河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》幾何與代數(shù)第一章

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1、上 頁(yè) 下 頁(yè) 上 頁(yè) 下 頁(yè) 第 1章 幾 何 向 量 及 其 應(yīng) 用第 一 節(jié) 向 量 及 其 線 性 運(yùn) 算1.定 義 （ 向 量 ） 既 有 數(shù) 值 大 小 （ 非 負(fù) ） ， 又 有 方 向 的 量 。 等 表 示或用 c b a2.定 義 （ 范 數(shù) /模 ） 向 量 的 數(shù) 值 大 小| 一 、 向 量 的 概 念零 向 量 ， 單 位 向 量 上 頁(yè) 下 頁(yè)4.定 義 共 線和 / 位 于 同 一 直 線 上 ，或 位 于 相 互 平 行 的 直 線 上思 考 ： 兩 個(gè) 向 量 三 個(gè) 向 量 線 性 相 關(guān) 平 行 ？ 共 面 ？ 3.定 義 | 且 方 向 相 同 ；|

2、且 方 向 相 反 。 上 頁(yè) 下 頁(yè) 引 例 :力 的 合 成 -平 行 四 邊 形 法 三 角 形 法注 1： 和 與 起 點(diǎn) O的 選 取 無(wú) 關(guān)1.加 法 運(yùn) 算 ： 3： 加 法 法 則 （ 四 條 ） 4： 向 量 可 以 相 加 ， 但 不 可 以 比 較 大 小 | 5： 范 數(shù) 可 比 較 大 小二 、 向 量 的 線 性 運(yùn) 算 及 其 性 質(zhì) A )()4()3( )()(2()1(運(yùn) 算 法 則 ：2： 減 法 上 頁(yè) 下 頁(yè) 2.數(shù) 乘 運(yùn) 算 ： k注 1： 數(shù) 乘 向 量 性 質(zhì) （ 四 條 ）注 2： 線 性 運(yùn) 算 、 單 位 向 量 、 向 量 空 間 （

3、線 性 空 間 ） )()4()(3( )()()2(1)1(運(yùn) 算 法 則 ：3. 模 的 性 質(zhì) ： 單 位 向 量， ； ；， 當(dāng) 且 僅 當(dāng)， 且 1 .)3( )2( 00)1( 0 上 頁(yè) 下 頁(yè) 三 、 向 量 的 共 線 與 共 面1. 共 線 ： 方 向 相 同 或 相 反 約 定 ： 零 向 量 共 線 于 任 何 向 量定 理 1： kRk ， 使 得唯 一 共 線與則 向 量若 向 量 ,特 別 地 ， （ 反 向 ）（ 同 向 ）時(shí) ，當(dāng) | |1| 0.， 使 得與在 不 全 為 0的 實(shí) 數(shù) 共 線 的 充 要 條 件 是 ： 存與兩 個(gè) 向 量推 論 上 頁(yè) 下

4、 頁(yè) 2.共 面 ： 將 向 量 的 支 點(diǎn) 放 在 同 一 點(diǎn) 時(shí) ， 它 們 在 同 一 平 面 上 。 （ 或 ， 平 行 于 同 一 平 面 的 向 量 ）推 論 ： 0 使 得 ，三 個(gè) 不 全 為 零 的 實(shí) 數(shù)共 面，若定 理 2： 唯 一 ），（ 共 面，與， 則不 平 行 于設(shè) 平 行 六 面 體定 理 3： 332211321 321 , ， 使 得， 數(shù)， 必 存 在 唯 一 的 一 組 實(shí)不 共 面 ， 則設(shè) 上 頁(yè) 下 頁(yè) 定 義 設(shè) 1 ， 2 ， ， n 是 一 組 向 量 ， 1、 若 k1， k2， ， kn是 一 組 實(shí) 數(shù) ,稱 向 量 =k11 + k2

