高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 算法初步、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 9.3 用樣本估計總體課件(理).ppt

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第三節(jié) 用樣本估計總體,【知識梳理】 1.常用統(tǒng)計圖表 (1)頻率分布表的畫法: 第一步:求_____,決定組數(shù)和組距,組距=_____; 第二步:_____,通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開 區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間; 第三步:登記頻數(shù),計算頻率,列出頻率分布表.,極差,分組,(2)頻率分布直方圖:反映樣本頻率分布的直方圖.如圖: 橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸表示______,每個小矩形的 面積表示樣本落在該組內(nèi)的_____.,頻率,(3)莖葉圖的畫法: 第一步:將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分; 第二步:將最小莖與最大莖之間的數(shù)按_____次序排成 一列,寫在左(右)側(cè); 第三步:將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右(左)側(cè).,大小,2.樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),大小,順序,最中間,(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差 ①標(biāo)準(zhǔn)差:表示樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離, 一般用s表示, s=________________________________.,②方差:標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差. s2=_____________________________,其中 xi(i=1,2,3,…,n)是_________,n是_________, 是___________.,樣本數(shù)據(jù),樣本容量,樣本平均數(shù),【特別提醒】 1.頻率分布直方圖中縱軸表示的應(yīng)為 2.在繪制莖葉圖時,易遺漏重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù),重復(fù)出現(xiàn) 的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄,同時不要混淆莖葉圖中莖與葉的 含義.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(必修3P100A組T1改編)一個容量為32的樣本,已知某組樣本的頻率為0.25,則該組樣本的頻數(shù)為 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 【解析】選B.頻數(shù)=320.25=8.,感悟考題 試一試 2.(2015重慶高考)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖:,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ( ) A.19 B.20 C.21.5 D.23 【解析】選B.由中位數(shù)的概念可知,該組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列的第6和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為要求的中位數(shù),為20.,3.(2016合肥模擬)某校為了了解教科研工作開展?fàn)?況與教師年齡之間的關(guān)系,將該校不小于35歲的80名教 師按年齡分組,分組區(qū)間為[35,40),[40,45),[45,50), [50,55),[55,60),由此得到 頻率分布直方圖如圖,則這80 名教師中年齡小于45歲的有 ________人.,【解析】由頻率分布直方圖可知45歲以下的教師的頻率為5(0.040+0.080)=0.6,所以共有800.6=48(人). 答案:48,4.(2016天津模擬)甲、乙兩人在10天中每天加工零 件的個數(shù)用莖葉圖表示如圖,中間一列的數(shù)字表示零件 個數(shù)的十位數(shù),兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù),則 這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為 ________和________.,【解析】由莖葉圖可知甲的平均數(shù)為 乙的平均數(shù)為 答案:24 23,考向一 數(shù)字特征的計算與應(yīng)用 【典例1】(1)(2015安徽高考)若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…, x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標(biāo)準(zhǔn) 差為 ( ) A.8 B.15 C.16 D.32,(2)(2015廣東高考)某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表.,①用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且 在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列 出樣本的年齡數(shù)據(jù); ②計算①中樣本的平均值和方差; ③36名工人中年齡在 -s與 +s之間有多少人?所占 的百分比是多少(精確到0.01%)?,【解題導(dǎo)引】(1)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差、方差公式和性質(zhì)計算標(biāo) 準(zhǔn)差. (2)①根據(jù)年齡數(shù)據(jù)求出工人編號,再由系統(tǒng)抽樣的特 點求出樣本編號后再求對應(yīng)的年齡數(shù)據(jù);②根據(jù)①中的 數(shù)據(jù)直接利用公式計算;③先求出 -s與 +s的值,再 求出年齡在 -s與 +s之間的人數(shù),最后計算所占的百 分比.,【規(guī)范解答】(1)選C.樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差 s=8,則s2=64,而樣本數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方 差為2264,所以其標(biāo)準(zhǔn)差為 =16.,(2)①由題條件知所抽樣本編號是一個首項為2,公差為4的等差數(shù)列,故其所有樣本編號依次為2,6,10,14,18, 22,26,30,34,對應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44,40,36, 43,36,37,44,43,37.,②由①知可得其樣本的平均值為 方差為: s2= [(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36- 40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2] = [42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=,③由②知s= 所以 所以年齡在 -s與 +s之間的共有23人, 所占百分比為: 100%≈63.89%.,【母題變式】 1.若本例題(2)中條件不變,求年齡在[30,40)的頻率? 【解析】年齡在[30,40)的工人有16人,因此年齡在 [30,40)的頻率是,2.若本例題(2)中條件不變,求工人年齡的中位數(shù). 【解析】將工人年齡按由小到大排序得: 27,31,33,34,34,36,36,37,37,37,38,38,38,39,39, 39,39,40,40,40,41,41,42,42,42,42,43,43,43,43, 44,44,45,45,49,53,其中第18,19個為40,40,因此工 人年齡的中位數(shù)為40.,【規(guī)律方法】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論 (1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對總體的一種簡明的描述,它們所反映的情況有著重要的實際意義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢,方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大小.,(2)方差的簡化計算公式:s2= 或?qū)懗蓅2= 即方差等于原數(shù)據(jù) 平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.,(3)平均數(shù)、方差的公式推廣 ①若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為 ,那么mx1+a, mx2+a,mx3+a,…,mxn+a的平均數(shù)是m +a. ②數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為s2. (ⅰ)數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也為s2; (ⅱ)數(shù)據(jù)ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.,【變式訓(xùn)練】(2016開封模擬)將某選手的9個得分去掉1個最高分,去掉1個最低分,7個剩余分數(shù)的平均分為91,現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊,無法辨認,在圖中以x表示:,則7個剩余分數(shù)的方差為 ( ),【解析】選B.根據(jù)莖葉圖,去掉1個最低分87,1個最 高分99, 則 [87+94+90+91+90+(90+x)+91]=91, 所以x=4. 所以s2= [(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2 +(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2]=,【加固訓(xùn)練】 1.(2014陜西高考)某公司10位員工的月工資(單位: 元)為x1,x2,…,x10,其均值和方差分別為 和s2,若從 下月起每位員工的月工資增加100元,則這10位員工下 月工資的均值和方差分別為 ( ) A. ,s2+1002 B. +100,s2+1002 C. ,s2 D. +100,s2,【解析】選D.樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值 (x1+x2+…+x10), 方差s2=,新數(shù)據(jù)x1+100,x2+100,…,x10+100的均值 (x1+100+x2+100+…+x10+100) = (x1+x2+…+x10)+100= +100, 新數(shù)據(jù)x1+100,x2+100,…,x10+100的方差 s′2= [(x1+100- -100)2+(x2+100- -100)2+…+ (x10+100- -100)2] = [(x1- )2+(x2- )2+…+(x10- )2]=s2.,2.(2016揭陽模擬)甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目選拔賽,四人的平均成績和方差如表所示:,從這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽,最佳人選是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】選C.由題目表格中數(shù)據(jù)可知,丙平均環(huán)數(shù)最高,且方差最小,說明技術(shù)穩(wěn)定,且成績好.,3.(2016天津模擬)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示,則 ( ),A.甲成績的平均數(shù)小于乙成績的平均數(shù) B.甲成績的中位數(shù)等于乙成績的中位數(shù) C.甲成績的方差小于乙成績的方差 D.甲成績的極差小于乙成績的極差,【解析】選C.由題意可知,甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的 成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙成績的平均數(shù)均為6,A錯; 甲、乙成績的中位數(shù)分別為6,5,B錯;甲、乙成績的方 差分別為s甲2= [(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8- 6)2]=2,s乙2= [(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9- 6)2]= C對;甲、乙成績的極差均為4,D錯.,考向二 莖葉圖及其應(yīng)用 【典例2】(1)(2016內(nèi)江模擬)某中學(xué)高三從甲、乙 兩個班中各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,他們?nèi)〉玫某?