2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.3《算法案例》教案 新人教版必修3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.3《算法案例》教案 新人教版必修3 （1）教學(xué)目標 （a）知識與技能 1.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析。 2.基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)計完整的程序框圖并寫出算法程序。 （b）過程與方法 在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過程中對比我們常見的約分求公因式的方法，比較它們在算法上的區(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)的嚴謹，領(lǐng)會數(shù)學(xué)算法計算機處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計算機語言的一般步驟。 （c）情態(tài)與價值 1.通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻。 2.在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動手實踐的能力。 （2）教學(xué)重難點 重點：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法。 難點：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言。 （3）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：在理解最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并能模仿已經(jīng)學(xué)過的程序框圖與算法語句設(shè)計出輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程序。 教學(xué)用具：電腦，計算器，圖形計算器 （4）教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1.教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過求最大公約數(shù)的知識，你能求出18與30的公約數(shù)嗎？ 2.接著教師進一步提出問題，我們都是利用找公約數(shù)的方法來求最大公約數(shù)，如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約數(shù)，我們又應(yīng)該怎樣求它們的最大公約數(shù)？比如求8251與6105的最大公約數(shù)？這就是我們這一堂課所要探討的內(nèi)容。 （二）研探新知 1.輾轉(zhuǎn)相除法 例1 求兩個正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)。 （分析：8251與6105兩數(shù)都比較大，而且沒有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點，根據(jù)已有的知識即可求出最大公約數(shù)） 解：8251＝61051＋2146 顯然8251的最大公約數(shù)也必是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也必是8251的約數(shù)，所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù)。 6105＝21462＋1813 2146＝18131＋333 1813＝3335＋148 333＝1482＋37 148＝374＋0 則37為8251與6105的最大公約數(shù)。 以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下： 第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商q0和一個余數(shù)r0； 第二步：若r0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若r0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0得到一個商q1和一個余數(shù)r1； 第三步：若r1＝0，則r1為m，n的最大公約數(shù)；若r1≠0，則用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個商q2和一個余數(shù)r2； …… 依次計算直至rn＝0，此時所得到的rn－1即為所求的最大公約數(shù)。 練習(xí)：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù)（答案：53） 2.更相減損術(shù) 我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。 更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。 翻譯出來為： 第一步：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。 第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。 例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù). 解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98與63的最大公約數(shù)是7。 練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。（答案：12） 3.比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別 （1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。 （2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到 4. 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)計算的程序框圖及程序 利用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的計算算法，我們可以設(shè)計出程序框圖以及BSAIC程序來在計算機上實現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，下面由同學(xué)們設(shè)計相應(yīng)框圖并相互之間檢查框圖與程序的正確性，并在計算機上驗證自己的結(jié)果。 （1）輾轉(zhuǎn)相除法的程序框圖及程序 程序框圖： 程序： INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 5.課堂練習(xí) 一.用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大公約數(shù)，并在自己編寫的BASIC程序中驗證。 （1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119 二.思考：用求質(zhì)因數(shù)的方法可否求上述4組數(shù)的最大公約數(shù)？可否利用求質(zhì)因數(shù)的算法設(shè)計出程序框圖及程序？若能，在電腦上測試自己的程序；若不能說明無法實現(xiàn)的理由。 三。思考：利用輾轉(zhuǎn)相除法是否可以求兩數(shù)的最大公倍數(shù)？試設(shè)計程序框圖并轉(zhuǎn)換成程序在BASIC中實現(xiàn)。 6.小結(jié)： 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的計算方法及完整算法程序的編寫。 （5）評價設(shè)計 補充：設(shè)計更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的程序框圖