10.求微分方程y 3y 3xex的通解。 3 解：與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y 3y 0, 它的特征方程

17、為r2 3 0 ，解的它的特征根為 ri 3i,r2 3. 由于這里 1不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)特解為 y* (box bi)ex . 把它代入所給方程，得 x x x (2bo bi box)e 3(box bi)e 3xe , 比較兩端得系數(shù)，得 4bo 3, 2b0 4b1 0. 一 3 3 由此求得b0 3, h 3 . 4 8 3 3 于是求得原方程得一個(gè)特解為 y* (3x 3)ex . 所以原方程的通解為 y g cos3x C2 sin3x (-3x 3)ex . 7 # 11 .求微分方程2y y y 2ex的通解。 3 解：齊次方程2y”

18、 y y 0的特征方程為2r2 r 1 0,解得r1 1,r2 1, x 一一 所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 y* c1e1 c2e 。 因f(x) 2ex, 1不是特征方程的根，所以可設(shè)原方程的一個(gè)特解為 % bex, 代入原方程，得 x x x x 2be be be 2e , 解得b 1,由此求得一個(gè)特解為 % ex, 所以原方程的通解為 x x x y c1e2 c2e e . 7 # 12 .求微分方程y 2y 5y ex sin 2x的通解。 3 解：所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y 2y 5y 0,它的特征方程為r2 2r 5 0 ,其根 為72 1 2i

19、,對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 . x ， y* e (c1 cos2x c2sin 2x). 因?yàn)?f (x) ex sin2x, 1, 2, i是特征方程的單根，所以設(shè)特解為 x - % xe (acos2x bsin2x). 4a 2b)sin 2x], ....(% ex[(ax 2bx a)cos2x (bx 2ax b)sin 2x], (% ex[(4bx 3ax 2a 4b)cos2x ( 4ax 3bx 將%代入所給非齊次方程，得 x - e (4bcos2x 4asin 2x) x e sin 2x. 比較上式各同類項(xiàng)的系數(shù)

20、，得 a 4,b 0. 故特解為 % - xex cos2x. 4 所求通解為 y ex(c1 cos2x c2 sin 2x 1xcos2x). 4 dy 13 .解微分方程dx 解: 二_dx STidxdx dx C 14.求微分方程 2y 2 2x 3e 的通解。 解：該微分方程的特征方程為 r2 2r r 0 特征根為重根r1 r2 齊次方程的通解為 y c1x x c2 e o 2不是特征根，故設(shè)方程的特解為 y * * 則有 y 2Aex.y 4Aex Ae 2x 2 x 2 x 2 x c

21、 2x 代入原方程有：4Ae 4 Ae Ae 3e A 1 y > 得 3,所以方程的特解為y 3 由此得方程的通解為 CiX C2 1 2x 3e 15 .解微分方程：1 ex yy ex 2 ,exdx 1 2 x ydy y In 1 e In C 解： 1 ex 2 2 y18.求微分方程(1 ex)yy ex滿足y (0) =1的特解。 解： 2Cln 1 ex # 16 .求微分方程y 9y 3x2的通解. 解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 2 9 0, 特征根為 1 3,23,故齊次方程的通解為 y ge 3x C2e3x

22、，其中c1，C2為任意常數(shù). 設(shè)原方程的一個(gè)特解為 y Ax2 Bx C ,代入原方程得 _ _ 2 _ _ _ 2 2A 9(Ax Bx C) 3x 9A 3 1 比較系數(shù)得 B 0 ，解得A B 0, C 3 2A 9C 0 2 27 由此得原方程的通解為 1 2 y - x 3 2 27 C1e3x C2e3x。 17、求微分方程 y 2y 3y 2x 1的通解。 解：2 2 3 ( 3) ( 1) 0, 1 3, 2 y C1e3x C2ex 設(shè)y* Ax B, y* A, y* 0 2 1 2A 3Ax 3B 2x 1,A ——

23、，B , 3 9 通解：y C1e3x C2ex包 1(C1,C2為任意常數(shù)) 3 9 ydy 2 y 2 exdx 1 ex’ ln(1 ex) C, 特解為：y2 21n(1 ex) 1 21n2. 19.求微分方程y〃 2y/ 3y 1 ex的通解。 解：由「2 2r 3 0解彳導(dǎo)「1 3,r2 1 齊次通解為y C〔e3x C2ex * * v 設(shè)兩個(gè)牛寸斛為y1 a, y2 Axe 1 x 4Xe 1 1 * 1 y2 求導(dǎo)代入原萬程得 a -, A 一，則兩特解為y1 - 3 4 3 c 1 1 原方程的通解為y C1e3x

24、 C2ex 3 y -cx cx ci 所以 3 6 21、解微分方程xy y x2 ex y| 1 1 2 14 v 14 v 解：y e；dx xexe Fdx C x ex C 代入y|x1 1得 y x ex 1 e 5 1xex 3 4 2 20.求微分方程 x 1 y 2xy 0的通解。 2 解：設(shè)y p,則y p 2 代入方程為：x 1 p 2xp 0 dp 2xdx 分離變量：p x2 1 2 積分：ln p ln x 1 ln c 2 則 p y c x 1 解：r2 3r 0,得 r 0,r 3 齊次通解為y Ci C2e 3x 3為特征單根，故設(shè)特解為 * 3x Axe 3x 3x Ae 3Axe y* 6Ae 3x 9 Axe 3x 代入原方程得A 1則特解為y xe 3x 所以原方程通解為 y C1 C2e3x 3x xe