績(滿分100分)的莖葉圖如圖,其中甲班學(xué)生成績的眾 數(shù)是85,乙班學(xué)生成績的中位 數(shù)是83,則x+y的值為_______.,(2)(2016福州模擬)某大學(xué)為調(diào)查來自南方和北方的大學(xué)生的身高差異,從2013級的年齡在18-19歲之間的大學(xué)生中隨機抽取了來自南方和北方的大學(xué)生各10名,測量得他們的身高(單位:cm)如下: 南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163. 北方:183,173,169,163,179,171,157,175,178,166.,畫出題中兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖,并根據(jù)莖葉圖對來自南方 和北方的大學(xué)生的身高進行比較,寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論. 【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)甲中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為85,乙 中第4個數(shù)為83求解. (2)把百位與十位當(dāng)莖,個位當(dāng)葉作出莖葉圖.統(tǒng)計結(jié)論 可從平均身高、中位數(shù)、整齊性等方面考慮.,【規(guī)范解答】(1)由甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是85,所以x=5.乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83,所以y=3,所以x+y=5+3=8. 答案:8,(2)題中兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示:,統(tǒng)計結(jié)論:①北方大學(xué)生的平均身高大于南方大學(xué)生的平均身高;②南方大學(xué)生的身高比北方大學(xué)生的身高更整齊;③南方大學(xué)生的身高的中位數(shù)是169.5,北方大學(xué)生的身高的中位數(shù)是172;④南方大學(xué)生的身高基本上是對稱的,而且大多數(shù)集中在均值附近,北方大學(xué)生的身高分布較分散.,【易錯警示】解答本例題(1)會出現(xiàn)以下錯誤: 由甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是85,所以x=85.乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83,所以y=83,所以x+y=85+83=168.導(dǎo)致該錯誤的原因是,忽視了x,y只表示成績的個位數(shù)字.,【規(guī)律方法】莖葉圖中的三個關(guān)注點 (1)“葉”的位置只有一個數(shù)字,而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一. (2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄,不能遺漏. (3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖,估計數(shù)字特征,莖上的數(shù)字由小到大排列,一般“重心”下移者平均數(shù)較大,數(shù)據(jù)集中者方差較小.,【變式訓(xùn)練】(2016西安模擬)一次數(shù)學(xué)測驗后,從甲、乙兩班各抽取9名同學(xué)的成績進行統(tǒng)計分析,繪成莖葉圖如圖所示.據(jù)此估計兩個班成績的中位數(shù)的差的絕對值為( ) A.8 B.5 C.4 D.2,【解析】選D.甲、乙兩班成績按大小順序排列,處在最中間的數(shù)分別為87,89,故它們之差的絕對值是2.,【加固訓(xùn)練】 1.(2016咸陽模擬)如圖是某 大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中,七位 評委為某考生打出的分數(shù)的莖 葉統(tǒng)計圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù) 的平均數(shù)和眾數(shù)依次為 ( ) A.85,84 B.84,85 C.86,84 D.84,86,【解析】選A.由圖可知,去掉一個最高分和一個最低 分后,所剩數(shù)據(jù)為84,84,84,86,87.所以平均數(shù)為 =85,眾數(shù)為84.,2.(2016鄭州模擬)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.如圖是根據(jù)某地某日早7點到晚8點甲、乙兩個PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數(shù)據(jù)(單位:毫克/立方米)列出的莖葉圖,則甲、乙兩地濃度的方差較小的是( ),A.甲 B.乙 C.甲、乙相等 D.無法確定,【解析】選A.從莖葉圖上可以觀察到甲監(jiān)測點的樣本數(shù)據(jù)比乙監(jiān)測點的樣本數(shù)據(jù)更加集中,因此甲地濃度的方差較小.,考向三 頻率分布直方圖 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:求頻率或頻數(shù) 【典例3】(2015湖北高考)某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.,(1)直方圖中的a=______. (2)在這些購物者中,消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為______.,【解題導(dǎo)引】利用頻率和為1,求得a,由消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的頻率,求得消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù).,【規(guī)范解答】由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得 0.20.1+0.80.1+1.50.1+20.1+2.50.1+a 0.1=1,解得a=3,消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的頻率 為0.20.1+0.80.1+20.1+30.1=0.6,所以消費 金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6 10000=6000. 