（課標通用）高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測54 理-人教版高三全冊數(shù)學試題

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1、課時跟蹤檢測(五十四) [高考基礎題型得分練] 1．已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則點Q的軌跡方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 答案：D　 解析：由題意知，M為PQ的中點，設Q(x，y)，則P的坐標為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0. 2．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則動點P的軌跡是(　　) A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線

2、 答案：B　 解析：設P(x，y)，則 ＝2， 整理得x2＋y2－4x＝0， 又D2＋E2－4F＝16>0， 所以動點P的軌跡是圓． 3．已知點F，直線l：x＝－，點B是l上的動點．若過點B作垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 答案：D　 解析：由已知，得|MF|＝|MB|. 由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線． 4．已知點F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且·＝·，則動點P的軌跡C的方程為(　　) A．x2＝4

3、y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x 答案：A　 解析：設點P(x，y)，則Q(x，－1)． 因為·＝·， 所以(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y. 5．設點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則點P的軌跡方程是(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 答案：D　 解析： 如圖，設P(x，y)，圓心為M(1,0)，連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又∵|PA|＝

4、1，∴|PM|＝＝， 即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2. 6．設圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則點M的軌跡方程為(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 答案：D　 解析：∵M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|＝|M Q|， ∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5， 故點M的軌跡為橢圓． ∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標準方程為＋＝1. 7．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過

5、A，B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是(　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1 C．y2－＝－1 D．x2－＝1 答案：A　 解析：由題意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14， 又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|， ∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2. 故點F的軌跡是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支． ∵c＝7，a＝1，∴b2＝48， ∴點F的軌跡方程為y2－＝1(y≤－1)． 8．直角坐標系中，已知兩點A(3,1)，B(－1,3)，若點C滿足＝λ1＋λ2(O為原點)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點

6、C的軌跡是(　　) A．直線 B．橢圓 C．圓 D．雙曲線 答案：A　 解析：設C(x，y)，因為＝λ1＋λ2， 所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)， 即解得 又λ1＋λ2＝1， 所以＋＝1，即x＋2y＝5 ， 所以點C的軌跡是直線，故選A. 9．動點P(x，y)到定點A(3,4)的距離比P到x軸的距離多一個單位長度，則動點P的軌跡方程為________． 答案：x2－6x－10y＋24＝0(y＞0)　 解析：由題意知，動點P滿足|PA|＝|y|＋1， 即＝|y|＋1， 當y＞0時，整理得x2－6x－10y＋24＝0； 當y≤0時，整理得

7、x2－6x－6y＋24＝0， 變形為(x－3)2＋15－6y＝0，此方程無軌跡． 10．在△ABC中，||＝4，△ABC的內切圓切BC于D點，且||－||＝2，則頂點A的軌跡方程為________． 答案：－＝1(x>)　 解析： 以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，E，F(xiàn)分別為兩個切點．則|BE|＝|BD|， |CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|. ∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4， ∴點A的軌跡為以B，C的焦點的雙曲線的右支(y≠0)且a＝，c＝2， ∴軌跡方程為－＝1(x>)． 11．設F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的左、右焦點，A為橢圓上任

8、意一點，過焦點F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是________． 答案：x2＋y2＝4　 解析：由題意，延長F1D，F(xiàn)2A并交于點B， 易證Rt△ABD≌Rt△AF1D， ∴|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|， 又O為F1F2的中點，連接OD， ∴OD∥F2B， 從而可知|DO|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2， 設點D的坐標為(x，y)，則x2＋y2＝4. 12．設過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且AB的中點為M，則點M的軌跡方程是________． 答案：y2＝2(x－1)　 解析：由題意知

9、，F(xiàn)(1,0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)， 則x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，y＝4x1，y＝4x2， 后兩式相減并將前兩式代入，得 (y1－y2)y＝2(x1－x2)． 當x1≠x2時，y＝2， 又A，B，M，F(xiàn)四點共線， 所以＝， 代入上式，得y2＝2(x－1)； 當x1＝x2時，M(1,0)也滿足這個方程，即y2＝2(x－1)是所求的軌跡方程． [沖刺名校能力提升練] 1．[2017·遼寧葫蘆島調研]在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2,0)，G，M為平面上的兩點且滿足＋＋＝0，||＝||＝||，∥，則頂點C的軌跡為(　　) A．焦