5、2+ + kn n 為 向 量 組 1 ， 2 ， ， n 的 線 性 組 合稱 可 以 由 1， 2 ， ， n, 線 性 表 示 。k11 + k22 + + knn = 0則 稱 向 量 組 1 ， 2 ， ， n 線 性 相 關(guān) ，否 則 ， 稱 它 們 線 性 無(wú) 關(guān) 。注 ： 若 1 ， 2 ， ， n 線 性 無(wú) 關(guān) ,則k11 + k22 + + knn = 0 k1 =k2 = =kn= 0 2、 若 存 在 不 全 為 零 的 k1， k2， ， kn ， 滿 足 上 頁(yè) 下 頁(yè) 空 間 解 析 幾 何 ： 用 數(shù) 量 來(lái) 研 究 向 量 的 問(wèn) 題 ， 類 似 于 平 面

6、 解 析 幾 何 需 引 入 空 間 坐 標(biāo) 系 的 概 念 。 回 顧 ： 332211321 321 , ， 使 得， 數(shù)， 必 存 在 唯 一 的 一 組 實(shí)不 共 面 ， 則設(shè)O GN P 1133 22 xz yM 第 二 節(jié) 空 間 坐 標(biāo) 系 上 頁(yè) 下 頁(yè) 一 、 仿 射 坐 標(biāo) 系 定 義 （ 仿 射 坐 標(biāo) 系 ）： 空 間 中 一 點(diǎn) O以 及 三 個(gè) 有 次 序 的 不 共 面 向 量 e1, e2, e3, 構(gòu) 成 空 間 中 一 仿 射 坐 標(biāo) 系 ， 記 為 O; e1, e2, e3 為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 。標(biāo) ，在 該 仿 射 坐 標(biāo) 系 下 的 坐為稱 則 由

7、 上 述 定 理 知：注 Ozyx zeyexe ),( ,1 321 標(biāo) 的 關(guān) 系空 間 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 與 向 量 坐 點(diǎn) 的 坐 標(biāo)， 則： 在 坐 標(biāo) 系 中 ， 設(shè)注 ),(2 zyxMOM 上 頁(yè) 下 頁(yè) 1.定 義 （ 直 角 坐 標(biāo) 系 ） ： e1, e2, e3為 單 位 向 量 且 兩 兩 垂 直 此 時(shí) 坐 標(biāo) 向 量 記 為 i, j, k注 1： 三 坐 標(biāo) 軸 ， 三 坐 標(biāo) 平 面 兩 兩 垂 直注 2： 規(guī) 定 x,y,z軸 的 正 方 向 ， 使 之 成 右 手 系定 理 ： 向 量 在 坐 標(biāo) 系 o;i,j,k上 的 坐 標(biāo) x,y,z分 別 是 在

8、相 應(yīng) 坐 標(biāo) 軸 上 的 投 影 。 即 ()i=x,()j=y,()k=z ),(3 行 向 量：注 zyxzkyjxi z x yA BO MC 二 、 直 角 坐 標(biāo) 系 上 頁(yè) 下 頁(yè) 2.定 義 （ 方 向 余 弦 ）例 ： 已 知 =（ -3， 6， 2） ,求 的 方 向 余 弦 和 與 平 行 的 單 位 向 量 注 2： 單 位 向 量 的 表 示 法 （ 兩 個(gè) ）注 1： |=？ （ 勾 股 定 理 ） 在 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 向 量 與 三 個(gè) 坐 標(biāo) 向 量 的 夾 角 稱 為 向 量 的 方 向 角 ； kji ,),0(, 方 向 角 的 余 弦

9、 稱 為 向 量 的 方 向 余 弦 。 cos,cos,cos 上 頁(yè) 下 頁(yè) 第 三 節(jié) 向 量 的 內(nèi) 積 、 外 積 和 混 合 積1.引 例 （ 做 功 ）力 位 移 cos| | |cos|功即 方 向 上 的 功 的 分 量在 位 移力2.定 義 兩 向 量 間 的 夾 角 ：(I)已 知 兩 個(gè) 非 零 向 量 ， 經(jīng) 平 行 移 動(dòng) 后 使 它 們 有 共 同 的 始 點(diǎn)(II)夾 角 的 范 圍 無(wú) 向 角(III)幾 種 類 型 A A/ / 一 、 兩 個(gè) 向 量 的 內(nèi) 積 上 頁(yè) 下 頁(yè) 3.內(nèi) 積 定 義 ),cos(| , ),cos(| 即或記 為 的 內(nèi) 積

