高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1 坐標(biāo)系課件(理) 選修4-4.ppt

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選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐 標(biāo) 系,【知識梳理】 1.伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換 φ: 的作用下,點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(λx, μy),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換.,,2.極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo) (1)極坐標(biāo)系: 在如圖極坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是_____,射線Ox是_____,θ為 _____(通常取逆時(shí)針方向),ρ為_____(表示極點(diǎn)O與 點(diǎn)M的距離),點(diǎn)M的極坐標(biāo)是_________.,極點(diǎn),極軸,極角,極徑,M(ρ,θ),(2)點(diǎn)的極坐標(biāo):對于極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的任一點(diǎn)M, 若設(shè)|OM|=ρ(ρ≥0),以O(shè)x為始邊,OM為終邊的角為θ, 則點(diǎn)M可用有序數(shù)對________表示.,(ρ,θ),3.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 (1)前提:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn), x軸正半軸作為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中 取相同的長度單位.,(2)互化公式:設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,y)和(ρ,θ),則,4.直線的極坐標(biāo)方程 (1)一般位置: 若直線過點(diǎn)M(ρ0,θ0),且極軸到此直線的角為α,則它的極坐標(biāo)方程為:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).,(2)特殊位置:,α,π+α,α,π+α,ρcosθ,ρsinθ,5.圓的極坐標(biāo)方程 (1)一般位置: 若圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r,則該圓的方程為: ______________________________.,ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0,(2)幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程: ①圓心位于極點(diǎn),半徑為r:_____. ②圓心位于M(a,0),半徑為a:___________. ③圓心位于M ,半徑為a:___________.,ρ=r,ρ=2acosθ,ρ=2asinθ,【特別提醒】 1.應(yīng)用伸縮變換時(shí),要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y) 與變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)(x′,y′). 2.直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化問題,要注意互化時(shí)要將極坐標(biāo)方程作適當(dāng)轉(zhuǎn)化:,(1)若是和角,常用兩角和與差的三角公式展開,化為可用公式形式. (2)為了出現(xiàn)公式形式,兩邊可以同乘以ρ.,考向一 伸縮變換 【典例1】求雙曲線C:x2- =1經(jīng)過φ: 變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo).,【解題導(dǎo)引】設(shè)出曲線C′上任意點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)的坐標(biāo)和變換把雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,再代入雙曲線方程可得變換后的曲線方程,進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).,【規(guī)范解答】設(shè)曲線C′上任意一點(diǎn)P′(x′,y′), 由上述可知,將 代入x2- =1,得 化簡得 即 為曲線C′的方程,可見仍是雙曲線,則焦 點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0)為所求.,【規(guī)律方法】伸縮變換后的方程求法 平面上的曲線y=f(x)在變換φ: 的作用下 的變換方程的求法是將 代入y=f(x),得 整理之后得到y(tǒng)′=h(x′),即為所求變換之后的方程.,【變式訓(xùn)練】在同一平面直角坐標(biāo)系中,將直線x-2y=2 變成直線2x′-y′=4,求滿足圖象變換的伸縮變換. 【解析】設(shè)變換為 代入第二個(gè)方程,得 2λx-μy=4,與x-2y=2比較系數(shù)得λ=1,μ=4,即 因此,經(jīng)過變換 后,直線x-2y=2變成直線2x′- y′=4.,【加固訓(xùn)練】 1.在同一平面直角坐標(biāo)系中,已知伸縮變換φ: (1)求點(diǎn)A 經(jīng)過φ變換所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo). (2)點(diǎn)B經(jīng)過φ變換得到點(diǎn)B′ ,求點(diǎn)B的坐標(biāo). (3)求直線l:y=6x經(jīng)過φ變換后所得到的直線l′的方程.,【解析】(1)設(shè)A′(x′,y′), 由伸縮變換φ: 得到 由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為 于是x′=3 =1,y′= (-2)=-1, 所以A′(1,-1)為所求.,(2)設(shè)B(x,y),由伸縮變換φ: 得到 由于點(diǎn)B′的坐標(biāo)為 于是x= (-3)=-1,y=2 =1, 所以B(-1,1)為所求.,(3)由伸縮變換φ: 得 代入直線l:y=6x,得到經(jīng)過伸縮變換后的方程為y′=x′,因此直線l′的方程為y=x.,2.在同一平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換 后,曲線C:x2+y2=36變?yōu)楹畏N曲線,并求曲線的焦點(diǎn) 坐標(biāo).,【解析】設(shè)圓x2+y2=36上任一點(diǎn)為P(x,y),伸縮變換 后對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(x′,y′),則 所以4x′2+9y′2=36, 即 所以曲線C在伸縮變換后得橢圓 其焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0).,考向二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 【典例2】(2015全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,直 線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程. (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ= ,設(shè)C2與C3的 交點(diǎn)為M,N,求△C2MN的面積.,【解題導(dǎo)引】(1)用公式 代入即可. (2)把C3的方程代入C2,所解得的兩根之差即為MN的長度.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閤=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1 的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-2,C2的極坐標(biāo)方程為 ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0. (2)將θ= 代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2- 3 ρ+4=0,解得ρ1=2 ,ρ2= .故ρ1-ρ2= ,即 |MN|= .