《參數(shù)方程的概念》課件1

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1、1、 參 數(shù) 方 程 的 概 念 （ 1） 在 取 定 的 坐 標 系 中 ， 如 果 曲 線 上 任 意 一 點 的 坐標 x 、 y都 是 某 個 變 數(shù) t的 函 數(shù) ， 即并 且 對 于 t的 每 一 個 允 許 值 ， 由 上 述 方 程 組 所 確 定 的 點M（ x,y） 都 在 這 條 曲 線 上 ， 那 么 上 述 方 程 組 就 叫 做 這條 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 ， 聯(lián) 系 x、 y之 間 關 系 的 變 數(shù) 叫 做 參變 數(shù) ， 簡 稱 參 數(shù) 。 參 數(shù) 方 程 的 參 數(shù) 可 以 是 有 物 理 、 幾何 意 義 的 變 數(shù) ， 也 可 以 是 沒 有 明 顯

2、 意 義 的 變 數(shù) 。 )( )(tgy tfx（ 2） 相 對 于 參 數(shù) 方 程 來 說 ， 前 面 學 過 的 直 接 給 出 曲線 上 點 的 坐 標 關 系 的 方 程 ， 叫 做 曲 線 的 普 通 方 程 。 即的 函 數(shù)都 是縱 坐 標 、的 橫 坐 標點根 據(jù) 三 角 函 數(shù) 定 義 圓 半 徑 為的 坐 標 為如 果 點 , , ,),( 0 y xP OPPryxP sincosry rx 并 且 對 于 的 每 一 個 允 許 值 ,由 方 程 組 所 確 定 的 點 P(x,y),都 在 圓 O上 . o思 考 1： 圓 心 為 原 點 ， 半 徑 為 r 的 圓

3、的 參 數(shù) 方 程 ？ -5 5 5 -5 r p0 P(x,y) 我 們 把 方 程 組 叫 做 圓 心 在 原 點 、 半 徑 為 r的 圓 的參 數(shù) 方 程 ， 是 參 數(shù) . 觀 察 1 sincos11 ry rx ?,)()( ),(:2 222 1 那 么 參 數(shù) 方 程 是 什 么 呢為 的 圓 的 標 準 方 程、 半 徑 為圓 心 為思 考 rbyax rbaO 觀 察 2 5 -5 -5 5 v(a,b) o P(x,y)O 1),( 111 yxP (a,b)r1 11 1 1( , ), ( , )( , ) ,O a b rO rO P x yO P x y圓 心

4、為 、 半 徑 為 的 圓 可 以看 作 由 圓 心 為 原 點 、 半 徑 為 的 圓平 移 得 到 設 圓 上 任 意 一 點是 圓 上 的 點 平 移 得 到 的由 平 移 公 式 有又 所 以 sincosrby rax byy axx 11 （ 3） 參 數(shù) 方 程 與 普 通 方 程 的 互 化 sincosry rx x2+y2=r2 222 )()( rbyax sincosrby rax注 ： 1、 參 數(shù) 方 程 的 特 點 是 沒 有 直 接 體 現(xiàn) 曲 線 上 點 的橫 、 縱 坐 標 之 間 的 關 系 ， 而 是 分 別 體 現(xiàn) 了 點 的 橫 、 縱坐 標 與 參

5、 數(shù) 之 間 的 關 系 。 2、 參 數(shù) 方 程 的 應 用 往 往 是 在 x與 y直 接 關 系 很 難或 不 可 能 體 現(xiàn) 時 ， 通 過 參 數(shù) 建 立 間 接 的 聯(lián) 系 。 已 知 曲 線 C的 參 數(shù) 方 程 是(1)判 斷 點 （ 0， 1） ,(5,4)是 否 在 上 .(2)已 知 點 （ ， a） 在 曲 線 上 ， 求 a. 123 2ty tx 例 1、 已 知 圓 方 程 x2+y2 +2x-6y+9=0， 將 它化 為 參 數(shù) 方 程 。解 ： x2+y2+2x-6y+9=0化 為 標 準 方 程 ， （ x+1） 2+（ y-3） 2=1， 參 數(shù) 方 程

6、為 sin3 cos1yx (為 參 數(shù) ) 練 習 ： 1.填 空 ： 已 知 圓 O的 參 數(shù) 方 程 是 sin5cos5yx (0 2 ) 5 5 32 , ,2 2Q Q 如 果 圓 上 點 所 對 應 的 坐 標 是 則 點 對 應的 參 數(shù) 等 于 如 果 圓 上 點 P所 對 應 的 參 數(shù) ， 則 點 P的 坐 標 是 35 235,2532 2 cos2. ( )2sin. , 2. , 2. xyABCD 選 擇 題 ： 參 數(shù) 方 程 為 參 數(shù) 表 示 的 曲 線 是圓 心 在 原 點 半 徑 為 的 圓圓 心 不 在 原 點 但 半 徑 為 的 圓不 是 圓以 上