10、 規(guī) 定 為 一 實(shí) 數(shù)，二 向 量注 1:內(nèi) 積 是 數(shù) ， 非 向 量 。規(guī)定:零向量和任何向量正交（垂直） 定 理 ： 0 內(nèi) 積 的 運(yùn) 算 法 則 正 定 性 交 換 律 結(jié) 合 律 分 配 律 （ 重 要 ） 正 交 ， 記 為與時(shí) ， 稱的 夾 角 為和 2/注 4: 22 |)()( ,| 注 3: 00, ， 則中 若 有 一 為注 2: 上 頁(yè) 下 頁(yè) 4.向 量 投 影 定 義 ：注：投影是一數(shù)的 代 數(shù) 長(zhǎng) 。為）即 （ 上 的 投 影 ，在為）注 ： 我 們 稱 （ OB ?k 正交投影向量： )/( , OBkOBBABAOB OBB Ao，一 般 記，且 上 的

11、正 交 投 影 向 量 ，在為， 則 稱的 支 線 的 垂 線 ， 交 點(diǎn)作 的 終 點(diǎn)， 由共 一 始 點(diǎn)o BA oBA ）或 （,記 為 Proj 在 e上 的 投 影 ，e表 示 向 量如 果 e是 單 位 向 量 ， 則ee 上 頁(yè) 下 頁(yè) 1. 外 積 定 義：形 成 一 右 手 系 。，且 使 ，方 向 垂 直 于它 的 范 數(shù) 為 ，外 積 是 一 個(gè) 向 量 ， 記 為的和 ),sin(| | 注 1： | S從 幾 何 上 看 ，注 2： /)( (II) )( ， 則，若IIII 性 質(zhì) ： 反 交 換 律 結(jié) 合 律 分 配 律例： 平 行 ？與取 何 值 時(shí) ，不 平

12、 行 ， 問(wèn) 當(dāng)，已 知 kkk 49 二 、 兩 個(gè) 向 量 的 外 積 上 頁(yè) 下 頁(yè) 重點(diǎn)回顧 內(nèi) 積 外 積 交 角 cos sin 垂 直 平 行 應(yīng) 用 平 行 四 邊 形 上 頁(yè) 下 頁(yè) 有 了 坐 標(biāo) ， 便 將 幾 何 運(yùn) 算 代 數(shù) 運(yùn) 算1.線 性 運(yùn) 算 ),( ),( 222111 zyxzyx 加 法 數(shù) 乘 距 離2.內(nèi) 積 01 jkkjikkiijji kkjjii? ?| 2 ?),cos( ?)( 三 、 向 量 運(yùn) 算 的 坐 標(biāo) 表 示 上 頁(yè) 下 頁(yè) 3.外 積 jikikjkji kkjjii ?引 進(jìn) 二 階 行 列 式 ， 規(guī) 定 22 111

13、22121 21 yx yxyxyxyy xx 太繁！再 次 書(shū) 寫(xiě) 外 積 的 結(jié) 果 ！ 222 111 zyx zyx 注 意 ： 的 順 序 , kji注 ： 如 何 記 憶 ？ 兩 兩 組 合 ！ 上 頁(yè) 下 頁(yè)222 111 zyx zyx kji kyx yxjzx zxizy zy 22 1122 1122 11 - ),( ),( 222111 zyxzyx ),-,( 22 1122 1122 11 yx yxzx zxzy zy 上 頁(yè) 下 頁(yè) 4.體 積 與 行 列 式 PO ？的 體 積體問(wèn) 題 ： 如 何 求 平 行 六 面已 知 ： VS )(| 注 1： 為 何