答案:(1)3 (2)6000,命題方向2:求樣本的數(shù)字特征 【典例4】(2015廣東高考)某城市100戶居民的月 平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200), [200,220),[220,240),[240,260),[260,280), [280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.,(1)求直方圖中x的值. (2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù). (3)在月平均用電量為[220,240),[240,260), [260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶? (本題源自A版必修3P65探究),【解題導(dǎo)引】(1)利用頻率和為1,求出x. (2)根據(jù)中位數(shù)前面的頻率之和為0.5求解. (3)先求出各組用戶的戶數(shù),再求出抽取比例后求解.,【規(guī)范解答】(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025)20=1得: x=0.0075,所以直方圖中x的值是0.0075.,(2)月平均用電量的眾數(shù)是 =230. 因為(0.002+0.009 5+0.011)20=0.450.5, 所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi), 設(shè)中位數(shù)為a, 由(0.002+0.009 5+0.011)20+0.012 5(a-220)=0.5 得:a=224, 所以月平均用電量的中位數(shù)是224.,(3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.012520 100=25戶, 月平均用電量為[240,260)的用戶有0.007520100 =15戶, 月平均用電量為[260,280)的用戶有0.00520100 =10戶,,月平均用電量為[280,300]的用戶有0.002520100 =5戶, 抽取比例= 所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25 =5戶.,【技法感悟】 1.頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法 (1) 組距=頻率. (2) =頻率, =樣本容量,樣本容量 頻率=頻數(shù).,2.利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征的思路 (1)中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可以估計中位數(shù)的值. (2)平均數(shù):平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.,(3)眾數(shù):在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo). 易錯提醒:制作好頻率分布表后,可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確.,【題組通關(guān)】 1.(2016石家莊模擬)根據(jù)《中華人民共和國道路交 通安全法》規(guī)定:車輛駕駛員血液酒精濃度在20～ 80mg/100 mL(不含80)之間,屬于酒后駕車,處暫扣一個 月以上三個月以下駕駛證,并處200元以上500元以下罰 款;血液酒精濃度在80mg/100 mL(含80)以上時,屬醉酒,駕車,處十五日以下拘留和暫扣三個月以上六個月以下駕駛證,并處500元以上2000元以下罰款. 據(jù)《法制晚報》報道,2015年8月15日至8月28日,全國查處酒后駕車和醉酒駕車共28800人,如圖是對這28800人血液中酒精含量進行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖,則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為________人.,【解析】由頻率分布直方圖可知血液酒精濃度在80mg/100 mL(含80)以上的頻率為10(0.01+0.005)=0.15,所以其人數(shù)為288000.15=4320. 答案:4320,2.(2016漳州模擬)為了解學(xué)生課外閱讀的情況,隨機統(tǒng)計了n名學(xué)生的課外閱讀時間,所得數(shù)據(jù)都在[50,150]中,其頻率分布直方圖如圖所示.已知在[50,75)中的頻數(shù)為100,則n的值為________.,【解析】由圖知 =0.00425,所以n=1000. 答案:1000,3.(2016鄭州模擬)某班100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].,(1)求圖中a的值. (2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學(xué)生語文成績的平均分. (3)若這100名學(xué)生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如表所示,求數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù).,【解析】(1)由頻率分布直方圖知(0.04+0.03+0.02+2a)10=1,因此a=0.005. (2)550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73. 所以這100名學(xué)生語文成績的平均分為73分.,(3)分別求出語文成績在分數(shù)段[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人數(shù)依次為0.05100=5,0.4100=40,0.3100=30,0.2100=20.,所以數(shù)學(xué)成績分數(shù)段在[50,60),[60,70),[70,80), [80,90)的人數(shù)依次為5,20,40,25. 所以數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù)有100-(5+20+40+25) =10(人).,