7、都 有 可 能 A半 徑 為 表 示 圓 心 為參 數(shù) 方 程、 填 空 題 sin2 cos2)1( :3 yx的 圓 ， 化 為 標 準 方 程 為 （ 2， -2）1 122 22 yx sin22 cos21yx 化 為 參 數(shù) 方 程 為把 圓 方 程 0142)2( 22 yxyx xMP AyO解:設M的坐標為(x,y),可設點P坐標為(4cos,4sin)點M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。由中點公式得:點M的軌跡方程為x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圓x2+y2=16的參數(shù)方程為例2. 如圖,已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點,

8、點A是x軸上的定點,坐標為(12,0).當點P在圓 上運動時,線段PA中點M的軌跡是什么? 觀 察 3 解:設M的坐標為(x,y),點M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。由中點坐標公式得: 點P的坐標為(2x-12,2y) (2x-12)2+(2y)2=16即 M的軌跡方程為(x-6)2+y2=4點P在圓x2+y2=16上xMP AyO例2. 如圖,已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點, 點A是x軸上的定點,坐標為(12,0).當點P在圓 上運動時,線段PA中點M的軌跡是什么? 例 3、 已 知 點 P（ x， y） 是 圓 x2+y2- 6x- 4y+12=0上 動點 ， 求 （

9、 1） x2+y2 的 最 值 ， （ 2） x+y的 最 值 ， （ 3） P到 直 線 x+y- 1=0的 距 離 d的 最 值 。 解 ： 圓 x2+y2- 6x- 4y+12=0即 （ x- 3） 2+（ y- 2） 2=1，用 參 數(shù) 方 程 表 示 為 sin2 cos3yx由 于 點 P在 圓 上 ， 所 以 可 設 P（ 3+cos， 2+sin）（ 1） x 2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).13(其 中 tan =3/2) x2+y2 的 最 大 值 為 14+2 ， 最 小 值 為 14- 2 。1

10、3 13(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）2 4 x+y的 最 大 值 為 5+ ， 最 小 值 為 5 - 。 22(3) 2 )4sin(242 1sin2cos3 d顯 然 當 sin（ + ） = 1時 ， d取 最 大 值 ， 最小 值 ， 分 別 為 ， 。 4 122 221 例 4、 將 下 列 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 ： sin3 cos32yx(1) 2cossinyx(2)(3) x=t+1/ty=t2+1/t2（ 1） （ x-2） 2+y2=9 （ 2） y=1- 2x2（ - 1x1）（ 3） x 2- y=2（ X2

11、或 x- 2）步 驟 ： （ 1） 消 參 ； （ 2） 求 定 義 域 。 小 結 :1、 圓 的 參 數(shù) 方 程2、 參 數(shù) 方 程 與 普 通 方 程 的 概 念3、 圓 的 參 數(shù) 方 程 與 普 通 方 程 的 互 化4、 求 軌 跡 方 程 的 三 種 方 法 ： 相 關 點 點 問題 （ 代 入 法 ） ； 參 數(shù) 法 ； 定 義 法5、 求 最 值 )(211001 2 為 參 數(shù) ， 表 示 時 間、 tgthy tx )(41 32 ,41,32 ),(2 為 參 數(shù)以 時 間的 軌 跡 的 參 數(shù) 方 程 為于 是 點 則， 動 點 的 位 置 是、 設 經(jīng) 過 時 間

12、tty tx M tytx yxMt xy ACB O 6)23(sin )21(cos)23(sin)21(cos sin)1(cos)sin,(cos )23,21(),23,21(),0,1(, )(sincos , 13 2 222 22222 MCMBMA MCBA yx xCBABC則設 點 的 坐 標 分 別 為 為 參 數(shù)是那 么 外 接 圓 的 參 數(shù) 方 程 軸 對 稱關 于， 時 點如 圖 的 平 面 直 角 坐 標 系 ， 建 立的 外 接 圓 的 半 徑 為、 解 ： 不 妨 設 雙 曲 線 ；）（ 一 段 拋 物 線 ； 為 端 點 的以）（ 直 線 ；、 解 ,43 )2,1(),2,1(,1,1,22 ,072)1(;4 22 2 yx xxy yx )(sincos)2( )(1 13)1(5 442 為 參 數(shù)為 參 數(shù)、 ay ax tty ttx