高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用 第11講 抽象函數(shù)課件 理.ppt

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第 11 講,抽象函數(shù),1．了解函數(shù)模型的實際背景．,2．會運用函數(shù)的解析式理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．,1．已知 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且 f(x)≠0，則 f(x)是,(,),B,A．奇函數(shù) C．非奇非偶函數(shù),B．偶函數(shù) D．不確定,解析：令x＝y(tǒng)＝0，則2f(0)＝2[f(0)]2，因f(x)≠0，所以f(0) ＝1.令 x＝0，則 f(y)＋f(－y)＝2f(y)，f(y)＝f(－y)．故選B.,C,A,0,考點1,正比例函數(shù)型抽象函數(shù),例1：設(shè)函數(shù) f(x)對任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 且當 x0 時，f(x)0，f(1)＝－2. (1)求證：f(x)是奇函數(shù)； (2)試問在－3≤x≤3 時，f(x)是否有最值？如果有，求出最 值；如果沒有，說出理由．,令 y＝－x，則有 f(0)＝f(x)＋f(－x)． 即 f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函數(shù)．,(2)解：當－3≤x≤3 時，f(x)有最值，理由如下： 任取 x10?f(x2－x1)0.,∴f(x1)f(x2)．∴y＝f(x)在 R 上為減函數(shù)．,因此 f(3)為函數(shù)的最小值，f(－3)為函數(shù)的最大值． f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6. ∴函數(shù)的最大值為 6，最小值為－6.,(1)證明：令 x＝y(tǒng)＝0，則有 f(0)＝2f(0)?f(0)＝0.,【規(guī)律方法】(1)利用賦值法解決抽象函數(shù)問題時需把握好 如下三點：一是注意函數(shù)的定義域，二是利用函數(shù)的奇偶性去 掉函數(shù)符號“f ”前的“負號”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù) 符號“f ”.,(2)解決正比例函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為：f(0)＝0?f(x),是奇函數(shù)?f(x－y)＝f(x)－f(y)?單調(diào)性.,(3)判斷單調(diào)性小技巧：設(shè) x10?f(x2－x1)0 ?f(x2)＝f(x2 －x1 ＋x1)＝f(x2 －x1)＋f(x1)f(x1)，得到函數(shù)單調(diào)遞 減.,【互動探究】 1．已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則,下列錯誤的是(,),答案：D,考點 2,對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù),例 2：已知函數(shù) f(x)的定義域為{x|x∈R，且 x≠0}，對定義 域內(nèi)的任意x1，x2，都有 f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當 x1時 f(x)0， f(2)＝1. (1)求證：f(x)是偶函數(shù)； (2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)； (3)解不等式 f(2x2－1)2.,則有 f(－x)＝f(x)＋f(－1)． 又令x1＝x2＝－1，得 2f(－1)＝f(1)． 再令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝0，從而 f(－1)＝0. 于是有 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)是偶函數(shù)．,(1)證明：對定義域內(nèi)的任意 x1，x2 都有 f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，令 x1＝x，x2＝－1，,【互動探究】 2．對于函數(shù) f(x)定義域中任意 x1，x2(x1≠x2)有如下結(jié)論： ①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)； ②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；,當 f(x)＝lgx 時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是______．,②③,考點3,指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù),例3：定義在R上的函數(shù) y＝f(x)，f(0)≠0，當x＞0時，f(x)1， 且對任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)f(b)． (1)求證：f(0)＝1； (2)求證：對任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0； (3)求證：f(x)是 R 上的增函數(shù)； (4)若 f(x)f(2x－x2)＞1，求 x 的取值范圍． (1)證明：令a＝b＝0，則 f(0)＝f 2(0)． ∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.,∴f(x2)＞f(x1)．∴f(x)是 R 上的增函數(shù)．,(4)解：由f(x)f(2x－x2)＞1，f(0)＝1 得 f(3x－x2)＞f(0)． ∵f(x)是R 上的增函數(shù)，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3. ∴x 的取值范圍是{x|0x3}．,【互動探究】 3.對于函數(shù) f(x)定義域中任意的 x1，x2(x1≠x2)，有如下結(jié)論： ①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)； ②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；,當 f(x)＝2x 時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是___________．,答案：①③⑤,●思想與方法● ⊙利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解答抽象函數(shù),答案：①③,