單孔的夫瑯和費(fèi)衍射

4.3 單孔的夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算夫瑯和費(fèi)衍射問題，可以直接使用我們上次課得到的衍射積分公式，也可以用菲涅耳半波帶法和相輻矢量分析法。4.3.1 單縫的夫瑯和費(fèi)衍射 fS C L y x 衍射物只在方向上限制入射光波，在方向不受限制。因此單縫衍射是一維問題。入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。設(shè)衍射物（單縫）的透射系數(shù)為： 0rect)( at 則透過衍射物之后的復(fù)振幅為： 0rect)()( atA 代入我們上次課得到的一維孔徑夫瑯和費(fèi)衍射積分公式即可。 dydxadyxdjkdjyxE 22 2exp1),(其中： ddxjAdxa 2exp)( ddxja 2exprect 0 dxaa 00 sinc代入上式，可得單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的復(fù)振幅分布： fyfxafyxfjkfjayxE 22 00 sinc2exp),( 單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的輻照度分布：2),(),( yxEyxL fyfxafa 0222 20 sinc單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的衍射圖形見教材186頁圖（a）圖（b）令：0)( xL得： 0/afx 所以中央亮斑的條紋寬度：0/2 afw 不難得出，其他條紋的寬度是中央條紋寬度的1/2。 f /a0-f /a0 2f /a0-2 f /a0 x 1 L / L0 0輻 照 度 分 布 ：斜入射情況：S 入射光是斜入射平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為： rkj exp S sinexp jk則透過衍射物之后的復(fù)振幅為： 0rect)sinexp()()sinexp()( ajktjkA 其傅立葉變換為： ddxjAdxa 2exp)( ddxjAdxa 2exp)( sinsinc 00 dxaa斜入射時(shí)單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的復(fù)振幅分布： fyfxafyxfjkfjayxE 22 sinsinc2exp),( 00輻照度分布： fyfxafayxL sinsinc),( 0222 20所以斜入射時(shí)屏上的復(fù)振幅分布不變，只是有了一個(gè)平移：sinfx 4.3.2 矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射fS C L y x這是一個(gè)二維衍射問題，需要計(jì)算一個(gè)二重積分。但是對于可分離變量的透射系數(shù)，可簡化為分別計(jì)算兩個(gè)一維積分。 入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。設(shè)衍射物（矩孔）的透射系數(shù)為： 0021 rectrect)()(),( battt 則透過衍射物之后的復(fù)振幅為： 0021 rectrect)()(),( baAAA 函數(shù))(),( 21 AA的傅立葉變換為： dxaadxa 001 sinc dybbdya 002 sinc 上次課得到的夫瑯和費(fèi)衍射積分公式： dddydxjkEyx2djkdj jkdyxE 22 exp,expexp,利用剛才求得的傅立葉變換結(jié)果： fybfxabayx2fjkfj jkfyxE 22 0000 sincsincexpexp,屏上的輻照度分布：2),(),( yxEyxL fybfxafba 020222 2020 sincsinc fybfxaL 0202 sincsinc)0,0( (1) 衍射光強(qiáng)分布對于沿x軸的光強(qiáng)度分布， 因y=0， 有 fxaLxL 02sinc)0,0()0,(當(dāng)x=0 時(shí)(對應(yīng)于原點(diǎn))，有主極大。在為整數(shù)處，有極小值， L=0，與這些值相應(yīng)的點(diǎn)是暗點(diǎn)， 暗點(diǎn)的位置為 2sinc)0,0(L 0afmx (m=1,2,)相鄰兩暗點(diǎn)之間的間隔為： 0afx 在相鄰兩個(gè)暗點(diǎn)之間有一個(gè)強(qiáng)度次極大， 次極大的位置由下式?jīng)Q定: 0)(sinc2 dd tan夫朗和費(fèi)矩形孔衍射在y軸上的強(qiáng)度分布特性與x軸類似。在x, y軸以外各點(diǎn)的光強(qiáng)度，可按式進(jìn)行計(jì)算，圖 給出了一些特征點(diǎn)的光強(qiáng)度相對值。 顯然， 盡管在xOy面內(nèi)存在一些次極大點(diǎn)， 但它們的光強(qiáng)度極弱。 )(sinc2 夫朗和費(fèi)矩形孔衍射圖樣中一些特征點(diǎn)的相對強(qiáng)度 (2) 中央亮斑 矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑處， 其邊緣在x, y軸上的位置是 00 bfyafx 和中央亮斑面積為 00 220 4 bafS 該式說明，中央亮斑面積與矩形孔面積成反比，在相同波長和裝置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大. (3) 衍射圖形狀 當(dāng)孔徑尺寸a0=b0, 即為方形孔徑時(shí)，沿x, y方向有相同的衍射圖樣。當(dāng)a0b0， 即對于矩形孔徑， 其衍射圖樣沿x, y方向的形狀雖然相似，但線度不同。例如，a 0b0時(shí)， 衍射圖樣沿x軸亮斑寬度比沿y軸的亮斑寬度大。4.3.3 圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射由于光學(xué)儀器的光瞳通常是圓形的，所以討論圓孔衍射現(xiàn)象對光學(xué)儀器的應(yīng)用，具有重要的實(shí)際意義。夫朗和費(fèi)圓孔衍射的討論方法與矩形孔衍射的討論方法相同，只是由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對稱性，采用極坐標(biāo)處理更加方便。 fS C L y x這是一個(gè)二維衍射問題，需要計(jì)算一個(gè)二重積分?？紤]到圓孔的對稱性，在極坐標(biāo)系中處理比較簡便。 設(shè)圓孔上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)為、，與相應(yīng)的直角坐標(biāo)x, y的關(guān)系為： = cos = sin 類似地，觀察屏上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)r、與相應(yīng)的直角坐標(biāo)的關(guān)系為 sincosry rx dddydxjkEyx2djkdj jkdyxE 22 exp,expexp, ddfrjkEr2fjkfj jkfrE )cos(exp,expexp, 2由此，屏上光場復(fù)振幅， 在經(jīng)過坐標(biāo)變換后為 ：fr/是衍射角。設(shè)衍射物（圓孔）的透射系數(shù)為： circ)(t 是圓孔的半徑。 入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。則透過衍射物之后的復(fù)振幅為： circ),(E代入后： ddfrjkr2fjkfj jkfrE )cos(expexpexp, 2根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的積分表示式 ： dixxJ 200 )cosexp(21)( 可將上式變換為 ： 0 02expexp2, dfrkJr2fjkfj jkfrE這里已利用了J0(x)為偶函數(shù)的性質(zhì)。再由貝塞爾函數(shù)的性質(zhì): )()( 10 xxJdxxxJ 式中，J1(x)為一階貝塞爾函數(shù)，可得: frkJ2frfjkjrrE 12exp, 屏上的輻照度分布：2)()( rErL 21 frkJr frk frkJf 122 2可以證明，x0時(shí)， 1)(2 1 x xJ屏上中心點(diǎn)輻照度： 22)0( fL令： frk 則： 21 )(2)0()( JLL 21 )(2)0()( JLL基于此式，可以得到夫朗和費(fèi)圓孔衍射的如下特點(diǎn)：(1) 衍射圖樣 由上三式可見，夫朗和費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)度分布僅與衍射角有關(guān)(或者，由=r/f，僅與r有關(guān))， 而與方位角坐標(biāo)無關(guān)。這說明，夫朗和費(fèi)圓孔衍射圖樣是圓形條紋。 fr/是衍射角。frk 0/LL 圓孔夫瑯和費(fèi)衍射的強(qiáng)度分布 21 /)(2 J (2) 愛里斑 由上表可見，中央亮斑集中了入射在圓孔上能量的83.78%，這個(gè)亮斑叫愛里斑。愛里斑的半徑r0由第一光強(qiáng)極小值處的值決定， 即 ： 22.1010 frk因此 ffr 61.0222.1 0 或以角半徑0表示 61.000 fr 4.3.4 光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng) 瑞利判據(jù)從幾何光學(xué)的觀點(diǎn)看，每個(gè)像點(diǎn)應(yīng)該是一個(gè)幾何點(diǎn)，因此， 對于一個(gè)無像差的理想光學(xué)成像系統(tǒng)，其分辨本領(lǐng)應(yīng)當(dāng)是無限的， 即兩個(gè)點(diǎn)物無論靠得多近，像點(diǎn)總可分辨開。 但實(shí)際上， 光波通過光學(xué)成像系統(tǒng)時(shí)，總會(huì)因光學(xué)孔徑的有限性產(chǎn)生衍射， 這就限制了光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)。通常，由于光學(xué)成像系統(tǒng)具有光闌、 透鏡外框等圓形孔徑，所以討論它們的分辨本領(lǐng)時(shí)，都是以夫朗和費(fèi)圓孔衍射為理論基礎(chǔ)。如圖 422所示，設(shè)有S 1和S2兩個(gè)非相干點(diǎn)光源，間距為， 它們到直徑為D的圓孔距離為R，則S1和S2對圓孔的張角為 R 由于圓孔的衍射效應(yīng)，S1和S2將分別在觀察屏上形成各自的衍射圖樣。