高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 2.8 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用課件(理) 新人教B版.ppt

2.8 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用,高考理數(shù),1.三種函數(shù)模型圖象與性質(zhì)的比較,知識(shí)清單,2.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟(四步八字) (1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型; (2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù) 學(xué)模型; (3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論; (4)還原:將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義. 以上過程用框圖表示如下:,【知識(shí)拓展】 對(duì)常見函數(shù)模型的理解 (1)直線模型:即一次函數(shù)模型y=kx+b(k0),其增長特點(diǎn)是直線上升(x的系數(shù)k0),通過圖象可以 很直觀地認(rèn)識(shí)它. (2)指數(shù)函數(shù)模型:形如y=abx+c(b0,且b1,a0)的函數(shù)模型,其增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大, 函數(shù)值增大的速度越來越快(a1),常形象地稱之為“指數(shù)爆炸”. (3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:形如y=mlogax+n(a0,且a1,m0)的函數(shù)模型,其增長特點(diǎn)是開始階段增長得 較快(a1),但隨著x的逐漸增大,其函數(shù)值增長的速度越來越慢,常稱之為“蝸牛式增長”. (4)冪函數(shù)模型:形如y=axn+b(a0)的函數(shù)模型,其增長情況隨y=x中的取值變化而定,常見的有 二次函數(shù)模型. (5)“對(duì)勾”函數(shù)模型:形如f(x)=ax+ (a,b0)的函數(shù)模型,其圖象如下:,其在很多數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用,常利用基本不等式解決,有時(shí)利用函數(shù)的單調(diào)性求解最 值.,1.在現(xiàn)實(shí)生活中,有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系,對(duì)這類問題,可以構(gòu)建一 次函數(shù)模型,其增長特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0).有 些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系,如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等.對(duì)這類問題,可以 構(gòu)建二次函數(shù)模型,利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決. 2.當(dāng)兩變量之間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式表示,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成時(shí),可以構(gòu)造分 段函數(shù)模型,先將其看作幾個(gè)不同問題,將各段的變化規(guī)律找出來,再將其合在一起,要注意各段 自變量的范圍,特別是端點(diǎn)值. 例1 (2015上海松江一模)“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表 明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí),某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度v(單位:千克/年)是養(yǎng)殖 密度x(單位:尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí),v的值為2千克/年;當(dāng)4x20時(shí),v是x的一 次函數(shù);當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時(shí),因缺氧等原因,v的值為0千克/年. (1)當(dāng)0x20時(shí),求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;,突破方法,方法1 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型(分段函數(shù)模型),(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí),魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達(dá)到最大?并求出最大值. 解析 (1)由題意得當(dāng)0x4時(shí),v=2; 當(dāng)4x20時(shí),設(shè)v=ax+b,顯然v=ax+b在4,20內(nèi)是減函數(shù), 由已知得 解得 所以v=- x+ , 故函數(shù)v= (2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米,依題意并由(1)可得 f(x)= 當(dāng)0x4時(shí), f(x)為增函數(shù),故f(x)max=f(4)=42=8; 當(dāng)4x20時(shí), f(x)=- x2+ x=- (x2-20x)=- (x-10)2+ , f(x)max=f(10)=12.5. 所以當(dāng)0x20時(shí), f(x)的最大值為12.5.,即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí),魚的年生長量可以達(dá)到最大,最大值為12.5千克/立方米. 1-1 (2016四川德陽四校聯(lián)考,19,12分)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀 況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋 上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí), 車流速度為60千米/小時(shí).研究表明:當(dāng)20x200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù). (1)當(dāng)0x200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式; (2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)=xv (x)可以達(dá)到最大?并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí)) 解析 (1)由題意知:當(dāng)0x20時(shí),v(x)=60; 當(dāng)20x200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b. 再由已知得 解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為,v(x)= (2)依題意并由(1)可得 f(x)= 當(dāng)0x20時(shí), f(x)為增函數(shù),故當(dāng)x=20時(shí),其最大值為6020=1 200; 當(dāng)20x200時(shí), f(x)= x(200-x) = , 當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x,即x=100時(shí),等號(hào)成立. 所以,當(dāng)x=100時(shí), f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值 . 綜上,當(dāng)x=100時(shí), f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值 3 333,即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí), 車流量可以達(dá)到最大,最大值約為3 333輛/小時(shí).,方法2 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型,1.指數(shù)函數(shù)模型常與人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等相結(jié)合進(jìn)行考查;而對(duì)數(shù)函數(shù)模型 常與價(jià)格指數(shù)、環(huán)境承載力等有一定的聯(lián)系. 2.應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型與對(duì)數(shù)函數(shù)模型時(shí),關(guān)鍵是對(duì)模型的判定,但現(xiàn)在高考對(duì)這方面的要求不高. 常見的題型是先設(shè)定模型,將有關(guān)的已知數(shù)據(jù)代入,確定其參數(shù),從而確定模型. 3.建立了形如:y=abx+c+d或y=alogb(cx+d)(b0,且b1)的函數(shù)模型之后,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù) 函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象來處理. 例2 (2016湖南長沙模擬)某地政府鑒于某種日常食品價(jià)格增長過快,欲將這種食品價(jià)格控制在 適當(dāng)范圍內(nèi),決定給這種食品生產(chǎn)廠家提供政府補(bǔ)貼,設(shè)這種食品的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克,政府補(bǔ) 貼為t元/千克,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,當(dāng)16x24時(shí),這種食品日供應(yīng)量p萬千克、日需量q萬千克近似 地滿足關(guān)系:p=2(x+4t-14)(t0),q=24+8ln .當(dāng)p=q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格. (1)將政府補(bǔ)貼表示為市場(chǎng)平衡價(jià)格的函數(shù),并求出函數(shù)的值域; (2)為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于20元/千克,政府補(bǔ)貼至少為多少元/千克? 解析 (1)由p=q得2(x+4t-14)=24+8ln (16x24,t0),三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn).設(shè)AE=FB=x(cm). (1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值? (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的 比值. 解析 設(shè)包裝盒的高為h(cm),底面邊長為a(cm).由已知得a= x,h= = (30-x),0x30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,所以當(dāng)x=15時(shí),S取得最大值. (2)V=a2h=2 (-x3+30x2),V=6 x(20-x). 由V=0得x=0(舍)或x=20. 當(dāng)x(0,20)時(shí),V0;當(dāng)x(20,30)時(shí),V0. 所以當(dāng)x=20時(shí),V取得極大值,也是最大值. 此時(shí) = .即包裝盒的高與底面邊長的比值為 .,