2019-2020年高中物理競賽 第6部分《熱學(xué)》教案 新人教版.doc

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2019-2020年高中物理競賽 第6部分《熱學(xué)》教案 新人教版 熱學(xué)知識(shí)在奧賽中的要求不以深度見長，但知識(shí)點(diǎn)卻非常地多（考綱中羅列的知識(shí)點(diǎn)幾乎和整個(gè)力學(xué)——前五部分——的知識(shí)點(diǎn)數(shù)目相等）。而且，由于高考要求對(duì)熱學(xué)的要求逐年降低（本屆尤其低得“離譜”，連理想氣體狀態(tài)方程都沒有了），這就客觀上給奧賽培訓(xùn)增加了負(fù)擔(dān)。因此，本部分只能采新授課的培訓(xùn)模式，將知識(shí)點(diǎn)和例題講解及時(shí)地結(jié)合，爭取讓學(xué)員學(xué)一點(diǎn)，就領(lǐng)會(huì)一點(diǎn)、鞏固一點(diǎn)，然后再層疊式地往前推進(jìn)。 一、分子動(dòng)理論 1、物質(zhì)是由大量分子組成的（注意分子體積和分子所占據(jù)空間的區(qū)別） 對(duì)于分子（單原子分子）間距的計(jì)算，氣體和液體可直接用，對(duì)固體，則與分子的空間排列（晶體的點(diǎn)陣）有關(guān)。 【例題1】如圖6-1所示，食鹽（NaCl）的晶體是由鈉離子（圖中的白色圓點(diǎn)表示）和氯離子（圖中的黑色圓點(diǎn)表示）組成的，離子鍵兩兩垂直且鍵長相等。已知食鹽的摩爾質(zhì)量為58.510－3kg/mol，密度為2.2103kg/m3，阿伏加德羅常數(shù)為6.01023mol－1，求食鹽晶體中兩個(gè)距離最近的鈉離子中心之間的距離。 【解說】題意所求即圖中任意一個(gè)小立方塊的變長（設(shè)為a）的倍，所以求a成為本題的焦點(diǎn)。 由于一摩爾的氯化鈉含有NA個(gè)氯化鈉分子，事實(shí)上也含有2NA個(gè)鈉離子（或氯離子），所以每個(gè)鈉離子占據(jù)空間為 v = 而由圖不難看出，一個(gè)離子占據(jù)的空間就是小立方體的體積a3 ， 即 a3 = = ，最后，鄰近鈉離子之間的距離l = a 【答案】3.9710－10m 。 〖思考〗本題還有沒有其它思路？ 〖答案〗每個(gè)離子都被八個(gè)小立方體均分，故一個(gè)小立方體含有8個(gè)離子 = 分子，所以…（此法普遍適用于空間點(diǎn)陣比較復(fù)雜的晶體結(jié)構(gòu)。） 2、物質(zhì)內(nèi)的分子永不停息地作無規(guī)則運(yùn)動(dòng) 固體分子在平衡位置附近做微小振動(dòng)（振幅數(shù)量級(jí)為0.1），少數(shù)可以脫離平衡位置運(yùn)動(dòng)。液體分子的運(yùn)動(dòng)則可以用“長時(shí)間的定居（振動(dòng)）和短時(shí)間的遷移”來概括，這是由于液體分子間距較固體大的結(jié)果。氣體分子基本“居無定所”，不停地遷移（常溫下，速率數(shù)量級(jí)為102m/s）。 無論是振動(dòng)還是遷移，都具備兩個(gè)特點(diǎn)：a、偶然無序（雜亂無章）和統(tǒng)計(jì)有序（分子數(shù)比率和速率對(duì)應(yīng)一定的規(guī)律——如麥克斯韋速率分布函數(shù)，如圖6-2所示）；b、劇烈程度和溫度相關(guān)。 氣體分子的三種速率。最可幾速率vP ：f(v) = （其中ΔN表示v到v +Δv內(nèi)分子數(shù)，N表示分子總數(shù)）極大時(shí)的速率，vP == ；平均速率：所有分子速率的算術(shù)平均值， ==；方均根速率：與分子平均動(dòng)能密切相關(guān)的一個(gè)速率，==〔其中R為普適氣體恒量，R = 8.31J/(mol.K)。k為玻耳茲曼常量，k = = 1.3810－23J/K 〕 【例題2】證明理想氣體的壓強(qiáng)P = n，其中n為分子數(shù)密度，為氣體分子平均動(dòng)能。 【證明】氣體的壓強(qiáng)即單位面積容器壁所承受的分子的撞擊力，這里可以設(shè)理想氣體被封閉在一個(gè)邊長為a的立方體容器中，如圖6-3所示。 考查yoz平面的一個(gè)容器壁，P = ① 設(shè)想在Δt時(shí)間內(nèi)，有Nx個(gè)分子（設(shè)質(zhì)量為m）沿x方向以恒定的速率vx碰撞該容器壁，且碰后原速率彈回，則根據(jù)動(dòng)量定理，容器壁承受的壓力 F == ② 在氣體的實(shí)際狀況中，如何尋求Nx和vx呢？ 考查某一個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)，設(shè)它的速度為v ，它沿x、y、z三個(gè)方向分解后，滿足 v2 = + + 分子運(yùn)動(dòng)雖然是雜亂無章的，但仍具有“偶然無序和統(tǒng)計(jì)有序”的規(guī)律，即 = + + = 3 ③ 這就解決了vx的問題。另外，從速度的分解不難理解，每一個(gè)分子都有機(jī)會(huì)均等的碰撞3個(gè)容器壁的可能。設(shè)Δt = ，則 Nx = 3N總 = na3 ④ 注意，這里的是指有6個(gè)容器壁需要碰撞，而它們被碰的幾率是均等的。 