高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 8.8 拋物線課件(理).ppt

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第八節(jié) 拋 物 線,【知識(shí)梳理】 1.拋物線的定義 滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線: (1)在平面內(nèi). (2)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l距離_____. (3)l不經(jīng)過點(diǎn)F.,相等,2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,O(0,0),y=0(x軸),x=0(y軸),x≥0,,y∈R,x≤0,,y∈R,y≥0,,x∈R,y≤0,,x∈R,【特別提醒】 拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論 設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p0)焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則 (1)x1x2= ,y1y2=-p2.,(2)弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p= (α為弦AB的傾斜角). (3) 為定值 . (4)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. (5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-1P67練習(xí)T3(1)改編)設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P 到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是 .,【解析】如圖所示,拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x=-2,F是 拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)P作PA⊥y軸,垂足是A,延長(zhǎng)PA交直 線l于點(diǎn)B,則|AB|=2,由于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4,則點(diǎn)P到 準(zhǔn)線l的距離|PB|=4+2=6,所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|= |PB|=6. 答案:6,2.(選修2-1P72練習(xí)T1(1)改編)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,并且經(jīng)過點(diǎn)P(-2,-4),則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .,【解析】很明顯點(diǎn)P在第三象限,所以拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸負(fù)半軸上或y軸負(fù)半軸上. 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí),設(shè)方程為y2=-2px(p0),把點(diǎn)P(-2,-4)的坐標(biāo)代入得(-4)2=-2p(-2), 解得p=4,此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-8x;,當(dāng)焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí),設(shè)方程為x2=-2py(p0),把點(diǎn) P(-2,-4)的坐標(biāo)代入得(-2)2=-2p(-4),解得p= ,此 時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-y. 綜上可知,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-8x或x2=-y. 答案:y2=-8x或x2=-y,感悟考題 試一試 3.(2016貴陽模擬)已知過拋物線y2=6x焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12,則此弦所在直線的傾斜角是 ( ),【解析】選B.由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB|= ,得 =12, 所以sinθ= ,所以θ= 或 .,4.(2014全國(guó)卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn) 線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若 則|QF|= ( ) A. B.3 C. D.2,【解析】選B.如圖所示, 因?yàn)? 所以 過點(diǎn)Q作QM⊥l,垂足為M,則MQ∥x軸, 所以 所以|MQ|=3,由拋物線定義知|QF|=|QM|=3.,5.(2015陜西高考)若拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過 雙曲線x2-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p= . 【解析】雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)為(- ,0),故拋物 線y2=2px的準(zhǔn)線為x=- ,所以 = ,所以p=2 . 答案:2,考向一 拋物線的定義及其應(yīng)用 【典例1】(1)(2014全國(guó)卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=x的 焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|= x0,則x0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8,(2)(2015浙江高考)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是 ( ),【解題導(dǎo)引】(1)由y2=x可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為x= - ,從而可得A到拋物線準(zhǔn)線的距離為x0+ ,然后利 用拋物線的定義即可求得x0的值. (2)結(jié)合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比這 一性質(zhì)以及拋物線的定義即可求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.根據(jù)拋物線的定義可知|AF|=x0+ = x0,解得x0=1. (2)選A.,【母題變式】 1.在本例(1)中,若A點(diǎn)在x軸上方,且AF的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)B,求B點(diǎn)的坐標(biāo).,【解析】由例題可知A(1,1), 所以kAF= 所以直線AF的方程為y= 即4x-3y-1=0.,由 即(4y+1)(y-1)=0, 所以y=- 或y=1. 又因?yàn)锳在x軸上方,所以B在x軸下方,即,2.在本例(1)中,若A點(diǎn)在x軸上方,且AF的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)B,求△AOB的面積.,【解析】S△AOB=S△AOF+S△BOF = |OF||yA|+ |OF||yB|,【規(guī)律方法】 1.與拋物線定義有關(guān)的兩個(gè)線段 拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦.,2.拋物線定義的作用 將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.,【變式訓(xùn)練】已知A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2=4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|AB|=8,則x1+x2的最小值是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.101,【解析】選B.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則|AF|+|BF|≥|AB|,由拋物線的定義,可得x1+x2+p≥|AB|,因?yàn)閨AB|=8,p=2,所以x1+x2≥6,所以x1+x2的最小值是6.,【加固訓(xùn)練】 1.