10、點在x軸上的橢圓(長軸端點除外) B．焦點在y軸上的橢圓(短軸端點除外) C．焦點在x軸上的雙曲線(實軸端點除外) D．焦點在x軸上的拋物線(頂點除外) 答案：B　 解析：設C(x，y)(y≠0)，則由＋＋＝0， 即G為△ABC的重心，得G. 又||＝||＝||， 即M為△ABC的外心， 所以點M在y軸上， 又∥，則有M. 所以x2＋2＝4＋， 化簡得＋＝1，y≠0. 所以頂點C的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(除去短軸端點)． 2．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f將xOy平面上的點P(x，y)對應到另一個平面直角坐標系

11、uO′v上的點P′(2xy，x2－y2)，則當點P沿著折線A－B－C運動時，在映射f的作用下，動點P′的軌跡是(　　) 　 A　　　 　　B 　　　 C　　　 　　D 答案：D　 解析：當P沿AB運動時，x＝1， 設P′(x′，y′)，則(0≤y≤1)， ∴y′＝1－(0≤x′≤2,0≤y′≤1)． 當P沿BC運動時，y＝1，則(0≤x≤1)， ∴y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)， 由此可知P′的軌跡如D所示，故選D. 3．[2017·浙江杭州模擬]坐標平面上有兩個定點A，B和動點P，如果直線PA，PB的斜率之積為定值m，則點P的軌跡可能是：①橢圓

12、；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線．試將正確的序號填在橫線上：________. 答案：①②④⑤　 解析：設A(a,0)，B(－a,0)，P(x，y)， 則·＝m，即y2＝m(x2－a2)． ①當m＝－1時，點P的軌跡為圓； ②當m＞0時，點P的軌跡為雙曲線； ③當m＜0且m≠－1時，點P的軌跡為橢圓； ④當m＝0時，點P的軌跡為直線． 故選①②④⑤. 4.△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________． 答案：－＝1(x＞3)　 解析：如圖， |AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|C

13、D|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支， 故軌跡方程為－＝1(x＞3)． 5．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個焦點(，0)，離心率為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)若動點P(x0，y0)為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程． 解：(1)依題意，得c＝，e＝＝， 因此a＝3，b2＝a2－c2＝4， 故橢圓C的標準方程是＋＝1. (2)若兩切線的斜率均存在， 設過點P(x0，y0)的切線方程是y＝k(x－x0)＋y0， 則由得 ＋＝1， 即(9k

14、2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0， Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0， 整理得(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0. 又所引的兩條切線相互垂直， 設兩切線的斜率分別為k1，k2， 于是有k1k2＝－1，即＝－1， 即x＋y＝13(x0≠±3)． 若兩切線中有一條斜率不存在， 則易得或或或 經檢驗知均滿足x＋y＝13. 因此，動點P(x0，y0)的軌跡方程是x2＋y2＝13. 6．在平面直角坐標系xOy中，動點P(x，y)到F(0,1)的距離比到直線y＝－2的距離小1. (1)求

15、動點P的軌跡W的方程； (2)過點E(0，－4)的直線與軌跡W交于兩點A，B，點D是點E關于x軸的對稱點，點A關于y軸的對稱點為A1，證明：A1，D，B三點共線． (1)解：由題意可得，動點P(x，y)到定點F(0,1)的距離和到定直線y＝－1的距離相等， 所以動點P的軌跡是以F(0,1)為焦點，以y＝－1為準線的拋物線． 所以動點P的軌跡W的方程為x2＝4y. (2)證明：設直線l的方程為y＝kx－4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A1(－x1，y1)． 由消去y， 整理得x2－4kx＋16＝0. 則Δ＝16k2－64＞0，即|k|＞2. x1＋x2＝4k，x1x2＝16. 直線A1B：y－y2＝(x－x2)， 所以y＝(x－x2)＋y2， 即y＝(x－x2)＋x， 整理得y＝x－＋x， 即y＝x＋. 直線A1B的方程為y＝x＋4， 顯然直線A1B過點D(0,4)． 所以A1，D，B三點共線．