由于圓C2的半徑為1,所以△C2MN的面積為 .,【母題變式】 1.本例條件不變,求直線C1與C3的交點(diǎn)的極坐標(biāo). 【解析】聯(lián)立兩直線方程得 解得 所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,2.本例條件不變,求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對稱圓的方程. 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(ρ,θ)與(-ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對稱,所 以由C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0得 圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對稱圓方程是ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ +4=0.,【規(guī)律方法】直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的關(guān)注點(diǎn) (1)根據(jù)終邊相同的角的意義,角θ的表示方法具有周期性,故點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ,θ)的形式不唯一,即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無窮多個(gè). 當(dāng)限定ρ≥0,θ∈[0,2π)時(shí),除極點(diǎn)外,點(diǎn)M的極坐標(biāo)是唯一的.,(2)當(dāng)把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí),求極角θ應(yīng)注意判斷點(diǎn)M所在的象限(即角θ的終邊的位置),以便正確地求出角θ∈[0,2π)的值.,易錯(cuò)提醒:極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過變形,構(gòu)造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,進(jìn)行整體代換.其中對方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方進(jìn)行變形時(shí),方程必須同解,因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗(yàn).,【變式訓(xùn)練】(2016唐山模擬)已知極坐標(biāo)方程 C1:ρ=10,C2:ρsin =6. (1)化C1,C2的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程,并分別 判斷曲線的形狀. (2)求C1,C2交點(diǎn)間的距離.,【解析】(1)由C1:ρ=10,得ρ2=100, 所以x2+y2=100, 所以C1是圓心為(0,0),半徑等于10的圓. 由C2:ρsin =6,得ρ =6, 所以y- x=12,即 x-y+12=0, 所以C2表示一條直線.,(2)由于圓心(0,0)到直線 x-y+12=0的距離為d= 所以直線C2被圓截得的弦長等于2 =16.,【加固訓(xùn)練】 1.在極坐標(biāo)系中,設(shè)曲線C1:ρ=2sinθ與C2:ρ=2cosθ的交點(diǎn)分別為A,B,求線段AB的垂直平分線的極坐標(biāo)方程.,【解析】將曲線C1:ρ=2sinθ,C2:ρ=2cosθ的極坐標(biāo) 方程化為直角坐標(biāo)方程分別為C1:x2+(y-1)2=1,C2:(x- 1)2+y2=1,所以過兩圓交點(diǎn)的直線為y=x,線段AB的中點(diǎn) 坐標(biāo)為 ,因此線段AB的垂直平分線的方程為x+y- 1=0,化為極坐標(biāo)方程為ρsin,2.(2015北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn) 到直線ρ(cos θ+ sin θ)=6的距離. 【解析】點(diǎn) 可化為 ，即(1, ). 直線ρ(cos θ+ sin θ)=6可化為x+ y-6=0.由 點(diǎn)到直線的距離公式可得,考向三 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 【典例3】(2016石家莊模擬)在極坐標(biāo)系Ox中,直線 C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2,M是C1上任意一點(diǎn),點(diǎn)P在 射線OM上,且滿足|OP||OM|=4,記點(diǎn)P的軌跡為C2. (1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程. (2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos 距離的最大值.,【解題導(dǎo)引】(1)設(shè)出M,P的極坐標(biāo),由|OP||OM|=4,即M,P的極徑之積等于4得到兩點(diǎn)的極坐標(biāo)的關(guān)系,把M的極坐標(biāo)用P的極坐標(biāo)表示,代入直線C1的極坐標(biāo)方程即可得到曲線C2的極坐標(biāo)方程.,(2)化極坐標(biāo)方程為普通方程,由點(diǎn)到直線的距離公式 求出圓心到直線的距離,與圓的半徑作和可求曲線C2上 的點(diǎn)到直線ρcos 距離的最大值.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)P(ρ1,θ),M(ρ2,θ), 由|OP||OM|=4,得ρ1ρ2=4,即ρ2= . 因?yàn)镸是C1上任意一點(diǎn),所以ρ2sinθ=2,即 sinθ=2, ρ1=2sinθ. 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ.,(2)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2-2y=0, 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=1, 則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為1, 由直線ρcos 得:ρcosθcos -ρsinθsin = , 即x-y=2,,圓心(0,1)到直線x-y=2的距離為 所以曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos 距離的最 大值為1+ .,【規(guī)律方法】極坐標(biāo)方程問題的處理思路 曲線的極坐標(biāo)方程問題通?？衫没Q公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的問題求解,然后再次利用互換公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.熟練掌握互換公式是解決問題的關(guān)鍵.,【變式訓(xùn)練】(2016信陽模擬)已知圓O1和圓O2的 極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,ρ2-2 ρcos =2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程. (2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.,【解析】(1)由ρ=2知ρ2=4,所以圓O1的直角坐標(biāo)方 程為 x2+y2=4. 因?yàn)?所以 所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y-2=0.,(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減, 得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x+y=1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=1, 即ρsin,【加固訓(xùn)練】 已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,圓心為C,點(diǎn)P的極 坐標(biāo)為 ,求CP的長. 【解析】如圖,,由圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ知OC=2, 又因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為 , 所以O(shè)P=4,∠POC= , 在△POC中,由余弦定理得CP2=OP2+OC2-2OPOCcos =16+4-242 =12,所以CP=2 .,