結(jié)合①②③④式不難證明題設(shè)結(jié)論。 〖思考〗此題有沒有更簡便的處理方法？ 〖答案〗有?！懊睢彼蟹肿右韵嗤乃俾蕍沿+x、?x、+y、?y、+z、?z這6個(gè)方向運(yùn)動(dòng)（這樣造成的宏觀效果和“雜亂無章”地運(yùn)動(dòng)時(shí)是一樣的），則 Nx =N總 = na3 ；而且vx = v 所以，P = = ==nm = n 3、分子間存在相互作用力（注意分子斥力和氣體分子碰撞作用力的區(qū)別），而且引力和斥力同時(shí)存在，宏觀上感受到的是其合效果。 分子力是保守力，分子間距改變時(shí)，分子力做的功可以用分子勢能的變化表示，分子勢能EP隨分子間距的變化關(guān)系如圖6-4所示。 分子勢能和動(dòng)能的總和稱為物體的內(nèi)能。 二、熱現(xiàn)象和基本熱力學(xué)定律 1、平衡態(tài)、狀態(tài)參量 a、凡是與溫度有關(guān)的現(xiàn)象均稱為熱現(xiàn)象，熱學(xué)是研究熱現(xiàn)象的科學(xué)。熱學(xué)研究的對(duì)象都是有大量分子組成的宏觀物體，通稱為熱力學(xué)系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）。當(dāng)系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不再隨時(shí)間變化時(shí)，這樣的狀態(tài)稱為平衡態(tài)。 b、系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，所有宏觀量都具有確定的值，這些確定的值稱為狀態(tài)參量（描述氣體的狀態(tài)參量就是P、V和T）。 c、熱力學(xué)第零定律（溫度存在定律）：若兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)中的任何一個(gè)系統(tǒng)都和第三個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，那么，這兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)也必定處于熱平衡。這個(gè)定律反映出：處在同一熱平衡狀態(tài)的所有的熱力學(xué)系統(tǒng)都具有一個(gè)共同的宏觀特征，這一特征是由這些互為熱平衡系統(tǒng)的狀態(tài)所決定的一個(gè)數(shù)值相等的狀態(tài)函數(shù)，這個(gè)狀態(tài)函數(shù)被定義為溫度。 2、溫度 a、溫度即物體的冷熱程度，溫度的數(shù)值表示法稱為溫標(biāo)。典型的溫標(biāo)有攝氏溫標(biāo)t、華氏溫標(biāo)F（F = t + 32）和熱力學(xué)溫標(biāo)T（T = t + 273.15）。 b、（理想）氣體溫度的微觀解釋： = kT （i為分子的自由度 = 平動(dòng)自由度t + 轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r + 振動(dòng)自由度s 。對(duì)單原子分子i = 3 ，“剛性”〈忽略振動(dòng)，s = 0，但r = 2〉雙原子分子i = 5 。對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上的多原子分子，i = 6 。能量按自由度是均分的），所以說溫度是物質(zhì)分子平均動(dòng)能的標(biāo)志。 c、熱力學(xué)第三定律：熱力學(xué)零度不可能達(dá)到。（結(jié)合分子動(dòng)理論的觀點(diǎn)2和溫度的微觀解釋很好理解。） 3、熱力學(xué)過程 a、熱傳遞。熱傳遞有三種方式：傳導(dǎo)（對(duì)長L、橫截面積S的柱體，Q = KSΔt）、對(duì)流和輻射（黑體表面輻射功率J = αT4）b、熱膨脹。線膨脹Δl = αl0Δt 【例題3】如圖6-5所示，溫度為0℃時(shí)，兩根長度均為L的、均勻的不同金屬棒，密度分別為ρ1和ρ2 ，現(xiàn)膨脹系數(shù)分別為α1和α2 ，它們的一端粘合在一起并從A點(diǎn)懸掛在天花板上，恰好能水平靜止。若溫度升高到t℃，仍需它們水平靜止平衡，則懸點(diǎn)應(yīng)該如何調(diào)整？ 【解說】設(shè)A點(diǎn)距離粘合端x ，則 ρ1（ ? x）=ρ2（ + x） ，得：x = 設(shè)膨脹后的長度分別為L1和L2 ，而且密度近似處理為不變，則同理有 ρ1（ ? x′）=ρ2（ + x′） ，得：x′= 另有線膨脹公式，有 L1 = L（1 + α1t），L2 = L（1 + α2t） 最后，設(shè)調(diào)整后的懸點(diǎn)為B ，則 = x′? x 【答案】新懸點(diǎn)和原來的懸點(diǎn)之間相距Lt 。 〖說明〗如果考慮到密度變化的實(shí)際情況ρ1′= ρ1 、ρ2′= ρ2 ，此題仍然是可解的，但最后的結(jié)果卻復(fù)雜得多… c、系統(tǒng)由一個(gè)平衡態(tài)變化到另一個(gè)平衡態(tài)，即構(gòu)成一個(gè)熱力學(xué)過程。特殊的熱力學(xué)過程有等壓過程、等溫過程、等容過程、絕熱過程和自由膨脹等。 