人教版初二數(shù)學(xué)下冊(cè)《勾股定理(一)》

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1、17.1勾股定理第一課時(shí) (袁 梅) 教學(xué)目標(biāo) 1 ?核心素養(yǎng): 通過(guò)學(xué)習(xí)勾股定理,初步發(fā)展基本的幾何直觀和邏輯推理能力 ^ 2?學(xué)習(xí)目標(biāo) (1) 觀察以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)勾股定理的結(jié) 論. (2) 能證明勾股定理. (3) 應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題 . (4) 了解勾股定理相關(guān)的史料,知道我國(guó)古代在研究勾股定理上的杰由成就 3 .學(xué)習(xí)重點(diǎn) 探索并證明勾股定理. 4 .學(xué)習(xí)難點(diǎn) 勾股定理的探索和證明. 二、教學(xué)設(shè)計(jì) (一)課前設(shè)計(jì) 1 .預(yù)習(xí)任務(wù) 任務(wù)1:閱讀教材P22- P24,思考:勾股定理的內(nèi)容是什么?你還有哪些方 法可以證明

2、勾 股定理? 任務(wù)2:怎樣利用勾股定理求線段的長(zhǎng)?你能將此公式進(jìn)行哪幾種變形? 2 .預(yù)習(xí)自測(cè) 1. 求下圖中的字母代表的正方形的面積: A= ,B=. Ji / I B I A / 『J、 \ \\ / 144 I / \ wo I / I / 625 \ 1- - -I \ 、 1 81 \ 第1題圖 2. 如圖,求未知邊c=, 預(yù)習(xí)自測(cè) 1. 225, 225 2. 25, 12 (二)課堂設(shè)計(jì) 1.知識(shí)回顧 (1)正方形的面積怎樣計(jì)算? (2) 經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)為 叫做定理. 2.問(wèn)題探究 問(wèn)題探究一、觀察圖形的面積關(guān)系,發(fā)現(xiàn)勾股

3、定理的結(jié)論 ?活動(dòng)一觀察與思考: (1)等腰直角三角形三邊關(guān)系 如圖1,三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系?由此聯(lián)想到等腰直角三角形的三邊有何 數(shù)量關(guān)系? 圖1 圖2 (2)兩條直角邊分別為3、4個(gè)單位的直角三角形三邊關(guān)系 如圖2,正方形A的面積為 單位,正方形 B的面積為 單位,正方 形C的面積可以用“割”的方法,將正方形分割成 4個(gè)直角邊分別為 、 的全等直角三角形與 1個(gè)邊長(zhǎng)為 的正方形面積之和;也可用“補(bǔ)”的方法 , 用1個(gè)邊長(zhǎng)為 的正方形面積減去 4個(gè)直角邊分別為 、__的全等直角 三角形的面積),即正方形 C的面積為 位. 通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)兩直角邊分別為

4、3、4個(gè)單位的直角三角形的三邊關(guān)系為 (3)兩條直角邊分別為任意整數(shù)個(gè)單位的直角三角形三邊關(guān)系 請(qǐng)你在下列方格圖中,畫一個(gè)直角邊為整數(shù)的直角三角形, 探究你所畫的直角三 角形是否也有 上述性質(zhì)? 1 1 ! ____ r T

5、 I 1— r I-- 1 kHMBHHl r i j ? ? 」 ■

6、 . L . 1 1 I 1 ?活動(dòng)二猜想結(jié)論:根據(jù)以上觀察你發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊有怎樣的數(shù)量關(guān) 系? 命題:直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 ? 符號(hào)表示:在 Rt △ ABC中,若BC=, AC=b AB=C則’ . 問(wèn)題探究二驗(yàn)證勾股定理|重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí) ?活動(dòng)一大膽猜想,從「 ”的“式結(jié)構(gòu)”來(lái)看,可以聯(lián)想到正方形 面積的“

7、形結(jié)構(gòu)” 如圖3,構(gòu)造由邊長(zhǎng)分別為「‘、’‘,的正方形面積來(lái)證明. ?活動(dòng)二 集思廣益,證明勾股定理 2 2 如圖4,用“補(bǔ)”的方法,可得 匚=()2 - 4 X 化簡(jiǎn)整理得 a + = c1 如圖5,用“割”的方法,可得匚〈( a2 + b2 = c2 )2 +4 X 化簡(jiǎn)整理得 B 圖3 圖4 圖5 ?活動(dòng)三 感受我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽的證明 教材P23- P24, P30,閱讀我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的研究,并完成課本 拼圖法證明勾 股定理? 2 2 2 勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊分別為 「‘、,斜邊為,貝 ?活動(dòng)四反思過(guò)程,公式變形 公

