回歸方程的變量和形式

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1、第七章 回歸方程的變量和形式 目 錄 7.1 回歸方程中遺漏和冗余變量問(wèn)題 7.2 模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn) 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 7.4 可線性化的非線性模型 7.5 不可線性化的非線性模型 7.1 回歸方程中遺漏和冗余變量問(wèn)題 1、一個(gè)簡(jiǎn)單例子：未償付抵押貸款債務(wù) 假定 Y表示未償付抵押債務(wù)（億美元）； X2表示 個(gè)人收入（億美元） ； X3表示新住宅抵押貸款費(fèi)用 (%)，包括對(duì)常規(guī)抵押貸款和手續(xù)費(fèi)收取的利率。一 般地預(yù)期抵押債務(wù)與收入正相關(guān)，因?yàn)閭€(gè)人收入越高， 則其借貸購(gòu)買(mǎi)新房的能力就越強(qiáng)；預(yù)期抵押債務(wù)與抵 押費(fèi)用負(fù)相關(guān)，因?yàn)樵谄渌麠l件不變時(shí)如果購(gòu)房費(fèi)用 上升，則對(duì)住房的需求下降，從而

2、減少了對(duì)新的抵押 貸款的需求。 （ 1）首先簡(jiǎn)單做 Y（抵押貸款債務(wù)）對(duì) X2（個(gè)人收入） 回歸，得到以下結(jié)果 7.1 回歸方程中遺漏和冗余變量問(wèn)題 （ 2）將抵押債務(wù) Y對(duì)收入和抵押費(fèi)用同時(shí)回歸，得到以 下結(jié)果 2 * * * * * * 22 8 6 1 . 7 0 . 9 2 9 3 ( 1 2 2 . 5 ) ( 0 . 0 2 8 7 ) 0 . 9 8 7 0 . 9 8 6 YX RR 23 * * * * 22 1 5 5 . 6 8 0 . 8 2 5 8 5 6 . 4 3 9 3 ( 5 7 8 . 3 3 ) ( 0 . 0 6 3 5 ) ( 3 1 . 4 5 4

3、3 ) 0 . 9 8 9 4 0 . 9 8 7 8 Y X X RR 7.1 回歸方程中遺漏和冗余變量問(wèn)題 （ 3）比較兩個(gè)模型 收入變量回歸系數(shù)、截距和擬合優(yōu)度的差異 關(guān)于個(gè)人收入對(duì)抵押貸款的影響，本質(zhì)上前一個(gè)模型 只是簡(jiǎn)單略去了抵押費(fèi)用變量，反映了個(gè)人收入對(duì)抵押貸 款的總效果（直接的個(gè)人收入效果與間接的抵押貸款費(fèi)用 效果）；而后一個(gè)模型是假設(shè)抵押貸款費(fèi)用為常數(shù)，反應(yīng) 了個(gè)人收入對(duì)抵押貸款的凈影響或凈效果。兩個(gè)回歸結(jié)果 的差異性很好地反映了偏回歸系數(shù)的“偏”的含義。 如果從模型中將抵押貸款變量略去，會(huì)導(dǎo)致（ 模型的） 設(shè)定偏差或設(shè)定誤差（ specification error)。 所以

4、在設(shè)定模 型時(shí)要以經(jīng)濟(jì)理論為根據(jù)并充分利用已有研究的經(jīng)驗(yàn)，設(shè) 定回歸變量。 7.1 回歸方程中遺漏和冗余變量問(wèn)題 2、遺漏（ omitted)變量檢驗(yàn) 檢驗(yàn)對(duì)現(xiàn)有模型添加某些變量后，新變量是否對(duì) 因變量的解釋有顯著貢獻(xiàn)。檢驗(yàn)的零假設(shè)時(shí)新變量都 是不顯著的。檢驗(yàn)要求前后兩個(gè)模型的觀測(cè)樣本是相 同的，增加滯后變量作為新變量，該檢驗(yàn)是失效的。 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 其中右邊中括號(hào)內(nèi)分別表示約束條件合無(wú)約束條 件下方程的對(duì)數(shù)似然值，在零假設(shè)下統(tǒng)計(jì)量服從漸進(jìn) 的 2（ m)分布，這里 m代表約束條件的個(gè)數(shù)，比如增 加變量的數(shù)目。 102 l o g ( ) l o g ( ) L R L L 7.1 回歸方程中

5、遺漏和冗余變量問(wèn)題 2、遺漏（ omitted)變量檢驗(yàn) Eviews實(shí)現(xiàn)： View Coefficient Tests Omitted Variables Likelihood Ratio。 舉例：柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 采用美國(guó) 27家主要金屬行業(yè) SIC33的觀測(cè)值，被解釋變量 Y代 表產(chǎn)出，解釋變量為勞動(dòng)投入 L和資本投入 K，利用基本 模型形式 Y AKLeu進(jìn)行估計(jì)，檢驗(yàn)（ 1）規(guī)模報(bào)酬不變 的假設(shè)；（ 2）利用遺漏變量檢驗(yàn)是否能夠采用超越對(duì)數(shù) 生產(chǎn)函數(shù)形式。 7.1 回歸方程中遺漏和冗余變量問(wèn)題 2、冗余（ Redundant)變量檢驗(yàn) 檢驗(yàn)一部分變量的統(tǒng)計(jì)顯著性，通過(guò)判斷方程中