(2016昆明模擬)設(shè)經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),那么拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系為 ( ) A.相離 B.相切 C.相交但不經(jīng)過圓心 D.相交且經(jīng)過圓心,【解析】選B.設(shè)圓心為M,過點(diǎn)A,B,M作準(zhǔn)線l的垂線,垂 足分別為A1,B1,M1,則|MM1|= (|AA1|+|BB1|).由拋物線 定義可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,所以|AB|=|BB1|+ |AA1|,|MM1|= |AB|,即圓心M到準(zhǔn)線的距離等于圓的 半徑,故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.,2.(2016忻州模擬)已知P為拋物線y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn), Q為圓x2+(y-4)2=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與 點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是 .,【解析】由題意知,圓x2+(y-4)2=1的圓心為C(0,4),半 徑為1,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)P 到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和即點(diǎn)P到點(diǎn) Q的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和,因此|PQ|+ |PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1= -1. 答案: -1,3.(2016廈門模擬)已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上,且點(diǎn)P 到y(tǒng)軸的距離與其到焦點(diǎn)的距離之比為 ,則點(diǎn)P到x軸 的距離為 .,【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP),拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方 程為x=-1,根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn) P到準(zhǔn)線的距離,故 解得xP=1,所以 yP2=4, 所以|yP|=2. 答案:2,考向二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 【典例2】(1)(2016泉州模擬)如圖,過拋物線y2=2px (p0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C, 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為 ( ),(2)若雙曲線C:2x2-y2=m(m0)與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交 于A,B兩點(diǎn),且|AB|=4 ,則m的值是 .,【解題導(dǎo)引】(1)分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線,分別交準(zhǔn) 線于點(diǎn)E,D,設(shè)|BF|=a,根據(jù)拋物線定義可知|BD|=a,進(jìn) 而推斷出∠BCD的值,在直角三角形中求得a,利用比例 線段的性質(zhì)可求得p,則拋物線方程可得. (2)求出y2=16x的準(zhǔn)線l:x=-4,由C與拋物線y2=16x的準(zhǔn) 線交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=4 ,即可求出m的值.,【規(guī)范解答】(1)選B.如圖,分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線,分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,,設(shè)|BF|=a,則由已知得:|BC|=2a, 由定義得:|BD|=a,故∠BCD=30, 在直角三角形ACE中,因?yàn)閨AF|=3,|AC|=3+3a, 所以2|AE|=|AC|, 所以3+3a=6,從而得a=1,,因?yàn)锽D∥FG,所以 求得p= , 因此拋物線方程為y2=3x.,(2)y2=16x的準(zhǔn)線l:x=-4,因?yàn)镃與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線 l:x=-4交于A,B兩點(diǎn),|AB|=4 ,所以A(-4,2 ), B(-4,-2 ),將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得2(-4)2- (2 )2=m,所以m=20. 答案:20,【規(guī)律方法】 1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1)先定位:根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的位置. (2)再定形:即根據(jù)條件求p.,2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧 (1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí),關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)要結(jié)合圖形分析,靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)以形助數(shù).,【變式訓(xùn)練】(2016北京模擬)已知拋物線y2=2px(p 0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,垂足為 A,如果△APF是邊長(zhǎng)為4的正三角形,那么此拋物線的焦 點(diǎn)坐標(biāo)為 ,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP= .,【解析】如圖所示,設(shè) 則|PA|= =4.① 又在Rt△AMF中,∠AFM=∠FAP=60, 故tan∠AFM= ② 聯(lián)立①②式,得p=2,|y0|=2 . 故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xp= =3. 答案:(1,0) 3,【加固訓(xùn)練】 1.(2016安慶模擬)拋物線y=- x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A.(0,-1) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,0),【解析】選A.拋物線y=- x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-4y,開 口向下,p=2, =1,故焦點(diǎn)為(0,-1).,2.已知m,n,m+n成等差數(shù)列,m,n,mn成等比數(shù)列,則拋物線mx2=ny的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ),【解析】選A.由題意知,2n=m+m+n且n2=mmn,解得 m=2,n=4,故拋物線為x2=2y,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,3.已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px(p0)的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為 ( ),【解析】選C.由已知,得準(zhǔn)線方程為x=-2,所以F的坐標(biāo) 為(2,0).又A(-2,3),所以直線AF的斜率為k=,考向三 直線與拋物線的綜合問題 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:直線與拋物線的交點(diǎn)問題 【典例3】(2015浙江高考)如圖,已知拋物線C1:y= x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點(diǎn)P(t,0)(t0)作不過原點(diǎn)O 的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn).,(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo). (2)求△PAB的面積. 