準(zhǔn)靜態(tài)過程：如果變化過程相對(duì)緩慢，則過程的每一個(gè)狀態(tài)可視為平衡態(tài)，這樣的過程也稱為準(zhǔn)靜態(tài)過程。 循環(huán)：如果系統(tǒng)經(jīng)過一系列的變化后，又回到原來的平衡態(tài)，我們成這個(gè)過程為循環(huán)。 d、熱力學(xué)第一定律：外界對(duì)系統(tǒng)所做的功W和系統(tǒng)從外界吸收熱量Q之和，等于系統(tǒng)內(nèi)能的增量ΔE ，即 ΔE = Q + W 。熱力學(xué)第一定律是能量守恒定律在熱力學(xué)過程中的具體體現(xiàn)。 e、熱力學(xué)第二定律：克勞修斯表述（克勞修斯在1850年提出）：熱量總是自動(dòng)的從高溫物體傳到低溫物體，不可能自動(dòng)地由低溫物體向高溫物體傳遞。開爾文表述（開爾文在1851年提出）：不存在這樣一種循環(huán)過程，系統(tǒng)從單一熱源吸取熱量，使之完全變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生其他影響。 違背熱力學(xué)第二定律并不違背能量守恒，它所展示的是熱力學(xué)過程的不可逆性——即自發(fā)的熱力學(xué)過程只會(huì)朝著混亂程度（熵）增大的方向發(fā)展。 三、理想氣體 1、氣體實(shí)驗(yàn)三定律 在壓強(qiáng)不太大，溫度不太低的條件下，氣體的狀態(tài)變化遵從以下三個(gè)實(shí)驗(yàn)定律 a、玻意耳-馬略特定律：一定質(zhì)量氣體溫度不變時(shí)，P1V1 = P2V2或PV = 恒量 b、查理定律：一定質(zhì)量氣體體積不變時(shí)， = 或 = 恒量 c、蓋呂薩克定律：一定質(zhì)量氣體壓強(qiáng)不變時(shí)， = 或 = 恒量 【例題4】如圖6-6所示，一端封閉、內(nèi)徑均勻的玻璃管長L = 100cm ，其中有一段長L′= 15cm的水銀柱把一部分空氣封閉在管中。當(dāng)管水平放置時(shí)，封閉氣柱A長LA = 40cm?，F(xiàn)把管緩慢旋轉(zhuǎn)至豎直后，在把開口端向下插入水銀槽中，直至A端氣柱長 = 37.5cm為止，這時(shí)系統(tǒng)處于靜止平衡。已知大氣壓強(qiáng)P0 = 75cmHg，過程溫度不變，試求槽內(nèi)水銀進(jìn)入管內(nèi)的水銀柱的長度h 。 【解說】在全過程中，只有A部分的氣體質(zhì)量是不變的，B部分氣體則只在管子豎直后質(zhì)量才不變。所以有必要分過程解本題。 過程一：玻管旋轉(zhuǎn)至豎直 A部分氣體，LA′= LA = 40 = 50cm 此時(shí)B端氣柱長LB′= L ? LA′? L′= 100 ? 50 ? 15 = 35cm 過程二：玻管出入水銀槽 A部分氣體（可針對(duì)全程，也可針對(duì)過程二），= = 60 = 80cmHg B部分氣體，= = = 35 ≈ 27.6cm 最后，h = L - ? L′? 【答案】19.9cm 。 2、理想氣體 宏觀定義：嚴(yán)格遵守氣體實(shí)驗(yàn)定律的氣體。 微觀特征：a、分子本身的大小比起它們的間距可以忽略，分子不計(jì)重力勢能；b、除了短暫的碰撞過程外，分子間的相互作用可以忽略——意味著不計(jì)分子勢能；c、分子間的碰撞完全是彈性的。 *理想氣體是一種理想模型，是實(shí)際氣體在某些條件約束下的近似，如果這些條件不滿足，我們稱之為實(shí)際氣體，如果條件滿足不是很好，我們還可以用其它的模型去歸納，如范德瓦爾斯氣體、昂尼斯氣體等。 理想氣體壓強(qiáng)的微觀解釋：P = n，其中n為分子數(shù)密度（n = ）。 3、理想氣體狀態(tài)方程：一定質(zhì)量的理想氣體， = 或 = 恒量 理想氣體狀態(tài)方程可以由三個(gè)試驗(yàn)定律推出，也可以由理想氣體的壓強(qiáng)微觀解釋和溫度微觀解釋推導(dǎo)得出。 【例題5】如圖6-7所示，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，一端封閉的玻璃管長96cm ，內(nèi)有一段長20cm的水銀柱，當(dāng)溫度為27℃且管口向上豎直放置時(shí)，被封閉的氣柱長為60cm。試問：當(dāng)溫度至少升高到多少度，水銀柱才會(huì)從玻璃管中全部溢出？ 【解說】首先應(yīng)該明確的是，這是一個(gè)只有唯一解的問題還是一個(gè)存在范圍討論的問題。 如果是前一種可能，似乎應(yīng)該這樣解： = ，即 = ，得：T2 = 380K 但是，仔細(xì)研究一下升溫氣體膨脹的全過程，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在某些區(qū)域，準(zhǔn)靜態(tài)過程是不可能達(dá)成的，因此狀態(tài)方程的應(yīng)用失去意義。 為了研究準(zhǔn)靜態(tài)過程是否可能達(dá)成，我們可以假定水銀柱是受到某種制約而準(zhǔn)靜態(tài)膨脹的，這樣，氣柱的壓強(qiáng)只受玻馬定律制約（而與外界大氣壓、水銀柱長沒有關(guān)系），設(shè)為P 。而對(duì)于一般的末狀態(tài)，水銀柱在管中剩下的長度設(shè)為x 。