6、一部分 變量系數(shù)是否與 0沒(méi)有顯著差異，決定是否從方程中 剔除這些變量，檢驗(yàn)方法可以通過(guò) F檢驗(yàn)和似然比 （ LR）檢驗(yàn)。 Eviews實(shí)現(xiàn)： View Coefficient Tests Redundant Variables Likelihood Ratio。 7.2 模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn) 1、 Chow斷點(diǎn)（ Breakpoint）檢驗(yàn) 思想：是對(duì)每個(gè)子樣本單獨(dú)擬合方程，并與對(duì)于全部 樣本擬合方程進(jìn)行比較，來(lái)觀察每個(gè)子樣本的估計(jì)方 程是否有顯著差異，判斷是否存在結(jié)構(gòu)變化。 零假設(shè)：兩個(gè)子樣本擬合的方程無(wú)顯著差異。 而有顯著差異意味著模型中存在結(jié)構(gòu)變化。 7.2 模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn) 1、 Cho

7、w斷點(diǎn)（ Breakpoint）檢驗(yàn) 檢驗(yàn)之前，需先把數(shù)據(jù)分成兩個(gè)或更多的子樣本， 每個(gè)子樣本的觀察數(shù)必須多于方程參數(shù)的個(gè)數(shù)，這樣 才能對(duì)每個(gè)子樣本分別擬合方程。對(duì)總體樣本可單獨(dú) 擬合一個(gè)方程，對(duì)子樣本可分別擬合方程， Chows 斷點(diǎn)檢驗(yàn)基于這兩組方程的殘差平方和的比較。可構(gòu) 造統(tǒng)計(jì)量 ： 其中 ee是利用整個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸得到的殘差 平方和， eiei是第 i個(gè)子樣本回歸的殘差平方和。 1 1 2 2 1 , 2 2 1 1 2 2 ( ) /( 1 ) ( ) /( 2 2) k n k e e e e e e kFF e e e e n k 7.2 模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn) 1、 Chow斷

8、點(diǎn)（ Breakpoint）檢驗(yàn) Chow檢驗(yàn)時(shí)的限制條件 （ 1）應(yīng)用 Chow檢驗(yàn)必須滿足子樣本回歸模型的隨機(jī)誤 差項(xiàng)是獨(dú)立同分布，均服從正態(tài)分布。 （ 2） Chow檢驗(yàn)的結(jié)果僅僅告知以子樣本的回歸方程是 否相同，而無(wú)法告知導(dǎo)致這種差異的原因。 （ 3） Chow檢驗(yàn)假定知道結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的時(shí)間點(diǎn)。 1、 Chow斷點(diǎn)（ Breakpoint）檢驗(yàn) 實(shí)例一：估計(jì) C-D函數(shù) （ 1） 1929 1967年數(shù)據(jù)估計(jì)如下 （ 2）分 1929-1948和 1949 1967兩段數(shù)據(jù)估計(jì)如下 )lo g ()lo g ()lo g ( 210 KLY 0 4 3 4.0,9 9 4 3.0,9

9、9 4 6.0 )l o g (3 8 4.0)l o g (4 5 1.19 3 8.3)l o g ( 22 R S SRR KLY 0 3 5 5 5.0,973.0,9 7 5 9.0 )l o g (220.0)l o g (617.1058.4)l o g ( 22 R S SRR KLY 0 0 3 3 6.0,9 9 5 3.0,9 7 5 8.0 )l o g (579.0)l o g (009.1498.2)l o g ( 22 R S SRR KLY 7.2 模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn) 從而有 RSSu 0.03555 0.00336=0.0389 F統(tǒng)計(jì)量為 Eviews應(yīng)用步驟

10、： View stability test chow breakpoint test 輸入斷點(diǎn)，為第二個(gè)數(shù)據(jù)集的第一個(gè)。 264.1333038 9.0 038 9.0043 4.0 F 8 9 1 6.2)33,3(05.0 F 1、 Chow斷點(diǎn)（ Breakpoint）檢驗(yàn) 實(shí)例二：美國(guó)個(gè)人可支配收入與個(gè)人儲(chǔ)蓄的相關(guān)性分析 給出美國(guó) 1970 1995年美國(guó)個(gè)人可支配收入與個(gè) 人儲(chǔ)蓄的數(shù)據(jù)，估計(jì)個(gè)人儲(chǔ)蓄 Y對(duì)個(gè)人可支配收入 X的 變化，但考慮到在 1982年美國(guó)遭受到了和平期間最嚴(yán) 重的經(jīng)濟(jì)衰退，當(dāng)年的城市失業(yè)率高達(dá) 9.7%，是自 1948年以來(lái)失業(yè)率最高的一年，類似這種事件會(huì)擾亂 收

