高考數學一輪復習 坐標系與參數方程 2 參數方程課件(理) 選修4-4.ppt

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第二節(jié) 參 數 方 程,【知識梳理】 1.曲線的參數方程 一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的 坐標x,y都是某個變數t的函數 并且對于t的每 一個允許值,由這個方程組所確定的點M(x,y)都在這條 曲線上,那么這個方程組就叫做這條曲線的參數方程,,,聯系變數x,y的變數t叫做_______,簡稱_____. 相對于參數方程而言,直接給出點的坐標間關系的方 程F(x,y)=0叫做_____方程.,參變數,參數,普通,2.參數方程和普通方程的互化 (1)參數方程化普通方程:主要利用兩個方程相加、 減、乘、除或者代入法消去參數. (2)普通方程化參數方程:如果x=f(t),把它代入普通 方程,求出另一個變數與參數的關系y=g(t),則得曲線 的參數方程,3.直線、圓與橢圓的普通方程和參數方程,【特別提醒】 1.將參數方程化為普通方程時,要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小,必須根據參數的取值范圍,確定函數f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍.,2.直線的參數方程中,參數t的系數的平方和為1時,t才 有幾何意義且?guī)缀我饬x為:|t|是直線上任一點M(x,y) 到M0(x0,y0)的距離.,考向一 直線的參數方程與應用 【典例1】(2015陜西高考)在直角坐標系xOy中,直線 l的參數方程為 (t為參數),以原點為極點,x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,☉C的極坐標方程為 ρ=2 sinθ.,(1)寫出☉C的直角坐標方程. (2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求點P的直角坐標.,【解題導引】(1)利用直角坐標與極坐標的關系進行代換即得. (2)直角坐標與極坐標進行坐標代換后,利用兩點間的距離公式可求解.,【規(guī)范解答】 (1)由ρ=2 sinθ,得ρ2=2 ρsinθ, 從而有x2+y2=2 y,所以x2+(y- )2=3. (2)設P ,又C(0, ), 則|PC|= 故當t=0時,|PC|取得最小值, 此時P點的坐標為(3,0).,【規(guī)律方法】直線的參數方程在交點問題中的應用 已知直線l經過點M0(x0,y0),傾斜角為α,點M(x,y)為l 上任意一點,則直線l的參數方程為 (t為參數).,(1)若M1,M2是直線l上的兩個點,對應的參數分別為t1, t2,則 (2)若線段M1M2的中點為M3,點M1,M2,M3對應的參數分別 為t1,t2,t3,則t3= (3)若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0,y0),則t1+t2=0, t1t20.,【變式訓練】(2016臨汾模擬)已知直線l經過點 P(1,1),傾斜角α= . (1)寫出直線l的參數方程. (2)設直線l與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,求點P到A,B兩點的距離之積.,【解析】(1)直線l的參數方程為 即,(2)把直線 代入x2+y2=4, 得 =4,即t2+( +1)t-2=0,故t1t2=-2, 則點P到A,B兩點的距離之積為2.,【加固訓練】 1.(2014江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,已知直 線l的參數方程 (t是參數),直線l與拋物線 y2=4x相交于A,B兩點,求線段AB的長.,【解析】把直線l:x+y=3代入拋物線y2=4x 并整理得x2-10x+9=0, 所以交點A(1,2),B(9,-6), 故|AB|=,2.(2015湖北高考改編)在直角坐標系xOy中,以O為極 點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的極 坐標方程為ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲線C的參數方程為 (t為參數),l與C相交于A,B兩點,求|AB|的長.,【解析】由ρ(sin θ-3cos θ)=0知,直線的方程是 y=3x，由曲線C的參數方程為 ( t為參數)， 消去參數得，y2-x2=4, 解方程組,得,考向二 圓的參數方程與應用 【典例2】(2015全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,曲 線C1: (t為參數,且t≠0),其中0≤απ,在 以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2: ρ=2sinθ,C3:ρ=2 cosθ.,(1)求C2與C3交點的直角坐標. (2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.,【解題導引】(1)把曲線C2與C3的極坐標方程化為普通方程聯立求得交點坐標. (2)把曲線C1的方程化為極坐標方程與曲線C2與C3聯立可求得A,B的極坐標,進而可求|AB|的最大值.,【規(guī)范解答】(1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0, 曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-2 x=0. 