假設(shè)其愛里斑關(guān)于圓孔的張角為0：D 22.10 根據(jù)瑞利判據(jù)，將一個(gè)點(diǎn)物衍射圖樣的中央極大位置與另一個(gè)點(diǎn)物衍射圖樣的第一個(gè)極小位置重合的狀態(tài)作為光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨極限，認(rèn)為此時(shí)光學(xué)系統(tǒng)恰好可分辨開這兩個(gè)點(diǎn)物。 這時(shí)，兩點(diǎn)物衍射圖樣的重疊區(qū)中點(diǎn)光強(qiáng)度約為每個(gè)衍射圖樣中心最亮處光強(qiáng)度的73.5%(對于縫隙形光闌，約為81%)。 于是，由于衍射效應(yīng)，一個(gè)光學(xué)成像系統(tǒng)對點(diǎn)物成像的愛里斑角半徑0決定了該系統(tǒng)的分辨極限。 幾種光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng) (1) 人眼睛的分辨本領(lǐng) 人眼的成像作用可以等價(jià)于一個(gè)單凸透鏡。通常人眼睛的瞳孔直徑約為 1.56 mm（視入射光強(qiáng)的大小而定)。當(dāng)人眼瞳孔直徑為 2 mm時(shí)，對于最敏感的光波波長=0.55 m，按(3 - 42)式可以算得人眼的最小分辨角e為通常由實(shí)驗(yàn)測得的人眼最小分辨角約為1(=2.910-4rad)，與上面計(jì)算的結(jié)果基本相符。 radD ee 4103.322.1 (2) 望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng) 望遠(yuǎn)鏡的作用相當(dāng)于增大人眼睛的瞳孔。設(shè)望遠(yuǎn)鏡物鏡的圓形通光孔徑直徑為D，若有兩個(gè)物點(diǎn)恰好能為望遠(yuǎn)鏡所分辨開， 則根據(jù)瑞利判據(jù)， 這兩個(gè)物點(diǎn)對望遠(yuǎn)鏡的張角為 D 22.1 0 這也就是望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角公式。該式表明，望遠(yuǎn)鏡物鏡的直徑D愈大，分辨本領(lǐng)愈高，并且，這時(shí)像的亮度也增加了。 例如，天文望遠(yuǎn)鏡物鏡的直徑做得很大(可達(dá) 6m)，原因之一就是為了提高分辨本領(lǐng)。對于=0.55m的單色光來說，其最小分辨角=0.023=1.1210-7 rad，比人眼的分辨本領(lǐng)要大三千倍左右。通常在設(shè)計(jì)望遠(yuǎn)鏡時(shí)，為了充分利用望遠(yuǎn)鏡物鏡的分辨本領(lǐng)，應(yīng)使望遠(yuǎn)鏡的放大率保證物鏡的最小分辨角經(jīng)望遠(yuǎn)鏡放大后等于眼睛的最小分辨角， 即放大率應(yīng)為 ee DDM (3) 照相物鏡的分辨本領(lǐng) 照相物鏡一般都是用于對較遠(yuǎn)物體的成像，感光底片的位置大致與照相物鏡的焦平面重合。 若照相物鏡的孔徑為D， 相應(yīng)第一極小的衍射角為0， 則底片上恰能分辨的兩條直線之間的距離為 Dff 22.1 0 習(xí)慣上，照相物鏡的分辨本領(lǐng)用底片上每毫米內(nèi)能成多少條恰能分開的線條數(shù)N表示，N為 fDN 22.1 11 式中，D/f是照相物鏡的相對孔徑?？梢?，照相物鏡的相對孔徑愈大，分辨本領(lǐng)愈高。 例如，對于D/f=1 3.5的常用照相物鏡，若=0.55m，則N=1 4901/3.5=425(條/mm)。作為照相系統(tǒng)總分辨本領(lǐng)的要求來說，感光底片的分辨本領(lǐng)應(yīng)大于或等于物鏡的分辨本領(lǐng)。 例如， 對于上面的例子， 應(yīng)選擇分辨本領(lǐng)大于425條/mm的底片。 (4) 顯微鏡的分辨本領(lǐng) 顯微鏡由物鏡和目鏡組成，在一般情況下系統(tǒng)成像的孔徑為物鏡框，因此，限制顯微鏡分辨本領(lǐng)的是物鏡框(即孔徑光闌)。 顯微鏡物鏡的成像如圖所示。點(diǎn)物S1和S2位于物鏡前焦點(diǎn)外附近，由于物鏡的焦距很短，所以S1和S2發(fā)出的光波以很大的孔徑角入射到物鏡， 其像S1和S2離物鏡較遠(yuǎn)。雖然S1和S2離物鏡很近，它們的像也是物鏡邊緣(孔徑光闌)的夫朗和費(fèi)衍射圖樣， 其愛里斑的半徑為 Dll 22.1 00 (3 - 46) 顯微鏡的分辨本領(lǐng) 由于顯微鏡物鏡的成像滿足阿貝(Abbe)正弦條件 sinsin unun 式中，n和n分別是物方和像方折射率，在n=1 時(shí)，因l D, 有 2/sin lDuu 所以，能分辨兩點(diǎn)物的最小距離為 NAun un lDDlun u 61.0sin61.0 sin 2/22.1sin sin 式中，NA=n sin u稱為物鏡的數(shù)值孔徑。由此可見，提高顯微鏡分辨本領(lǐng)的途徑是： 增大物鏡的數(shù)值孔徑； 減小波長，例如，電子顯微鏡利用電子束的波動(dòng)性成像， 由于其波長可達(dá)10-3nm，因而分辨本領(lǐng)將比可見光顯微鏡提高幾十萬倍，只是由于電子顯微鏡的數(shù)值孔徑較小， 其分辨本領(lǐng)實(shí)際上僅提高千倍以上。