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1、 （一）基礎(chǔ)知識1、證明兩個三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL2、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。 3、角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上。 因此，角平分線可以看作是角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點的集合。 OC平分 AOB，PD OA于D，PE OB于E PD=PEO BPA ED PD OA于D，PE OB于E ，且PD=PE OC平分 AOB 4、圖形變換 一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。 例1、如圖，AC平分 BAD，CF AD，CE AB，CD=
2、CB，求證：BE=DF A BCD EF 例1、如圖，AC平分 BAD，CF AD，CE AB，CD=CB，求證：BE=DF A BCD EF分析要證BE=DF，只需證CBECDF而CD=CB， CEB= CFD=90，只需證CE=CF，這可由角平分線的性質(zhì)得到 例1、如圖，AC平分 BAD，CF AD，CE AB，CD=CB，求證：BE=DF A BCD EF證明： AC平分 BAD， CF AD，CE AB， CE=CF， CEB= CFD=90在RtCBE和RtCDF中， RtCBE RtCDF BE=DF CE=CFCD=CB 例2、已知，如圖，OD平分 AOB，在OA、OB邊上取OA
3、=OB，點P在OD上，且PM BD，PN AD，求證：PM=PN ABO P DM N 例2、已知，如圖，OD平分 AOB，在OA、OB邊上取OA=OB，點P在OD上，且PM BD，PN AD，求證：PM=PN 分析由于PM、PN是點P到 ADB的兩邊的距離，所以只需證OD平分 ADB，這可通過證明OBD OAD得到ABO P DM N 例2、已知，如圖，OD平分 AOB，在OA、OB邊上取OA=OB，點P在OD上，且PM BD，PN AD，求證：PM=PN ABO P DM N12 34,1 2.1 2 .OD AOBOBD OADOB OAOD ODOBD OAD 證明：平分在和中，3 4
4、. , ,.PM BD PN ADPM PN 例3、如圖，ABC中，點P是角平分線AD、BE的交點，求證：點P在 C的平分線上AB CD EP 例3、如圖，ABC中，點P是角平分線AD、BE的交點，求證：點P在 C的平分線上AB CD EPM NO分析 過點P作PO BC于O，PM AB于M，PN AC于N，要證點P在 C的平分線上，只需證PO=PN而由已知可知，PM=PN，PM=PO，得證 例3、如圖，ABC中，點P是角平分線AD、BE的交點，求證：點P在 C的平分線上AB CD EPM NO證明：過點P作PO BC于O，PM AB于M，PN AC于N點P是角平分線AD、BE的交點， PM=
5、PN，PM=PO PN=PO PO BC，PN AC，點P在 C的平分線上 小結(jié)三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，且該點到三角形三邊的距離相等 小結(jié)三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，且該點到三角形三邊的距離相等 發(fā)展1、如圖，點P是ABC的兩個外角的平分線的交點，則點P到ABC三邊所在直線的距離相等，且點P在 B的平分線上AB C P 小結(jié)三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，且該點到三角形三邊的距離相等 發(fā)展1、如圖，點P是ABC的兩個外角的平分線的交點，則點P到ABC三邊所在直線的距離相等，且點P在 B的平分線上2、到三角形三邊距離相等的點有4個。（在三角形內(nèi)部，只有一個；在三角形外部，有3個） A
6、B C P 例4、ABC的三邊AB、BC、AC的長度分別為20、30、40，其三個內(nèi)角的平分線的交點為O，求 : :ABO BCO ACOS S S A BC O 例4、ABC的三邊AB、BC、AC的長度分別為20、30、40，其三個內(nèi)角的平分線的交點為O，求 : :ABO BCO ACOS S S A BC O DE F分析過O作OD AB于D，OE AC于E，OF BC于F由已知易證OD=OE=OF，由此可知 : : : : . ABO BCO ACOS S S AB BC AC 例4、ABC的三邊AB、BC、AC的長度分別為20、30、40，其三個內(nèi)角的平分線的交點為O，求 : :ABO
7、 BCO ACOS S S A BC O DE F解：過O作OD AB于D，OE AC于E，OF BC于FABC三個內(nèi)角的平分線的交點為O， OD=OE=OF 1 1 1, , ,2 2 2 : : : : 2:3:4.ABO BCO ACOABO BCO ACOS AB OD S BC OF S AC OES S S AB BC AC （二）常見輔助線的添加方法例5、在ABC中，AD是BC邊上的中線，（1）求證：ABAC2AD.（2）若AB=6,AC=10,則AD的取值范圍是 AB CD （二）常見輔助線的添加方法例5、在ABC中，AD是BC邊上的中線，（1）求證：ABAC2AD.（2）若A
8、B=6,AC=10,則AD的取值范圍是 AB CD E分析 （1）延長AD到E，使得DE=AD易證ACD EBD（SAS）從而BE=AC在ABE中，AB+BEAE AB+AC2AD.（2）易知2AD2AD.（2）若AB=6,AC=10,則AD的取值范圍是 AB CD E分析 （1）延長AD到E，使得DE=AD易證ACD EBD（SAS）從而BE=AC在ABE中，AB+BEAE AB+AC2AD.（2）易知2ADAD，試判斷AB-AD與CB-CD的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論 AB C D 例7、如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分 BAD，ABAD，試判斷AB-AD與CB-CD的大小關(guān)系，并證
9、明你的結(jié)論 分析在AB上取一點E，使得AE=AD，連結(jié)CE易證ACEACD CD=CE在BCE中，BECB-CE，即AB-AECB-CE， AB-ADCB-CD AB C DE 1 2 例8、如圖， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PCAB CP12 例8、如圖， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PC分析1 由已知 1= 2，可以構(gòu)造全等三角形，在BC上取一點D，使得BD=AB，連結(jié)PD，易證ABPDBP，從而得到PA=PD要證PA=PC，只需證PC=PD，這可以通過證明 PCB= PDC得到AB CP12 D 例8、如圖
10、， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PC證法1：在BC上取一點D，使得BD=AB連結(jié)PD在ABP和DBP中， ABPDBP PA=PD， BAP= BDP PCB+ BAP=180， PDC+ BDP=180， PCB= PDC PD=PC PA=PC AB CP12 D1 2AB BDPB PB 例8、如圖， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PC分析2過點P作PE AB于E，PD BC于D，可知PE=PD，易證PAE PCD，從而得到PA=PC AB CP12 DE 例8、如圖， 1= 2，P為BN上一點，若 PCB+ BAP=180，求證：PA=PC證明：過點P作PE AB于E，PD BC于D PEA= PDC=90 1= 2， PE=PD PCB+ BAP=180， PAE+ BAP=180， PCB= PAE在PAE和PCD中， PAEPCD PA=PC AB CP12 DEPAE PCBPEA PDC PE PD 小結(jié)上述兩種方法是與角平分線有關(guān)的問題中常見的兩種添加輔助線的方法，即構(gòu)造全等三角形或作角兩邊的垂線
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