從初態(tài)到這個(gè)一般的末態(tài) = ，即 = ，得 P = 隔離水銀柱下面的液面分析，可知 P ≤ 76 + x時(shí)準(zhǔn)靜態(tài)過程能夠達(dá)成（P可以隨升溫而增大，直至不等式取等號(hào)），而P ＞ 76 + x時(shí)準(zhǔn)靜態(tài)過程無法達(dá)成（T升高時(shí)，P增大而x減?。y自動(dòng)溢出。 所以，自動(dòng)溢出的條件是：T ＞ （－x2 + 20x + 7296） 考查函數(shù) y = （－x2 + 20x + 7296）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x = 10cm時(shí)，ymax = 385.2K 而前面求出的x = 0時(shí)，T只有380K，說明后階段無須升溫，即是自動(dòng)溢出過程（參照?qǐng)D6-8理解）。而T ＞ ymax即是題意所求。 【答案】385.2K 。 a、推論1： = ，此結(jié)論成功地突破了“質(zhì)量一定”的條件約束，對(duì)解某些特殊問題非常有效。 b、克拉珀龍方程：原方程中，將“恒量”定量表達(dá)出來就成為PV = RT ，其中為氣體的摩爾數(shù)，這個(gè)結(jié)論被成為克拉珀龍方程。它的優(yōu)點(diǎn)是能使本來針對(duì)過程適用的方程可以應(yīng)用到某個(gè)單一的狀態(tài)。 c、推論2：氣體混合（或分開）時(shí)， + + … + ，這個(gè)推論很容易由克拉珀龍方程導(dǎo)出。 【例題6】圖6-9是一種測量低溫用的氣體溫度計(jì)，它的下端是測溫泡A ，上端是壓力計(jì)B ，兩者通過絕熱毛細(xì)管相連，毛細(xì)管容積不計(jì)。操作時(shí)先把測溫計(jì)在室溫T0下充氣至大氣壓P0 ，然后加以密封，再將A浸入待測液體中，當(dāng)A和待測液體達(dá)到熱平衡后，B的讀數(shù)為P ，已知A和B的容積分別為VA和VB ，試求待測液體的溫度。 【解說】本題是“推論2”的直接應(yīng)用 = + 【答案】TA = 【例題7】圖6-10所示是一定質(zhì)量理想氣體狀態(tài)變化所經(jīng)歷的P-T圖線，該圖線是以C點(diǎn)為圓心的圓。P軸則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)PC為單位（T軸以TC為單位）。若已知在此過程中氣體所經(jīng)歷的最低溫度為T0 ，則在此過程中，氣體密度的最大值ρ1和最小值ρ2之比ρ1/ρ2應(yīng)等于多少？ 【解說】本題物理知識(shí)甚簡，應(yīng)用“推論1”即可。 = = = 此式表明，越大時(shí)，ρ就越大。故本題歸結(jié)為求的極大值和極小值。 方法一：P與T的關(guān)系服從圓的方程（參數(shù)方程為佳） T = Tc + rcosθ P = PC + rsinθ 引入 y = = ，然后求這個(gè)函數(shù)的極值… 方法二：見圖6-11，從的幾何意義可知，等于狀態(tài)點(diǎn)到原點(diǎn)的連線與T軸夾角的正切值，求的極大和極小歸結(jié)為求這個(gè)正切值的極大和極小——很顯然，當(dāng)直線與圓周的兩處相切時(shí)，出現(xiàn)了這樣的極大和極小值。 θmax = α + β ，θmin =α ? β 而 tgα= sinβ= tgβ= （注意：依題意，r = TC ? T0 ） 所以 tgθmax = = tgθmin = = 【答案】〔〕/〔〕。 d、道爾頓分壓定律：當(dāng)有n種混合氣體混合在一個(gè)容器中時(shí)，它們產(chǎn)生的壓強(qiáng)等于每一種氣體單獨(dú)充在這個(gè)容器中時(shí)所產(chǎn)生的壓強(qiáng)之和。即 P = P1 + P2 + P3 + … + Pn 4、理想氣體的內(nèi)能、做功與吸放熱計(jì)算 a、理想氣體的內(nèi)能計(jì)算 由于不計(jì)分子勢能，故 E = N = NkT = NT = RT ，其中N為分子總數(shù)，為氣體的摩爾數(shù)。由于（對(duì)一定量的氣體）內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，故內(nèi)能的變化與過程完全沒有關(guān)系。 b、理想氣體的做功計(jì)算 氣體在狀態(tài)變化時(shí)，其壓強(qiáng)完全可以是變化的，所以氣體壓力的功從定義角度尋求比較困難。但我們可以從等壓過程的功外推到變壓過程的功（☆無限分割→代數(shù)累計(jì)…），并最終得出這樣一個(gè)非常實(shí)用的結(jié)論：準(zhǔn)靜態(tài)過程理想氣體的功W總是對(duì)應(yīng)P-V圖象中的“面積”。這個(gè)面積的理解分三層意思—— ①如果體積是縮小的，外界對(duì)氣體做功，面積計(jì)為正；②如果體積是增大的，氣體對(duì)外界做功，面積計(jì)為負(fù)；③如果體積參量變化不是單調(diào)的（例如循環(huán)過程），則面積應(yīng)計(jì)相應(yīng)的差值。如圖6-3所示。 （☆學(xué)員思考：氣體膨脹是不是一定對(duì)外做功？