高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡單性質課件 北師大版選修2-1.ppt

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第三章 2 拋物線,2.2 拋物線的簡單性質,1.掌握拋物線的簡單幾何性質. 2.能運用拋物線的簡單幾何性質解決與拋物線有關的問題.,,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,知識點一 拋物線的幾何性質,,答案,y≤0,x≥0,x≤0,y≥0,,返回,知識點二 焦點弦,答案,x1＋x2＋p,知識點三 直線與拋物線的位置關系 直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p0)的交點個數(shù)決定于關于x的方程______ 的解的個數(shù).當k≠0時，若Δ0，則直線與拋物線有 個不同的公共點；當Δ＝0時，直線與拋物線有 個公共點；當Δ0時，直線與拋物線 公共點.當k＝0時，直線與拋物線的對稱軸 ，此時直線與拋物線有 個公共點.,一,k2x2＋,2(kb－p)x＋b2＝0,兩,一,沒有,平行或重合,題型探究 重點突破,題型一 拋物線的簡單性質 例1 過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點. 若|AF|＝3，則△AOB的面積為_____. 解析 由題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如圖所示，|AF|＝x1＋1＝3，,,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,,(1)注意拋物線各元素間的關系：拋物線的焦點始終在對稱軸上，拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點，拋物線的準線始終與對稱軸垂直，拋物線的準線與對稱軸的交點和焦點關于拋物線的頂點對稱. (2)解決拋物線問題要始終把定義的應用貫徹其中，通過定義的運用，實現(xiàn)兩個距離之間的轉化，簡化解題過程.,,跟蹤訓練1 已知拋物線的對稱軸在坐標軸上，以原點為頂點，且經過點M(1，－2).求拋物線的標準方程和準線方程.,解析答案,解 (1)當拋物線的焦點在x軸上時， 設其標準方程為y2＝mx(m≠0). 將點M(1，－2)代入，得m＝4. ∴拋物線的標準方程為y2＝4x； (2)當拋物線的焦點在y軸上時，設其標準方程為x2＝ny(n≠0).,,解析答案,反思與感悟,題型二 拋物線的焦點弦問題,,解析答案,反思與感悟,所以直線AB的斜率存在，設為k，,消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.,,反思與感悟,解得k＝2.,反思與感悟,,(1)解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長度轉化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數(shù)的關系進行求解. (2)設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論.,,解析答案,跟蹤訓練2 已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點. (1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值； 解 因為直線l的傾斜角為60，,若設A(x1，y1)，B(x2，y2).則x1＋x2＝5，,∴|AB|＝5＋3＝8.,,解析答案,(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離. 解 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知,＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3， 所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點M的橫坐標是3，,,題型三 直線與拋物線的位置關系 例3 已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，直線l與拋物線C有： (1)一個公共點？,解析答案,消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*),當k≠0時，方程(*)為一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2， ①當Δ0，即k1時，直線l與拋物線C沒有公共點，此時直線l與拋物線C相離. 綜上所述，當k＝1或k＝0時，直線l與拋物線C有一個公共點；,,(2)兩個公共點？ 解 當k1時，直線l與拋物線C沒有公共點. 反思與感悟 直線與拋物線交點的個數(shù)，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數(shù).注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數(shù)為0的情況.,解析答案,反思與感悟,,跟蹤訓練3 如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值.,解析答案,返回,證明 設kAB＝k(k≠0)， ∵直線AB，AC的傾斜角互補， ∴kAC＝－k(k≠0)， ∴直線AB的方程是y＝k(x－4)＋2.,,解析答案,k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0. ∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解.,,返回,所以直線BC的斜率為定值.,1.以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為( ) A.y2＝8x B.y2＝－8x C.y2＝8x或y2＝－8x D.x2＝8y或x2＝－8y 解析 設拋物線y2＝2px或y2＝－2px(p0)，,,當堂檢測,1,2,3,4,5,C,解析答案,∴2|y|＝2p＝8，p＝4.,,解析答案,2.若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為( ),B,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,3.拋物線y＝4x2上一點到直線y＝4x－5的距離最短，則該點坐標為( ),C,設此直線與拋物線相切，此時有Δ＝0，即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.,解析 因為y＝4x2與y＝4x－5不相交，設與y＝4x－5平行的直線方程為y＝4x＋m.,,解析答案,4.經過拋物線y2＝2x的焦點且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是( ) A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0 C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0,1,2,3,4,5,A,,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知直線x－y＋1＝0與拋物線y＝ax2相切，則a＝______.,∵直線與拋物線相切，∴a≠0且Δ＝1＋4a＝0.,,課堂小結,1.討論拋物線的幾何性質，一定要利用拋物線的標準方程；利用簡單性質，也可以根據待定系數(shù)法求拋物線的方程. 2.直線與拋物線的相交弦問題共有兩類，一類是過焦點的弦，一類是不過焦點的弦.解決弦的問題，大多涉及到拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率.常用的辦法是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉化為關于x或y的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關系，這樣避免求交點.尤其是弦的中點問題，還應注意“點差法”的運用. 3.判斷直線與拋物線位置關系的兩種方法 (1)幾何法：利用圖像，數(shù)形結合，判斷直線與拋物線的位置關系，但有誤差影響判斷的結果.,(2)代數(shù)法：設直線l的方程為y＝kx＋m，拋物線的方程為y2＝2px(p0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0).,,返回,直線與拋物線有一個交點，是直線與拋物線相切的必要不充分條件.,