高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 突破點(diǎn)2 解三角形用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

突破點(diǎn)2解三角形提煉1常見解三角形的題型及解法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解.提煉2三角形形狀的判斷(1)從邊出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷(2)從角出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形，再判斷注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時(shí)候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個(gè)數(shù)時(shí)要注意該數(shù)是否為零，避免漏解.提煉3三角形的常用面積公式設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c ，其面積為S.(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)(2)Sabsin Cbcsin AcasinB(3)Sr(abc)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)回訪1正、余弦定理的應(yīng)用1(2016·全國甲卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.又，b.2(2015·全國卷)在平面四邊形ABCD中，ABC75°，BC2，則AB的取值范圍是_(，)如圖所示，延長BA與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFAD交AB于點(diǎn)F，則BF<AB<BE.在等腰三角形CFB中，F(xiàn)CB30°，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30°，ECB75°，BECE，BC2，BE×.<AB<.回訪2三角形的面積問題3(2014·全國卷)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化為(ab)(ab)(cb)·c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60°.ABC中，4a2b2c22bc·cos 60°b2c2bc2bcbcbc(“”當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取得)，SABC·bc·sin A×4×.熱點(diǎn)題型1正、余弦定理的應(yīng)用題型分析：利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化.(2016·四川高考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.(1)證明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tanB解(1)證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)k(k>0)則aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，2分即sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).4分在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C6分(2)由已知，b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理，有cos A，8分所以sin A.9分由(1)知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos B sin B，11分故tan B4.12分關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口變式訓(xùn)練1(1)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知a2，c3，cos B，則_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952013】由余弦定理b2a2c22accos B，得b222322×2×3×10，所以b.由余弦定理，得cos C.因?yàn)锽是ABC的內(nèi)角，所以sin B.由正弦定理，得sin A，所以.(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acos Bbcos(BC)0.證明：ABC為等腰三角形；若2(b2c2a2)bc，求cos Bcos C的值解證明：acos Bbcos (BC)0，由正弦定理得sin Acos Bsin Bcos(A)0，即sin Acos Bsin Bcos A0，3分sin(AB)0，ABk，kZ.4分A，B是ABC的兩內(nèi)角，AB0，即AB，5分ABC是等腰三角形.6分由2(b2c2a2)bc，得，7分由余弦定理得cos A，8分cos Ccos(2A)cos 2A12cos2 A.10分AB，cos Bcos A，11分cos Bcos C.12分熱點(diǎn)題型2三角形面積的求解問題題型分析：三角形面積的計(jì)算及與三角形面積有關(guān)的最值問題是解三角形的重要命題點(diǎn)之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等.(2015·山東高考)設(shè)f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值【解題指導(dǎo)】(1)(2)解(1)由題意知f(x)sin 2x.2分由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.4分所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ).6分(2)由fsin A0，得sin A，7分由題意知A為銳角，所以cos A.8分由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，10分即bc2，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立因此bcsin A，所以ABC面積的最大值為.12分1在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為yAsin(x)B(或yAcos(x)B，yAtan(x)B)的形式，進(jìn)而利用函數(shù)ysin x(或ycos x，ytan x)的圖象與性質(zhì)解決問題2在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac兩項(xiàng)，二者的關(guān)系a2c2(ac)22ac經(jīng)常用到，有時(shí)還可利用基本不等式求最值變式訓(xùn)練2(名師押題)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a4cos C，b1.(1)若sin C，求a，c；(2)若ABC是直角三角形，求ABC的面積解(1)sin C，cos2C1sin2C，cos C.1分4cos Ca，a，解得a或a.3分又a4cos C4×4×，a212(a21c2)，即2c2a21.5分當(dāng)a時(shí)，c2；當(dāng)a時(shí)，c.6分(2)由(1)可知2c2a21.又ABC為直角三角形，C不可能為直角若角A為直角，則a2b2c2c21，2c21c21，c，a，8分Sbc×1×.9分若角B為直角，則b2a2c2，a2c21.2c2a21(1c2)1，c2，a2，即c，a，11分Sac××.12分