…） c、吸放熱的計(jì)算 初中所學(xué)的通式Q = cmΔT仍適用，但值得注意的是，對(duì)固體和液體而言，比熱容c基本恒定（和材料相關(guān)），但對(duì)氣體而言，c會(huì)隨著過程的不同而不同。 對(duì)理想氣體，我們一般引進(jìn)“摩爾熱容”C（從克拉珀龍方程知，我們關(guān)心氣體的摩爾數(shù)更甚于關(guān)心氣體的質(zhì)量），物理意義：1摩爾物質(zhì)溫度每升高1K所吸收的熱量。摩爾熱容和比熱容的關(guān)系C = 。 ①等容過程的摩爾熱容稱為“定容摩爾熱容”，用CV表示，所以 Q = CVΔT ②等壓過程的摩爾熱容稱為“定壓摩爾熱容”，用CP表示，所以 Q = CPΔT 對(duì)于其它的復(fù)雜過程而言，摩爾熱容的表達(dá)比較困難，因此，用直接的途徑求熱量不可取，這時(shí)，我們改用間接途徑：即求得ΔE和W后，再用熱力學(xué)第一定律求Q 。（☆從這個(gè)途徑不難推導(dǎo)出：① CV = R ，CP = R + R ，即CP = CV + R … ；② E = CVT ） 【例題8】0.1mol的單原子分子理想氣體，經(jīng)歷如圖6-13所示的A→B→C→A循環(huán)，已知的狀態(tài)途中已經(jīng)標(biāo)示。試問： （1）此循環(huán)過程中，氣體所能達(dá)到的最高溫度狀態(tài)在何處，最高溫度是多少？ （2）C→A過程中，氣體的內(nèi)能增量、做功情況、吸放熱情況怎樣？ 【解說】（1）介紹玻馬定律的P-V圖象，定性預(yù)計(jì)Tmax的大概位置（直線BC上的某一點(diǎn)）。定量計(jì)算PV的極大值步驟如下—— BC的直線方程為 P = －V + 2 y = PV = －V2 + 2V 顯然，當(dāng)V = 2時(shí)，y極大，此時(shí)，P = 1 代入克拉珀龍方程：1105210－3 = 0.18.31Tmax ，解得 Tmax = 240.7K （2）由克拉珀龍方程可以求得 TC = 180.5K = TB ，TA = 60.2K ΔE = RΔT = 0.18.31(60.2－180.5) = －150.0J 根據(jù)“面積”定式，W = 0.5105210-3 = 100J 計(jì)算Q有兩種選擇：a、Q = CPΔT = 0.18.31（60.2－180.5) = －250.0J b、Q = ΔE － W = －250.0J 【答案】（1）V = 210－3時(shí)，Tmax為240.7K；（2）內(nèi)能減少150.0J，外界對(duì)氣體做功100J，氣體向外界放熱250J 。 〖思考一〗B→C過程氣體吸放熱的情況又怎樣？ 〖解〗由于B→C過程一直是氣體對(duì)外界做功，但內(nèi)能卻是先增后減，所以過程的吸放熱情況會(huì)復(fù)雜一些。 由ΔE = Q + W不難看出，TB到Tmax階段肯定是吸熱，但在Tmax到TC階段則無法定性判斷。所以這里啟用定量方法—— 在Tmax到TC階段取一個(gè)極短過程V →（V +ΔV），在此過程中 ΔE = RΔT = Δ（PV）≈ （PΔV + VΔP） 由于 P = －V + 2 ，有ΔP = －ΔV 故ΔE = （2－V）ΔV 又 W = －ΔV（P +〈P－ΔP〉）= －PΔV +ΔPΔV ≈ －PΔV =（V－2）ΔV （“過程極短”的緣故…） 所以 Q = ΔE－W =（5－2V）ΔV Q ＜ 0時(shí)，氣體開始放熱，即 V ＞ 2.5時(shí)開始吸熱（轉(zhuǎn)變體積V′= 2.510-3m3 ，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)變壓強(qiáng)P′= 0.75105Pa ，轉(zhuǎn)變溫度T′= 225.6K）。 a、吸熱階段：ΔE = 0.18.31（225.6－180.5）= 56.2J W = －（1.5 + 0.75）105（2.5－1）10-3 = －168.8J Q = ΔE－W = 225.0J b、放熱階段：ΔE = 0.18.31（180.5－225.6）= －56.2J W = －（0.5 + 0.75）105（3－2.5）10-3 = －31.3J Q = ΔE－W = －24.9J （說明：如果針對(duì)B→C全程計(jì)算，不難得出Q = 200.0J 。那么，分出吸熱、放熱的細(xì)節(jié)是不是沒有必要呢？不能這樣認(rèn)為。因?yàn)闊醾鬟f的過程具有不可逆性，所以這里的熱量“總帳”對(duì)氣體可能是與“細(xì)帳”沒有區(qū)別，但對(duì)外界而言，吸熱必然是來自高溫?zé)嵩?，而放熱卻是針對(duì)低溫?zé)嵩矗鼈兙拖笸粋€(gè)公司的兩個(gè)不同貿(mào)易伙伴，算清具體往來顯然是必要的。） 〖答〗從高溫?zé)嵩次?25.0J的熱量，向低溫?zé)嵩捶懦?4.9J的熱量。 〖思考二〗B→C過程吸熱過程和放熱過程的摩爾熱容分別是多少？ 〖解答〗解略。吸熱過程C1 = 49.9J/(molK)，放熱過程C2 = 5.54 J/(molK)。 〖思考三〗整個(gè)循環(huán)的效率是多少？ 〖解答〗A→B過程吸熱 Q = CVΔT = 0.18.31(180.5－60.2)= 150.0J ，B→C過程吸熱225J ，C→A過程只放熱，所以全過程（從高溫?zé)嵩矗┑奈鼰峥偭繛?75J。 