高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)提升課件 蘇教版選修2-2.ppt

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第 2章 推理與證明,章末復(fù)習(xí)提升,1.了解推理的概念. 2.理解合情推理與演繹推理的概念、思維形式、應(yīng)用等. 3.掌握直接證明與間接證明. 4.理解數(shù)學(xué)歸納法，并會用數(shù)學(xué)歸納法證明問題.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點(diǎn)一 合情推理與演繹推理 1.歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明. 2.演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性.,知識點(diǎn)二 直接證明與間接證明 直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常把它們結(jié)合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.,,思考 反證法通常適用于哪些問題？ 答案 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題.,答案,,知識點(diǎn)三 數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可.它的第一步(歸納奠基)n＝n0時(shí)結(jié)論成立.第二步(歸納遞推)假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，推得n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立.數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立. 思考 何為探索性命題？其解題思路是什么？ 答案 探索性命題是試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類問題未給出問題結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論的問題稱為探求規(guī)律性問題，它的解題思想是：從給出的條件出發(fā)，通過觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.,答案,返回,題型探究 重點(diǎn)突破,,解析答案,題型一 合情推理及應(yīng)用 例1 觀察下列各式： a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝_____. 解析 記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11. 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)， 則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47； f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 所以a10＋b10＝123.,123,反思與感悟,,反思與感悟,歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴(yán)格證明.盡管如此，合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用. 運(yùn)用合情推理時(shí)，要認(rèn)識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問題時(shí)，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進(jìn)行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 自然數(shù)按下表的規(guī)律排列 則上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù) 為________. ①2 0142; ②2 0152； ③2 0132 014; ④2 0142 015.,解析 經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn)： (1)第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方， 即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2； (2)第一行第n個(gè)數(shù)為(n－1)2＋1； (3)第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1； (4)第n列從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1. 故上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)，應(yīng)是第2 015列的第2 014個(gè)數(shù)， 即為[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 0142 015. 答案 ④,,解析答案,題型二 直接證明與間接證明,反思與感悟,,反思與感悟,,反思與感悟,直接證明方法可具體分為比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問題時(shí)，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實(shí)際證明問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 已知等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＞0，公差d＞0.,解 ∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，d＝2， ∴a4＝7，am＝2m－1.,即2m－1＝49.∴m＝25.,,解析答案,又∵a1＞0，d＞0，∴an＋1＝a1＋nd＞d，,因此假設(shè)不成立，故命題得證.,,解析答案,題型三 數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用 例3 已知ai＞0(i＝1,2，…，n)，考察：,歸納出對a1，a2，…，an都成立的類似不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.,反思與感悟,,證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立. ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，,由①②可知，不等式對任意正整數(shù)n都成立.,反思與感悟,,反思與感悟,數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論正確”的過程中，必須用“歸納假設(shè)”，否則就是錯(cuò)誤的.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*). (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；,解 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；,當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝24－a4，,,解析答案,(2)證明(1)中的猜想. 證明 ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立. ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，,那么n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak.,∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立.,,例4 已知x，y∈R，且x2＋y2＝0，求證x，y全為0. 錯(cuò)解 假設(shè)結(jié)論不成立，則x，y全不為0，即x≠0且y≠0， ∴x2＋y2＞0，與x2＋y2＝0矛盾，故x，y全為0. 錯(cuò)因分析 x，y全為0的否定應(yīng)為x，y不全為0，即至少有一個(gè)不是0， 得x2＋y2＞0與已知矛盾. 正解 假設(shè)x，y不全為0，則有以下三種可能： ①x＝0，y≠0，得x2＋y2＞0，與x2＋y2＝0矛盾； ②x≠0，y＝0，得x2＋y2＞0, 與x2＋y2＝0矛盾； ③x≠0，y≠0，得x2＋y2＞0，與x2＋y2＝0矛盾. ∴假設(shè)是錯(cuò)誤的，∴x，y全為0.,易錯(cuò)易混,應(yīng)用反證法證明問題時(shí)，因?qū)Y(jié)論否定不正確致誤,解析答案,返回,防范措施,,應(yīng)用反證法證明問題時(shí)，首先要否定結(jié)論，假設(shè)結(jié)論的反面成立，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，需羅列出各種可能情形，否定一定要徹底.,,返回,防范措施,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,1.下列推理正確的是_____. ①把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類比，則loga(x＋y)＝logax＋logay； ②把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則sin(x＋y)＝sin x＋sin y； ③把(ab)n與(x＋y)n類比，則(x＋y)n＝xn＋yn； ④把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則(xy)z＝x(yz).,④,答案,,解析答案,1,2,3,4,5,2.在△ABC中，若sin Asin C＞cos Acos C，則△ABC形狀為________. 解析 由sin Asin C＞cos Acos C， 得cos(A＋C)＜0，即cos B＞0, 所以B為銳角，但并不能確定角A和C的情況.,不確定,,1,2,3,4,5,解析答案,,解析答案,1,2,3,4,5,4.如圖是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個(gè)圖形中的花盆數(shù)an＝___________. 解析 觀察知每一個(gè)圖案中間一行的花盆數(shù) 為1,3,5，…，其中第n個(gè)圖案中間一行的花盆 數(shù)為2n－1，往上一側(cè)花盆數(shù)依次是2n－2,2n－3，…，,3n2－3n＋1,,解析答案,1,2,3,4,5,(1)求f2(x)，f3(x)；,,(2)猜想fn(x)的表達(dá)式，并證明.,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立；,這就是說當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立.,解析答案,1,2,3,4,5,,課堂小結(jié),,返回,轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂.在本章中，合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特殊的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的是一般與特殊、有限與無限的轉(zhuǎn)化，反證法體現(xiàn)的是對立與統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化. 從特殊到一般的思想方法即由特殊情況入手，通過觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.與正整數(shù)n有關(guān)的命題，經(jīng)常要用到歸納猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，這體現(xiàn)了從特殊到一般的探求規(guī)律的思想.,