高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練21 不等式選講（選修4-5） 文-人教版高三選修4-5數(shù)學試題

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1、專題能力訓練21　不等式選講(選修4—5) 一、能力突破訓練 1.(2019廣東汕頭二模,23)已知函數(shù)f(x)=|2x+2|+|x-1|. (1)畫出y=f(x)的圖象; (2)若y=f(x)的最小值為m,當正數(shù)a,b滿足2b+1a=m時,求a+2b的最小值. 2.設函數(shù)f(x)=x+1a+|x-a|(a>0). (1)證明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范圍. 3.已知關于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集為[0,4]. (1)求m的值; (2)若a,b均為正實數(shù),且滿足a+b=m,求a2+b2的最小值.

2、 4.已知函數(shù)f(x)=x-12+x+12,M為不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)證明:當a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|. 5.(2018全國Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集; (2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍. 二、思維提升訓練 6.(2019山東青島質檢,23)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|a-x|+|x+b|+c. (1)當a=b=c=2時,求不等式f(x)<8的解集; (2)若函數(shù)f(x)的

3、最小值為1,證明:a2+b2+c2≥13. 7.已知函數(shù)f(x)=|x-3|-|x-a|. (1)當a=2時,解不等式f(x)≤-12; (2)若存在實數(shù)a,使得不等式f(x)≥a成立,求實數(shù)a的取值范圍. 8.(2019全國Ⅲ,文23)設x,y,z∈R,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,證明:a≤-3 或a≥-1. 專題能力訓練21　不等式選講(選修4—5

4、) 一、能力突破訓練 1.解(1)f(x)=-3x-1,x<-1,x+3,-1≤x≤1,3x+1,x>1.畫出y=f(x)的圖象如圖所示. (2)由(1)知f(x)min=f(-1)=2,∴m=2. ∴2b+1a=2. ∴a+2b=12(a+2b)2b+1a =ab+ba+52≥2ab·ba+52=92, 當且僅當ab=ba,即a=b=32時等號成立. ∴a+2b的最小值為92. 2.(1)證明由a>0,有f(x)=x+1a+|x-a|≥x+1a-(x-a)=1a+a≥2.故f(x)≥2. (2)解f(3)=3+1a+|3-a|.當a>3時,f(3)=a+1a,由f(3

5、)<5,得3

6、數(shù)的最值) ∵a+b=3, ∴b=3-a, ∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2a-322+92≥92, ∴a2+b2的最小值為92. 4.(1)解f(x)=-2x,x≤-12,1,-12-1; 當-12

7、1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|. 5.解(1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x≤-1,2x,-11的解集為xx>12. (2)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立. 若a≤0,則當x∈(0,1)時|ax-1|≥1; 若a>0,|ax-1|<1的解集為0

8、-2,6,-20,b>0,c>0, ∴f(x)=|a-x|+|x+b|+c≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c, 當且僅當(a-x)(x+b)≥0時等號成立. ∵f(x)的最小值為1,∴a+b+c=1, ∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1. ∵2ab≤a2+b2,2bc≤b2+c2,2ac≤a2+c2,當且僅當a=b=c時等號成立, ∴1=a2+b2+c2+2a

9、b+2ac+2bc≤3(a2+b2+c2). ∴a2+b2+c2≥13. 7.解(1)∵a=2, ∴f(x)=|x-3|-|x-2|=1,x≤2,5-2x,2

10、(y+1)+(z+1)]2 =(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2], 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43, 當且僅當x=53,y=-13,z=-13時等號成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為43. (2)證明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2 =(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2], 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a)23, 當且僅當x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23時等號成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值為(2+a)23. 由題設知(2+a)23≥13,解得a≤-3或a≥-1.