整個(gè)循環(huán)對(duì)外做的功就是△ABC的面積，絕對(duì)值為1.0105210?3 = 100J 所以，效率η = = = 26.7% 。（從這個(gè)計(jì)算我們可以進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)區(qū)分吸熱和放熱的重要性。） 【例題9】如圖6-14所示，A和B是兩個(gè)圓筒形絕熱容器，中間用細(xì)而短的管子連接，管中有導(dǎo)熱性能良好的閥門K ，而管子和閥門對(duì)外界卻是絕熱的。F是帶柄的絕熱活塞，與容器A的內(nèi)表面緊密接觸，不漏氣，且不計(jì)摩擦。 開始時(shí)，K關(guān)閉，F(xiàn)處于A的左端。A中有摩爾、溫度為T0的理想氣體，B中則為真空。現(xiàn)向右推動(dòng)F ，直到A中氣體的體積與B的容積相等。在這個(gè)過程中，已知F對(duì)氣體做功為W ，氣體溫度升為T1 ，然后將K稍稍打開一點(diǎn)，使A中的氣體緩慢向B擴(kuò)散，同時(shí)讓活塞F緩慢前進(jìn)，并保持A中活塞F附近氣體的壓強(qiáng)近似不變。不計(jì)活塞、閥門、容器的熱容量，試問：在此過程中，氣體最后的溫度T2是多少？ 【解說】為求溫度，可以依據(jù)能量關(guān)系或狀態(tài)方程。但事實(shí)證明，僅用狀態(tài)方程還不夠，而要用能量關(guān)系，摩爾熱容、做功的尋求是必不可少的。過程一：K打開前，過程絕熱，據(jù)熱力學(xué)第一定律，ΔE = W 又由 E = CVT 知ΔE = CV（T1 ? T0） 因此，CV = ① 而且在末態(tài)，P1 = ② 過程二：K打開后，過程仍然絕熱，而且等壓。所以， W′= P1（V1 ? V1′） ，其中V1′為A容器最終的穩(wěn)定容積。 〖學(xué)員思考〗此處求功時(shí)ΔV只取A容器中氣體體積改變而不取整個(gè)氣體的體積改變，為什么？——因?yàn)锽容器中氣體為自由膨脹的緣故… 為求V1′，引進(jìn)蓋呂薩克定律 = 從這兩式可得 W′= P1V1 ③ 而此過程的ΔE′= CVΔT = CV（T2 ? T1） ④（注意：這里是尋求內(nèi)能增量而非熱量，所以，雖然是等壓過程，卻仍然用CV而非CP） 最后，結(jié)合①②③④式對(duì)后過程用熱力學(xué)第一定律即可。 【答案】T2 = T1 。 四、相變 相：熱學(xué)系統(tǒng)中物理性質(zhì)均勻的部分。系統(tǒng)按化學(xué)成分的多少和相的種類多少可以成為一元二相系（如冰水混合物）和二元單相系（如水和酒精的混合液體）。相變分氣液相變、固液相變和固氣相變?nèi)箢?，每一類中又有一些具體的分支。相變的共同熱學(xué)特征是：相變伴隨相變潛熱。 1、氣液相變，分氣化和液化。氣化又有兩種方式：蒸發(fā)和沸騰，涉及的知識(shí)點(diǎn)有飽和氣壓、沸點(diǎn)、汽化熱、臨界溫度等。 a、蒸發(fā)。蒸發(fā)是液體表面進(jìn)行的緩慢平和的氣化現(xiàn)象（任何溫度下都能進(jìn)行）。影響蒸發(fā)的因素主要有①液體的表面積、②液體的溫度、③通風(fēng)條件。從分子動(dòng)理論的角度不難理解，蒸發(fā)和液化必然總是同時(shí)進(jìn)行著，當(dāng)兩者形成動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，液體上方的氣體稱為—— 飽和氣，飽和氣的壓強(qiáng)稱為飽和氣壓PW 。①同一溫度下，不同液體的PW不同（揮發(fā)性大的液體PW大），但同種液體的PW有唯一值（與氣、液的體積比無關(guān)，與液體上方是否存在其它氣體無關(guān)）；②同一種液體，在不同的溫度下PW不同（溫度升高，PW增大，函數(shù)PW = P0 ，式中L為汽化熱，P0為常量）。 汽化熱L ：單位質(zhì)量的液體變?yōu)橥瑴囟鹊娘柡蜌鈺r(shí)所吸收的熱量，它是相變潛熱的一種。汽化熱與內(nèi)能改變的關(guān)系L = ΔE + PW（V氣 ? V液）≈ ΔE + PWV氣 b、沸騰。一種劇烈的汽化，指液體溫度升高到一定程度時(shí)，液體的汽化將不僅僅出現(xiàn)在表面，它的現(xiàn)象是液體內(nèi)部或容器壁出現(xiàn)大量氣泡，這些氣泡又升到液體表面并破裂。液體沸騰時(shí)，液體種類不變和外界壓強(qiáng)不變時(shí)，溫度不再改變。 （從氣泡的動(dòng)力學(xué)分析可知）液體沸騰的條件是液體的飽和氣壓等于外界壓強(qiáng)。（如在1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃沸騰，就是因?yàn)樵?00℃時(shí)水的飽和氣壓時(shí)760cmHg。） 沸點(diǎn)，液體沸騰時(shí)的溫度。①同一外界氣壓下，不同液體的沸點(diǎn)不同；②同一種液體，在不同的外界氣壓下，沸點(diǎn)不同（壓強(qiáng)升高，沸點(diǎn)增大）。 c、液化。氣體凝結(jié)成液體的現(xiàn)象。對(duì)飽和氣，體積減小或溫度降低時(shí)可實(shí)現(xiàn)液化；對(duì)非飽和氣，則須先使它變成飽和氣，然后液化。 常用的液化方法：①保持溫度不變，通過增大壓強(qiáng)來減小氣體的體積；②保持體積不變，降低溫度。 