2019-2020年高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列(3)教案 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列(3)教案 蘇教版必修5 【三維目標(biāo)】: 一、知識與技能 1. 掌握等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式以及推導(dǎo)該公式的數(shù)學(xué)思想方法,并能運(yùn)用公式解決簡單的問題; 2.探索活動中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析的能力,培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納能力。 二、過程與方法 1.通過對歷史有名的高斯求和的介紹,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個規(guī)律;由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的問題,進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過程中,通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對等差數(shù)列相應(yīng)問題的研究。 2.通過公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用,使學(xué)生體會從特殊到一般,再從一般到特殊的思維規(guī)律,初步形成認(rèn)識問題,解決問題的一般思路和方法;通過公式推導(dǎo)的過程教學(xué),對學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練,發(fā)展學(xué)生的思維水平. 三、情感、態(tài)度與價值觀 1.通過公式的推導(dǎo)過程,獲得發(fā)現(xiàn)的成就感,逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,提高代數(shù)推理的能力。 2.培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過的知識解決與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的問題的能力。 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】: 重點(diǎn):等差數(shù)列項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用 難點(diǎn):等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得,靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題,體會等差數(shù)列的前項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。 【學(xué)法與教學(xué)用具】: 1.學(xué)法:講練結(jié)合 2.教學(xué)用具:多媒體、實(shí)物投影儀. 【授課類型】:新授課 【課時安排】:1課時 【教學(xué)思路】: 一、創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題 “小故事”:著名的數(shù)學(xué)家高斯(德國 1777-1855)十歲時計(jì)算1+2+3+…+100的故事:高斯是偉大的數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家,高斯十歲時,有一次老師出了一道題目,老師說: “現(xiàn)在給大家出道題目:“1+2+…100=?” 過了兩分鐘,正當(dāng)大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦樂乎時,高斯站起來回答說:“1+2+3+…+100=5050。教師問:“你是如何算出答案的?高斯回答說:因?yàn)?+100=101;2+99=101;…50+51=101,所以10150=5050” 故事結(jié)束:歸納為 1.這是求等差數(shù)列1,2,3,…,100前100項(xiàng)和 2.高斯的解法是:前100項(xiàng)和,即 二、研探新知 1.等差數(shù)列的求和公式 (1)求和公式(一):(倒序相加法) 思考:受高斯的啟示,我們這里可以用什么方法去求和呢? 思考后知道,也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和。我們用兩種方法表示: 證明: ① ② ①+②: ∵ ∴ 由此得: 由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式 注意:用上述公式要求必須具備三個條件: (2)求和公式(二):按等差數(shù)列定義 當(dāng)然,對于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo),也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如: = === 這兩個公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中,就可以得到 注意:此公式要求必須具備三個條件: (有時比較有用) 公式二又可化成式子:,當(dāng),是一個常數(shù)項(xiàng)為零的二次式,有關(guān)前項(xiàng)和得最值問題可由此公式解決 總之:兩個公式都表明要求必須已知中三個 說明:(1)等差數(shù)列的前和等于首末兩項(xiàng)和的一半的倍; (2)在等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式中有,,,,五個量,已知其中三個可以求出另外兩個。 引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征得到:第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個內(nèi)在性質(zhì)。第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系,而且是關(guān)于的“二次函數(shù)”,可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較。這兩個公式的共同點(diǎn)都是知道和,不同點(diǎn)是第一個公式還需知道,而第二個公式是要知道,解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。 三、質(zhì)疑答辯,排難解惑,發(fā)展思維 例1(教材例1)在等差數(shù)列中, (1)已知,,,求;(2)已知,,求。 例2(教材例2)(1)在等差數(shù)列中,已知,,求及; (2)在等差數(shù)列中,,,,求及 解:(1)由題意,得 由(2)得: 代入(1)得,∴(舍去),∴ (2)由題意,得 解得: 例3(教材例3)在等差數(shù)列中,已知第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為310,第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910,求第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和。 解:設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由題意,得 即: 解得: ∴ ,∴ 從上例中我們發(fā)現(xiàn):也成等差數(shù)列,你能得出更一般的結(jié)論嗎? 結(jié)論:仍成等差數(shù)列,公差為(為確定的正整數(shù))。 例4求集合的元素個數(shù),并求這些元素的和。 解:由,得,故集合中的元素共有14個,將它們從小到大列出,得,,,,.這數(shù)列是等差數(shù)列,共有項(xiàng),記為,其中,, 所以,,答:集合共有14個元素 ,它們的和等于. 例5 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,(1)求公差的取值范圍;(2)指出中哪一個值最大?并說明理由。 解:(1),,則,所以,; (2)∵,,∵,∴ ,∴且,所以,最大。 說明:(1),時,有最大值;,時,有最小值; (2)最值的求法:①若已知,可用二次函數(shù)最值的求法(); ②若已知,則最值時的值()可如下確定或 四、鞏固深化,反饋矯正 教材練習(xí)第1,2,3,4題 五、歸納整理,整體認(rèn)識 1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和的兩個公式及推導(dǎo)方法 ; (1)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1(倒序相加法): (2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2: (3),當(dāng),是一個常數(shù)項(xiàng)為零的二次式 2.對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法: (1) 利用: 當(dāng),前項(xiàng)和有最大值可由,且,求得的值 當(dāng),前項(xiàng)和有最小值可由,且,求得的值 (2) 利用: 由利用二次函數(shù)配方法求得最值時的值 3. 在等差數(shù)列前項(xiàng)和公式中有,,,,五個量,只要知道其中三個元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個元素.(體現(xiàn)了方程思想) 4.等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì):在等差數(shù)列中前項(xiàng)為,則仍成等差數(shù)列,公差為(為確定的正整數(shù))。 六、承上啟下,留下懸念 1.預(yù)習(xí)等差數(shù)列的應(yīng)用 2.補(bǔ)充:今有人與錢,初一人與三錢,次一人與四錢,次一人與五錢,以次與之,轉(zhuǎn)多一錢,與訖,還斂聚與均分之,人得一百錢,問人幾何? 解:將每次發(fā)的錢從小到大排列為等差數(shù)列,記為,設(shè)公差為,前項(xiàng)和記為,則,,,∴,答:共有人個。 七、板書設(shè)計(jì)(略) 八、課后記:- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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