《用公式法求解一元二次方程》教案

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1、 3 用公式法求解一元二次方程 【知識與技能】 1.理解求根公式的推導過程和判別公式 . 2.使學生能熟練地運用公式法求解一元二次方程 . 【過程與方法】 通過由配方法推導求根公式，培養(yǎng)學生推理能力和由特殊到一般的數(shù)學思 想 . 【情感態(tài)度】 讓學生體驗到所有一元二次方程都能運用公式法去解， 形成全面解決問題的 積極情感，感受公式的對稱美、簡潔美，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感 . 【教學重點】 求根公式的推導和公式法的應用 . 【教學難點】 理解求根公式的推導過程及判別公式的應用 .

2、 一、情境導入 ,初步認識 用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0 【教學說明】學生板演，復習舊知 . 二、思考探究，獲取新知 1.探究：用配方法解方程： ax2+bx+c=0（a≠0）. 分析：前面具體數(shù)字已做了很多， 我們現(xiàn)在不妨把 a、b、c 也當成具體數(shù)字， 根據(jù)配方法的解題步驟推下去 . 解：移項，得： ax2+bx=-c 因為 a≠ 0，所以方程兩邊同除以 a，得： x2+ b  x=  c a  a 配

3、方，得： x2+ b x+（ b ） 2= c +（ b ）2 a 2a a 2a 即（ x+ b ）2= b2 4ac 2a 4a2 2 ，當 2 ≥ b2 4ac ≥0 ∵a≠0，∴ 4a >0 0 時， b -4ac 4a2 ∴x+ b = b2

4、 4ac 即 x= b b2 4ac 2a 2a 2a ∴x1 b b2 4ac ， x2 = b b2 4ac = 2a 2a 【歸納總結】由上可知， 一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠ 0）的根由方程的系數(shù) a、b、 c 而定，因此： （1）解一元二次方程時， 可以先將方程化為一般形式 ax2+bx+c=0，當 b2-4ac ≥ 0

5、時，將 a、 b、 c 代入式子 x= b b2 4ac （b2 ≥ ）， 2a -4ac 0 就可求出方程的根； （2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式； （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根 . 用公式法解一元二次方程時，必須注意兩點： （ 1）將 a、b、c 的值代入公式 時，一定要注意符號不能出錯； （2）式子 b2-4ac≥0 是公式的一部分 . 【教學說明】讓學生思考對于一般形式的一元二次方程 ax2 ≠ +bx+c=0(a

6、 0) 能否用配方法求出它的解，通過解方程發(fā)現(xiàn)歸納一元二次方程的求根公式 . 2.用公式法解下列方程，根據(jù)方程根的情況你有什么結論？ （1）2x2-3x=0； （2）3x2-2 3 x+1=0； （3）4x2+x+1=0. 【歸納總結】（1）當 =b2-4ac>0 時，一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠0）有 兩個不相等的實數(shù)根，即 x1 b b2 4ac ， x2 b b2 4ac ； = 2a = 2a （2）當 =b2 -4ac=0 時，一元二次方

7、程 2 （ ≠ ）有兩個相等實數(shù) ax +bx+c=0 a 0 b 根即 x1=x2=- ； （3）當 =b2-4ac<0 時，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數(shù)根 . 【教學說明】進一步體會一元二次方程的根與 b2-4ac 的關系 . 三、運用新知，深化理解 1.用公式法解下列方程 . （1）2x2-x-1=0； （2）x2+1.5=-3x； （3）x2 ； - 2 x+12=0 （4）4x2-3x+2=0. 分析：用公式法解一元二次方程，需先

8、確定 a、b、c 的值，再算出 b2-4ac 的 值，最后代入求根公式求解 . 【教學說明】（1）一元二次方程 ax2 （ ≠ ）的根是由一元二次方程 +bx+c=0 a 0 的系數(shù) a、b、c 確定的； （2）在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然后在b2 ≥ -4ac 0 的前提下，把 a、b、c 的值代入 x= b b2 4ac 中，可求得方程的兩個根； 2a （3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個實數(shù)根 . 2.不解方程，判定方程根的情況 （1）16x2+8x=-3；

9、 （2）9x2+6x+1=0； （3）2x2-9x+8=0； 2 （4）x -7x-18=0. 分析：不解方程，判定方程根的情況，只需根據(jù) b2-4ac 的值大于 0、小于 0、 等于 0 的情況進行分析即可 .b2-4ac 的值是在一元二次方程一般形式下得出的， 所以首先必須將方程化為一般形式 . 3.若關于 x 的一元二次方程（ a-2） x2-2ax+a+1=0 沒有實數(shù)解，求 ax+3>0 的 解集（用含 a 的式子表示） . 分析：要求  ax+3>0 的解集，就是求  ax>-3  的解集，那么就轉(zhuǎn)

10、化為要判定  a 的值是正、負或  0.因為一元二次方程（  a-2） x2-2ax+a+1=0  沒有實數(shù)根，即 （ -2a） 2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出 a 的取值范圍 . 2 解：∵關于 x 的一元二次方程（ a-2）x -2ax+a+1=0 沒有實數(shù)根 . 2 2 2 ∴（ -2a） -4（a-2）（a+1）=4a -4a +4a+8<0 ∴a<-2 ∵ax+3>0 即 ax>-3，∴ x<-3/a， ∴所求不等式的解集為 x<-3/a. 【教學說明】主體探究利用公式法

11、解一元二次方程的一般方法， 進一步理解求根公式 . 四、師生互動，課堂小結 本節(jié)課通過配方法求解一般形式的一元二次方程的根， 推出了一元二次方程 的求根公式，并掌握利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況 . 1.布置作業(yè)：教材“習題 2.5”中第 1、2 題. 2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時“課時作業(yè)”部分 . 通過復習配方法使學生對一元二次方程的定義及解法有一個深刻的印象 .然 后讓學生用配方法推導一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判別式 判斷一元二次方程根的情況，使學生的推理能力得到加強 .