【例題10】有一體積為22.4L的密閉容器，充有溫度T1 、壓強(qiáng)3atm的空氣和飽和水汽，并有少量的水。今保持溫度T1不變，將體積加倍、壓強(qiáng)變?yōu)?atm ，這時(shí)容器底部的水恰好消失。將空氣、飽和水汽都看成理想氣體，試問：（1）T1的值是多少？（2）若保持溫度T1不變，體積增為原來的4倍，容器內(nèi)的壓強(qiáng)又是多少？（3）容器中水和空氣的摩爾數(shù)各為多少？ 【解說】容器中的氣體分水汽和空氣兩部分。容器中壓強(qiáng)與空氣壓強(qiáng)、水汽壓強(qiáng)的關(guān)系服從道爾頓分壓定律。對(duì)水汽而言，第二過程已不再飽和。 （1）在T1 、3atm狀態(tài)，3 = P1 + PW （P1為空氣壓強(qiáng)） 在T1 、2atm狀態(tài)，2 = P2 + PW （P2為空氣壓強(qiáng)） 而對(duì)空氣，P1V = P22V 解以上三式得 P1 = 2atm ，P2 = 1atm ，PW = 1atm ，可得T1 = 100℃ = 373K （2）此過程的空氣和水汽質(zhì)量都不再改變，故可整體用玻-馬定律：22V = P′4V （這里忽略了“少量的”水所占據(jù)的體積…） （3）在一過程的末態(tài)用克拉珀龍方程即可。 【答案】（1）373K ；（2）1atm ；（3）均為1.46mol 。 【例題11】如圖6-15所示，在一個(gè)橫截面積為S的封閉容器中，有一質(zhì)量M的活塞把容器隔成Ⅰ、Ⅱ兩室，Ⅰ室中為飽和水蒸氣，Ⅱ室中有質(zhì)量為m的氮?dú)?，活塞可以在容器中無摩擦地滑動(dòng)。開始時(shí)，容器被水平地放置在地面上，活塞處于平衡，Ⅰ、Ⅱ兩室的溫度均為T0 = 373K，壓強(qiáng)為P0 ?，F(xiàn)將整個(gè)容器緩慢地轉(zhuǎn)到豎直位置，兩室的溫度仍為T0 ，但Ⅰ室中有少量水蒸氣液化成水。已知水的汽化熱為L ，水蒸氣和氮?dú)獾哪栙|(zhì)量分別為μ1和μ2 ，試求在整個(gè)過程中，Ⅰ室內(nèi)系統(tǒng)與外界交換的熱量。 【解說】容器水平放置時(shí)，設(shè)水蒸氣的體積為V1 ，氮?dú)獾捏w積為V2 ；直立時(shí)，設(shè)有體積為ΔV的水蒸氣液化成水。 直立后水的飽和氣在同溫度下壓強(qiáng)不變，故氮?dú)獾膲簭?qiáng) P = P0－ 在直立過程，對(duì)氮?dú)庥貌?馬定律 P0V2 = P（V2 + ΔV） 結(jié)合以上兩式可得ΔV = V2 為解決V2 ，對(duì)初態(tài)的氮?dú)庥每死挲埛匠?P0V2 = RT0 這樣，ΔV = 所以，水蒸汽液化的質(zhì)量（用克拉珀龍方程）為 Δm = ΔV = 這部分水蒸氣液化應(yīng)放出熱量 Q =ΔmL = 【答案】向外界放熱。 〖思考〗解本題時(shí)，為什么沒有考慮活塞對(duì)Ⅰ室做的功？ 〖答〗注意汽化熱L的物理意義——它其中已經(jīng)包含了氣體膨脹（汽化）或收縮（液化）所引起的做功因素，若再算做功，就屬于重復(fù)計(jì)量了。 〖*再思考〗Ⅱ中氮?dú)馀c“外界”交換的熱量是多少？ 〖*答〗氮?dú)鉀]有相變，就可直接用熱力學(xué)第一定律。ΔE = 0 ，W = ?RT0ln = ?RT0ln（1 +），所以 Q =ΔE – W = RT0ln（1 +），吸熱。 2、濕度與露點(diǎn) a、空氣的濕度。表示空氣干濕程度的物理量，有兩種定義方式。①絕對(duì)濕度：空氣中含有水蒸氣的壓強(qiáng)；②相對(duì)濕度B ：空氣中含有水蒸氣的壓強(qiáng)跟該溫度下水的飽和蒸氣壓的比值，即 B = 100%（相對(duì)濕度反映了空氣中水蒸氣離開飽和的程度，人體感知的正是相對(duì)濕度而非絕對(duì)濕度，以B值為60~70%比較適宜。在絕對(duì)濕度一定的情況下，氣溫升高，B值減小——因此，夏天盡管絕對(duì)濕度較大，但白天仍感到空氣比晚上干燥）。 b、露點(diǎn)：使空氣中的水蒸氣剛好達(dá)到飽和的溫度。露點(diǎn)的高低與空氣中含有水蒸氣的壓強(qiáng)（即絕對(duì)濕度）密切相關(guān)，根據(jù)克拉珀龍方程，也就是與空氣中水蒸氣的量有關(guān)：夏天，空氣中水蒸氣的量大，絕對(duì)濕度大（水蒸氣的壓強(qiáng)大），對(duì)應(yīng)露點(diǎn)高；反之，冬天的露點(diǎn)低。 3、固液相變，分熔解和凝固。 a、熔解。物質(zhì)從故態(tài)變成液態(tài)。晶體有一定的熔解溫度——熔點(diǎn)（嚴(yán)格地說，只有晶體才稱得上是固體），非晶體則沒有。大多數(shù)物質(zhì)熔解時(shí)體積會(huì)膨脹，熔點(diǎn)會(huì)隨壓強(qiáng)的增大而升高，但也有少數(shù)物質(zhì)例外（如水、灰鑄鐵、銻、鉍等，規(guī)律正好相反）。（壓強(qiáng)對(duì)熔點(diǎn)的影響比較微弱，如冰的熔點(diǎn)是每增加一個(gè)大氣壓熔點(diǎn)降低0.0075℃。） 熔解熱λ：單位質(zhì)量的晶體在溶解時(shí)所吸收的熱量。從微觀角度看，熔解熱用于破壞晶體的空間點(diǎn)陣，并最終轉(zhuǎn)化為分子勢能的增加，也就是內(nèi)能的增加，至于體積改變所引起的做功，一般可以忽略不計(jì)。 