注:直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行,則該直線與拋物線相切,稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn).,【解題導(dǎo)引】(1)設(shè)出直線PA的方程,通過聯(lián)立方程,判別式為零,得到點(diǎn)A的坐標(biāo);根據(jù)圓的性質(zhì),利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,得到點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)利用兩點(diǎn)間距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式,得到三角形的底邊長(zhǎng)與底邊上的高,由此計(jì)算三角形的面積.,【規(guī)范解答】(1)由題意可知,直線PA的斜率存在,故可 設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t),所以 消去y 整理得:x2-4kx+4kt=0. 因?yàn)橹本€PA與拋物線相切,所以Δ=16k2-16kt=0,解得 k=t. 所以x=2t,即點(diǎn)A(2t,t2).,設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知, 點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱, 故有 解得 即點(diǎn),(2)由(1)知,|AP|= 直線AP的方程為tx-y-t2=0, 所以點(diǎn)B到直線PA的距離為d= 所以△PAB的面積S=,命題方向2:與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題 【典例4】(2016鄭州模擬)已知拋物線C:y=mx2(m0),焦點(diǎn)為F,直線2x-y+2=0交拋物線C于A,B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn),過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.,(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo). (2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3,求此時(shí)m的值. (3)是否存在實(shí)數(shù)m,使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.,【解題導(dǎo)引】(1)將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,直接求 出焦點(diǎn)坐標(biāo).(2)利用拋物線的定義求解.(3)只需證明 =0即可.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閽佄锞€C:x2= 所以它的焦點(diǎn) (2)因?yàn)閨RF|=yR+ 所以2+ =3,得m= .,(3)存在,聯(lián)立方程 消去y得mx2-2x-2=0, 依題意,有Δ=(-2)2-4m(-2)0恒成立.,設(shè)A(x1,mx12),B(x2,mx22), 則 因?yàn)镻是線段AB的中點(diǎn), 所以 即 所以,得 若存在實(shí)數(shù)m,使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形, 則 =0, 即,結(jié)合(*)化簡(jiǎn)得 =0, 即2m2-3m-2=0, 所以m=2或m=- , 而2∈(0,+∞),- ?(0,+∞). 所以存在實(shí)數(shù)m=2,使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形.,【技法感悟】 1.直線與拋物線交點(diǎn)問題的解題思路 (1)求交點(diǎn)問題,通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組. (2)與交點(diǎn)相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決.,2.解決拋物線的弦及弦中點(diǎn)問題的常用方法 (1)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式.,(2)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法. 提醒:涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí),一般用“點(diǎn)差法”求解.,【題組通關(guān)】 1.(2016長(zhǎng)沙模擬)已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦 AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則 的值 一定等于 ( ) A.-4 B.4 C.p2 D.-p2,【解析】選A.①若焦點(diǎn)弦AB⊥x軸,則x1=x2= ,則 x1x2= ; ②若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸,可設(shè)AB:y= 聯(lián)立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+ =0, 則x1x2= .則y1y2=-p2.故 =-4.,2.(2016欽州模擬)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋 物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6,那么|AB|= ( ) A.6 B.8 C.9 D.10,【解析】選B.由題意,p=2,故拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-1, 因?yàn)檫^拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1,y1), B(x2,y2)兩點(diǎn),所以|AB|=x1+x2+2,又x1+x2=6,所以|AB|= x1+x2+2=8.,3.(2016珠海模擬)已知拋物線C:y=x2-2,過原點(diǎn)的動(dòng) 直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),P是AB的中點(diǎn),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y), 則4x-y的最大值是 ( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4,【解析】選A.設(shè)直線l的方程為y=kx,與拋物線C的方程 y=x2-2聯(lián)立,消去y,得x2-kx-2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=k,所以x= ,y= ,所以4x-y=2k- =- (k -2)2+2.故當(dāng)k=2時(shí),4x-y取最大值2.,4.(2016衡水模擬)如圖所示,拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上.,(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程. (2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),求y1+y2的值及直線AB的斜率.,【解析】(1)由已知條件,可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p0). 因?yàn)辄c(diǎn)P(1,2)在拋物線上,所以22=2p1,解得p=2. 故所求拋物線的方程是y2=4x,準(zhǔn)線方程是x=-1.,(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB, 則kPA= (x1≠1),kPB= (x2≠1), 因?yàn)镻A與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ), 所以kPA=-kPB.,由A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上,得 y12=4x1,① y22=4x2,② 所以,所以y1+2=-(y2+2). 所以y1+y2=-4. 由①-②得,y12-y22=4(x1-x2), 所以kAB= =-1(x1≠x2).,