聯立 解得 或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和,(2)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0), 其中0≤απ. 因此點A的極坐標為(2sinα,α),點B的極坐標為 (2 cosα,α). 所以|AB|=|2sinα-2 cosα|= 當α= 時,|AB|取得最大值,最大值為4.,【母題變式】 1.本例條件不變,若直線 (m為參數)與曲線 C1平行,求α的值. 【解析】曲線C1為過原點的直線,直線的普通方程為 x-y-1=0,由兩直線平行得tanα=1,所以α= .,2.本例條件不變,求直線x+y-1=0被C3:ρ=2 cosθ 截得的弦長. 【解析】曲線C3的普通方程為 +y2=3,圓心到 直線的距離為 所以弦長為,【規(guī)律方法】利用圓的參數方程求最值的技巧 (1)解決與圓上的動點有關的距離取值范圍以及最大值和最小值問題,通常可以轉化為點與圓、直線與圓的位置關系.,(2)求距離的問題,通過設圓的參數方程,就轉化為求三角函數的值域問題. 易錯提醒:把曲線的參數方程化為普通方程或極坐標方程時易忽視參數的范圍導致出錯.,【變式訓練】(2016衡水模擬)已知直線l的參數方程 為 (t為參數),以坐標原點為極點,x軸的 正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為 ρ=2sinθ-2cosθ. (1)求曲線C的參數方程. (2)當α= 時,求直線l與曲線C交點的極坐標.,【解析】(1)由ρ=2sinθ-2cosθ, 可得ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ. 所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2y-2x, 標準方程為(x+1)2+(y-1)2=2. 曲線C的極坐標方程化為參數方程為 (φ為參數).,(2)當α= 時,直線l的方程為 化成普通方程為y=x+2. 由 解得 或 所以直線l與曲線C交點的極坐標分別為 ,(2,π).,【加固訓練】 1.(2014福建高考)已知直線l的參數方程為 (t為參數),圓C的參數方程為 (θ為參數). (1)求直線l和圓C的普通方程. (2)若直線l與圓C有公共點,求實數a的取值范圍.,【解析】(1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0, 圓C的普通方程為x2+y2=16. (2)因為直線l與圓C有公共點, 故圓C的圓心到直線l的距離d= ≤4, 解得-2 ≤a≤2 .,2.(2014全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,以坐標原點 為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐 標方程為ρ=2cosθ,θ∈ (1)求C的參數方程. (2)設點D在C上,C在D處的切線與直線l:y= x+2垂直,根據(1)中你得到的參數方程,確定D的坐標.,【解析】(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得C的參數方程為 (t為參數，0≤t≤π).,(2)設D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)為圓心, 1為半徑的上半圓. 因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率 相同,tant= ,t= . 故點D的直角坐標為 ,即 .,考向三 橢圓的參數方程與應用 【典例3】在平面直角坐標系xOy中,若l: (t為 參數)過橢圓C: (φ為參數)的右頂點,求常數 a的值.,【解題導引】把橢圓的參數方程化為普通方程,找出右 頂點,代入直線的普通方程中,即可求出a的值. 【規(guī)范解答】直線l的普通方程是x-y-a=0,橢圓C的普 通方程是 =1,其右頂點為(3,0),代入直線方程 得a=3.,【規(guī)律方法】圓與橢圓的參數方程的異同點 (1)圓與橢圓的參數方程實質都是三角代換,有關圓或橢圓上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題,通常利用圓或橢圓的參數方程轉化為三角函數的最大值、最小值求解.,(2)圓的參數方程中的參數與橢圓的參數方程中的參數的幾何意義不同,圓的參數方程中的參數是旋轉角,橢圓的參數方程中的參數是離心角,只有橢圓上的點在坐標軸上時,離心角才等于圓心角.,【變式訓練】(2014遼寧高考)將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C. (1)寫出C的參數方程. (2)設直線l:2x+y-2=0與C的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.,【解析】(1)設(x1,y1)為圓上的點，在已知變換下 變?yōu)镃上的點(x,y). 依題意得 由x12+y12=1得 即曲線C的方程為 故C的參數方程為 (t為參數).,(2)由 解得 或 不妨設P1(1,0),P2(0,2)， 則線段P1P2的中點坐標為 所求直線斜率為k= . 于是所求直線方程為y-1= 化為極坐標方程，并化簡得,【加固訓練】 已知直線l的參數方程為 曲線C的參數方程 為 設直線l與曲線C交于兩點A,B. (1)求|AB|. (2)設P為曲線C上的一點,當△ABP的面積取最大值時,求點P的坐標.,【解析】(1)由已知可得直線l的方程為x+2y=2, 曲線C的方程為 由 ?A(2,0),B(0,1),所以|AB|=,(2)設P(2cos θ,sin θ), 當sin(θ+ )=-1,即θ= 時d最大， 所以,