14、 加 | | ？ 為 左 手 系）（ 為 右 手 系）（：注 , , 2 V 上 頁(yè) 下 頁(yè) 定 義 （ 混 合 積 ） ： 的 混 合 積稱 為 向 量 ,)( 推 論 ： 0)(, 共 面用 行 列 式 表 示 混 合 積 333 222 111)( zyx zyx zyx 四 、 三 個(gè) 向 量 的 混 合 積 上 頁(yè) 下 頁(yè) 1 ）（， 求： 若例 4| 3210331032 體 積 。所 張 成 的 平 行 六 面 體 的 ），（） ，（） ，（： 計(jì) 算 由 向 量例 高 BD為 多 少 ？1） ， 試 求 AC邊 上 的C（ 1， 3， 6， 2） ，1， 2） ， B（ 5，頂

15、 點(diǎn) A（ 1，例 3： 已 知 ABC的 A CBD （ 30）（ 5） 上 頁(yè) 下 頁(yè)定 義 （ 法 向 量 ） ： 平 面 通 過(guò) 一 點(diǎn) M0(x0, y0,z0)且 垂 直 于 一 條 直 線 l 設(shè) 向 量 n/l, 則 稱 n為 平 面 的 法 向 量 ， 坐 標(biāo) (a,b,c)根 據(jù) ： 000 nMMnMM平 面 方 程 ： 0)()()( 000 zzcyybxxa 一 、 平 面 的 點(diǎn) 法 式 方 程第 四 節(jié) 平 面 及 其 方 程 上 頁(yè) 下 頁(yè)平 面 的 一 般 方 程 ： ax+by+cz+d=0 (a 2+ b2+ c20)二 、 平 面 的 一 般 方 程

16、：定 理 1： 每 一 個(gè) 平 面 可 用 ax+by+cz+d=0表 出 ， 其 中 a2+ b2+ c20定 理 2： 任 給 ax+by+cz+d=0， 其 中 a2+ b2+ c20， 則 它 恒 代 表 一 個(gè) 平 面 。 上 頁(yè) 下 頁(yè)),( ),( ),( 333322221111 zyxMzyxMzyxM已 知 ： 32211 MMMMM ， 平 行 于則 可 化 為 過(guò) 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx故 確 定 平 面 的 條 件 ： 三 個(gè) 不 共 線 的 點(diǎn)1、 三 點(diǎn) 式 方 程 （ 例 1.4.2）三 、 其 它 的

17、平 面 方 程 ： 上 頁(yè) 下 頁(yè)實(shí) 質(zhì) ： 三 點(diǎn) 式 方 程 M1（a，0，0）， M2（0，b，0）， M3（0，0，c），且 abc 0平 面 方 程 ： 1 czbyax 2、 截 距 式 方 程 (例 1.4.3) 上 頁(yè) 下 頁(yè) 總 結(jié)平 面 ： （ 一 ） 一 點(diǎn) + 兩 個(gè) 不 平 行 的 向 量 （ 三 向 量 共 面 ） （ 二 ） 一 點(diǎn) + 法 向 量例 ： 求 通 過(guò) x軸 和 點(diǎn) (4,-3,-1)的 平 面 方 程用 兩 種 方 法 （ 過(guò) 原 點(diǎn) ） 上 頁(yè) 下 頁(yè) 特殊平面1. a=0 0),()0,0,1( cba2. d=0 平 面 過(guò) 原 點(diǎn)3. d=

18、a=0 平 面 過(guò) x軸4. a=b=0 平 面 /xoy平 面平 面 /x軸 上 頁(yè) 下 頁(yè) ),(),(/ /.1 2221112121 cbacbann ),(),( .2 2222111121 dcbadcba 0),(),( .3 22211121 cbacba | | |),cos( ) (.4 21 212121 nn nnnn 二 面 角相 交和 注 意 要 加 絕 對(duì) 值 ！ 四 、 兩 個(gè) 平 面 的 位 置 關(guān) 系 上 頁(yè) 下 頁(yè) !如 何 找 出 交 線 上 的 點(diǎn) ),( 0000 zyxM解 ： 不 全 為 零即 22 1122 1122 1121 , ba baa