b、凝固。熔解的逆過程，熔解的規(guī)律逆過來都適用與凝固。 4、固氣相變，分升華和凝華。 a、升華。物質(zhì)從固態(tài)直接變?yōu)闅鈶B(tài)的過程。在常溫常壓下，碘化鉀、樟腦、硫磷、干冰等都有顯著的升華現(xiàn)象。 升華熱：單位質(zhì)量的物質(zhì)在升華時(shí)所吸收的熱量。（從微觀角度不難解釋）升華熱等于同種物質(zhì)的汽化熱和熔解熱之和。 b、凝華。升華的逆過程。如打霜就是地面附近的水蒸氣遇冷（0℃以下）凝華的結(jié)果。凝華熱等于升華熱。 5、三相點(diǎn)和三相圖 亦稱“三態(tài)點(diǎn)”。一般指各種穩(wěn)定的純物質(zhì)處于固態(tài)、液態(tài)、氣態(tài)三個(gè)相（態(tài)）平衡共存時(shí)的狀態(tài)，叫做該物質(zhì)的“三相點(diǎn)”。該點(diǎn)具有確定的溫度和壓強(qiáng)（清注意：兩相點(diǎn)，如冰點(diǎn)和汽點(diǎn)并不具備這樣的特征）。所以三相點(diǎn)這個(gè)固定溫度適于作為溫標(biāo)的基點(diǎn)，現(xiàn)在都以水的三相點(diǎn)的溫度作為確定溫標(biāo)的固定點(diǎn)。 附：幾種物質(zhì)的三相點(diǎn)數(shù)據(jù) 溫度（K） 壓強(qiáng)（Pa） 氫 13.84 7038.2 氘 18.63 17062.4 氖 24.57 43189.2 氮 63.18 12530.2 二氧化碳 216.55 517204 水 273.16 610.5 怎樣理解三相點(diǎn)的存在呢？將相變的氣化曲線OK（即飽和氣壓隨溫度變化的曲線——對(duì)應(yīng)函數(shù)PW = P0）、溶解曲線OL（壓強(qiáng)隨熔點(diǎn)變化的曲線）、升華曲線OS（壓強(qiáng)隨升華點(diǎn)變化的曲線）描繪在同一個(gè)P－t坐標(biāo)中，就構(gòu)成“三相圖”。三條曲線的交點(diǎn)就是三相點(diǎn)，如圖6-16所示。 在圖中，為了表示三相點(diǎn)的精確位置，坐標(biāo)的標(biāo)度并不是均勻的，所以坐標(biāo)軸用虛線表示。OK、OL和OS事實(shí)上分別是水汽兩相點(diǎn)、冰水兩相點(diǎn)和冰汽兩相點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)”的結(jié)果——也就是相應(yīng)兩相的分界線。 五、固體和液體 1、固體——晶體和非晶體 a、晶體和非晶體的根本區(qū)別是：是否具有固定的熔點(diǎn)。晶體又分為單晶體和多晶體，單晶體（如石英、云母、明礬、冰等）還具有規(guī)則的幾何形狀、物理性質(zhì)上表現(xiàn)為各向異性；多晶體（如巖石、金屬等）則和非晶體一樣，無規(guī)則幾何形狀、各向同性。 b、空間點(diǎn)陣：組成晶體的微觀粒子所形成的規(guī)則排列（非晶體沒有空間點(diǎn)陣）。晶體之所以具有固定的熔點(diǎn)，是因?yàn)榘l(fā)生相變時(shí)，吸收的熱量全部用來破壞空間點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)——分子間距的改變導(dǎo)致分子勢能增大，而分子的平均動(dòng)能則不變。 2、液體的表面張力 a、表面張力：存在于液體表面的使表面收縮的力。表面張力的微觀解釋是：蒸發(fā)使表面分子間距大于r0 ，因此分子力體現(xiàn)為引力。 表面張力系數(shù)α：設(shè)想在液面作長為L的線段，則線段兩邊表面張力必垂直于這條線段，且于液面相切，各自的大小均為 f = αL ，其中α稱表面張力系數(shù)。 b、浸潤現(xiàn)象：液體與固體接觸時(shí)，若接觸角θ（見圖6-17）為銳角，稱為浸潤現(xiàn)象；反之，接觸角為鈍角，稱為不浸潤。液體相對(duì)固體是否浸潤取決于液體和固體的組合關(guān)系，如水能浸潤玻璃卻不能浸潤石蠟，水銀能浸潤鋅版卻不能浸潤玻璃。 當(dāng)θ= 0時(shí)，稱為“完全浸潤”；當(dāng)θ=π時(shí)，稱為“完全不浸潤”。 從微觀角度看，液體能否浸潤固體取決于液體與固體接觸的“附著層”分子受液體分子力（內(nèi)聚力）更大還是受固體分子力（附著力）更大。 c、毛細(xì)現(xiàn)象：浸潤管壁的液體在毛細(xì)管中液面升高，不浸潤管壁的液體在毛細(xì)管中液面降低的現(xiàn)象。毛細(xì)現(xiàn)象的形成事實(shí)上是液體表面張力的合效果。 ☆如果毛細(xì)管的為r ，液體的表面張力系數(shù)為α，對(duì)管壁的浸潤角為θ，不難求出毛細(xì)現(xiàn)象導(dǎo)致的液面上升（或下降）量h = 。 【例題12】如圖6-18所示，在一個(gè)兩端開口的、半徑為1mm的長毛細(xì)管中裝滿水，然后把它豎直地放在空間，認(rèn)為水完全浸潤毛細(xì)管，且水的表面張力系數(shù)為7.310－2N/m ，則留在管中的水柱應(yīng)有多長？ 【解說】由于有兩個(gè)曲面，故曲面邊緣的表面張力合力為 F = 2α2πrcosθ 液柱的重力 G =ρπr2hg 解它們的平衡方程即可（θ= 0） 【答案】h = 2.9410－2m