8、式變形:b2 = c2- a2 — b=: :; a 2 = c2-b2 - a = ■? 1 問(wèn)題探究三勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 |重點(diǎn)★ ?活動(dòng)一初步運(yùn)用,運(yùn)用定理求線段長(zhǎng) 例1在Rt △ ABC中,/ C=90,/ A、/ B、/ C的對(duì)邊分別是J X 【知識(shí)點(diǎn):勾股定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】 (1) (2) 若■ =3, 若=8, =5,求; =17,求; (3) 若:; =1 : 2, =5,求 2 + b2 = c2 ?"『. 詳解: (1)v- ? * * (2)略 力=1 : 2,可設(shè)口 =可 b = 2尢,則x4- (2x) = ,解得* =2

9、. 事, 點(diǎn)撥:已知直角三角形的兩邊長(zhǎng),利用勾股定理求第三邊長(zhǎng)時(shí),關(guān)鍵是弄清已知 什么邊,求什 么邊,靈活運(yùn)用公式求解 ?活動(dòng)二變式應(yīng)用 例 2 在 Rt △ ABC 中, AB=4 AC=6 求 B

10、C 的長(zhǎng) . 【知識(shí)點(diǎn):勾股定理,二次根式的運(yùn)算;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】 詳解:此題與上題相比,未指明哪個(gè)角為直角,即不清楚誰(shuí)為斜邊,所以應(yīng)分兩 類進(jìn)行計(jì)算? 當(dāng) AC 為斜邊 時(shí),則! AEy - AC ,即任■■-;②當(dāng)BC為斜邊時(shí), 則沉‘,即:’、.綜上,BC的值為;或 2 巫. 點(diǎn)撥:利用勾股定理解題時(shí)若未明確直角邊、斜邊,則應(yīng)分類討論進(jìn)行計(jì)算 ? 3 ?課堂總結(jié) 【知識(shí)梳理】 (1) 勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊分別為 ,斜邊為 ?,則「 「 . F2 2 F272 (2) 公式變形: b2 = c2- a2 f :: ; a2 = c2-b2— a =

11、■■ - : : 【重難點(diǎn)突破】 (1)勾股定理揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系 ?已知‘、> (為斜邊)中 的任意兩邊,能求生第三邊,①已知 "、 ,貝『二川;②已知\ ,則 (~2 2 (~2 2 =;③已知、‘,則’「. (2)運(yùn)用勾股定理時(shí)應(yīng)注意:①確定該三角形是直角三角形;②分清直角邊和 斜邊,若未明 確直角邊、斜邊,則應(yīng)分類討論 ? (3) 勾股定理的發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想和驗(yàn)證,體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和 數(shù)學(xué)結(jié)合思想 . (4) 面積法驗(yàn)證勾股定理的關(guān)鍵是,要找到一些特殊圖形 ( 如直角三角形、正 方形、梯形 ) 的面積之和等于整體圖形的面積,從而達(dá)到驗(yàn)證的目的

12、 . 4. 隨堂檢測(cè) 1. 下列說(shuō)法正確的是 () 2 2 2 A.若,是^ ABC的三邊長(zhǎng),則 八」-「一「 B.若"、?是RtA ABC的三邊長(zhǎng),貝U二U「 C.若■ ‘、; ?是 RtA ABC 的三邊長(zhǎng),/ A=90o,則:. D.若◎、、匚是Rt^ ABC的三邊長(zhǎng),/ C=90,則/ += 【知識(shí)點(diǎn):勾股定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】 【參考答案】 D . 【解析】運(yùn)用勾股定理時(shí)應(yīng)注意:確定該三角形是直角三角形;并分清直角邊和 定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 ?故選 D. 2. 在 Rt △ ABC 中, / C=9(5 , Z A、 / B、 / C 的

13、對(duì)邊分別是 旅亡. 1) ) 若口 =6, h =8 ,貝卜 = ; 2) ) 若 a=9, =15 ,貝即 = . 【知識(shí)點(diǎn):勾股定理,二次根式的運(yùn)算;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】 【參考答案】 10; 12 【解析】根據(jù)勾股定理, C=…廣-" --;; b=廠-―- ■ 3) 在 RtA ABC 中,/ B=9C, AB=5 AC=10 貝 U BC=. 【知識(shí)點(diǎn):勾股定理,二次根式的運(yùn)算;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】 【參考答案】 廠 【解析】根據(jù)勾股定理, BC="八廠一『「 ■ i匚. 4) 直角三角形的兩邊分別為 3 、 4, 則第三邊的長(zhǎng)為 【知識(shí)點(diǎn):勾股定理,二次根式的運(yùn)算;數(shù)學(xué)思想:分類討論】 【參考答案】 5 或? 斜邊,根據(jù) 3 、 4 分別為 【解析】 由于此題并未明確誰(shuí)是直角邊,所以應(yīng)該分類討論:①若 直角邊,則根據(jù)勾股定理可求斜邊長(zhǎng)為 5; ②若 4 為斜邊,則根據(jù)勾股定理可求 另一直角邊為

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