19、c accb cbnn 00022202 11101 022 11 , 00 00 zyxdzcybxa dzcybxa xxcb cb 解 得代 入 ）（ 可 令 為時(shí) ， 可 設(shè)則 當(dāng) 為 什 么 ? 上 頁(yè) 下 頁(yè) 點(diǎn) 到 平 面 的 距 離 ： dMMMzyxM |),( 00000 ， 則上 的 投 影在 d=? 222 000 | cba dczbyaxnd 上 頁(yè) 下 頁(yè)直 線 ： 一 個(gè) 點(diǎn) + 一 個(gè) 方 向 （ 直 線 的 方 向 ）1.參 數(shù) 方 程 方 向 數(shù)),(s ),( 0000 pnmzyxM stMMsMMLM 00 /上在 直 線根 據(jù) ： 點(diǎn) 第 五 節(jié)

20、空 間 直 線 及 其 方 程一 、 空 間 直 線 的 參 數(shù) 方 程 與 對(duì) 稱 式 方 程 mtzz mtyy mtxx 000方 程 為 ： 上 頁(yè) 下 頁(yè))(/ 0000 tp zznyymxxsMM 0 00 0, zz nyymxxpnm 零時(shí) ， 則 相 應(yīng) 的 分 子 也 為中 有 為注 ： 當(dāng) 2.對(duì) 稱 式 方 程 （ 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 、 點(diǎn) 向 式 方 程 ）直 線 L的 方 向 向 量 的 坐 標(biāo) m， n， p稱 為 直 線 L的 方 向 數(shù) 。 上 頁(yè) 下 頁(yè) ),(),( 22221111 zyxMzyxM ，不 同 點(diǎn) 注 ： 中 點(diǎn) 的 表 示 （ 參 數(shù)

21、方 程 ）3.兩 點(diǎn) 式 方 程 12 112 112 1 zz zzyy yyxx xx 的 直 線 方 程 為 ：，過(guò) 兩 點(diǎn) 21 MM 上 頁(yè) 下 頁(yè)1.一 般 式 方 程 （ 兩 平 面 的 交 線 ） 00 : 2222 1111 dzcybxa dzcybxaL 2121 nn 不 平 行 于不 平 行 于 二 、 空 間 直 線 的 一 般 式 方 程 上 頁(yè) 下 頁(yè) 2. 一 般 式 與 對(duì) 稱 式 間 的 互 換 .0632 03: 化 為 對(duì) 稱 方 程例 ： 試 將 直 線 zyx zyxl解 ： 21 nnl 如 何 取 點(diǎn) ？（1）（2） 上 頁(yè) 下 頁(yè) 3.平 面

22、 束 的 表 示 是 不 唯 一即可 寫(xiě) 成由 上 述 可 知 lzy yxl 032 032原 因 ： 過(guò) 直 線 L的 平 面 有 無(wú) 窮 多 個(gè)問(wèn) 題 ： 如 何 表 示 這 些 過(guò) l的 平 面 （ 平 面 束 ） ？ 0)32()32(022 zyyx ， 考 慮設(shè) 上 頁(yè) 下 頁(yè) 三 、 直 線 與 平 面 、 二 直 線 之 間 的 位 置 關(guān) 系1、 兩 直 線 間 的 相 互 位 置給 定 兩 條 直 線 222 111 :L :L tOMOM tOMOM （ 1） 若 共 面 ， 則 共 面 2121 , ssMM 平 行 相 交 重 合（ 2） 異 面 上 頁(yè) 下 頁(yè)pzznyymxxL 000: 0: dczbyax已 知 ： L /L 2、 直 線 與 平 面 的 位 置 關(guān) 系 上 頁(yè) 下 頁(yè)M0 M0 LM1 注 ： d與 M0的 選 擇 無(wú) 關(guān) 四 、 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 pzznyymxx 000 設(shè) 直 線 L方 程 為 ： 為的 距 離到 直 線則，外 一 點(diǎn)直 線 dlMzyxML 11111 ),( s MMsd 10 上 頁(yè) 下 頁(yè) 的 投 影 直 線 方 程在求例 0:01 01:.1 zyxzyx zyxl ),(:)2,0,1(.2 11110 zyxPzyxlP 的 對(duì) 稱 點(diǎn)關(guān) 于 直 線試 求 點(diǎn)例 olP0 P1