11、入和儲(chǔ)蓄之間的關(guān)系。這可以借助 Chow檢驗(yàn)建立回 歸方程。 7.2 模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn) 1、 Chow斷點(diǎn)（ Breakpoint）檢驗(yàn) 實(shí)例三：中國(guó)消費(fèi)函數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn) 20世紀(jì) 90年代前的中國(guó)仍然處于賣方市場(chǎng)，雖然居民收入水 平增幅較大，但商品供給有限，而且當(dāng)時(shí)的利息率較高，因而居 民收入更加傾向于儲(chǔ)蓄增值而不是消費(fèi)， 1994年我國(guó)開(kāi)始全面的 體制改革和制度創(chuàng)新。隨著國(guó)有企業(yè)體制改革的推進(jìn)和大量非國(guó) 有企業(yè)的興起并日益壯大，國(guó)內(nèi)商品市場(chǎng)日益繁榮，商品品種更 加豐富，使得居民收入用入消費(fèi)的部分增加，試用 Chow檢驗(yàn)判 斷 1994年之前和之后兩段時(shí)期消費(fèi)函數(shù)是否產(chǎn)生顯著的差異。 7.2

12、模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn) 2、 Chow預(yù)測(cè)檢驗(yàn)檢驗(yàn) Chow預(yù)測(cè)檢驗(yàn)是先對(duì)包含前 T1個(gè)觀察值的子樣本 建立模型，然后用這個(gè)模型對(duì)后 T2個(gè)觀察值的自變量 進(jìn)行預(yù)測(cè)，如果實(shí)際值與預(yù)測(cè)值有很大變動(dòng)，就可以 懷疑模型中存在結(jié)構(gòu)性變化。 T1 和 T2的相對(duì)大小，沒(méi) 有確定的規(guī)則，可能根據(jù)如戰(zhàn)爭(zhēng)、石油危機(jī)、經(jīng)濟(jì)改 革等明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)來(lái)確定，如果不存在這樣明顯的轉(zhuǎn) 折點(diǎn)，常用的方法是用 85%-90%的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，剩 余的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。 7.2 模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn) 1、模型中引入虛擬變量的必要性 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，需要經(jīng)?？紤]屬性因素（定性變量）的 影響。例如職業(yè)、 戰(zhàn)爭(zhēng)與和平 、 繁榮與蕭條 、 文化程度 、

13、 災(zāi)害 等；這些變量往往很難直接度量它們的大小，只能建 立人工變量給予賦值：“ D=1”或 ”D=0”、或者它們的程度 或等級(jí) 回歸模型中有必要引入虛擬變量，以表示這些質(zhì)的區(qū)別。 例如消費(fèi)函數(shù)，對(duì)于 平時(shí)與戰(zhàn)時(shí) ，蕭條與繁榮，乃至性別、 教育程度、 季節(jié)性 等等，都會(huì)因質(zhì)的不同表現(xiàn)出不同的差 異。 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 1、模型中引入虛擬變量的必要性 例如考慮是否受過(guò)大學(xué)教育對(duì)收入的影響，可以建 立定性變量，并賦值為 0（非大學(xué)畢業(yè)）或 1（大學(xué)畢 業(yè)），用 D表示。像這樣只取 0和 1兩個(gè)值的變量稱為 虛擬變量（ dummy variable). 可以構(gòu)造以下回歸模型 01y D

14、u 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 2、虛擬變量模型 （ 1）方差分析模型（ ANOVA） ：回歸模型中，解釋變 量?jī)H是虛擬變量的模型。例如前述是否大學(xué)畢業(yè)對(duì)初 始年薪的影響模型，大學(xué)畢業(yè)生的初始年薪期望值為 非大學(xué)畢業(yè)生的初始年薪期望為 1 2 1 2( | 1 ) 1iiE y D 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 1 2 1( | 0 ) 0iiE y D 舉例： 工作權(quán)利法對(duì)工會(huì)會(huì)員的影響 Brennan等（ 1987）建立了工會(huì)會(huì)員對(duì)工作權(quán)利法的函 數(shù)模型。研究包括 50個(gè)州，其中 19個(gè)州制定了工作權(quán)利法， 31個(gè)州允許有工會(huì)會(huì)員制度（即工會(huì)允許進(jìn)行勞資談判）。 基本模型為 Y a

15、b*D 其中 Y表示工會(huì)會(huì)員占工人的比例（ 1980）， D 1表示制 定工人工作權(quán)利法的州， D 0表示未制定工人工作權(quán)利法 的州?；貧w結(jié)果如下 * * * * * * 2 6 . 6 8 1 0 . 5 1 (1 . 0 0 ) (1 . 5 8 ) YD 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 2、虛擬變量模型 （ 2）協(xié)方差分析模型（ ANCOVA）。 指引入虛擬變量 后，回歸方程中同時(shí)含有一般解釋變量和虛擬變量的 模型。例如 其中 y為大學(xué)教師的年薪， x為教齡， D 1表示男教師， D=0表示女教師，通過(guò)求期望可以得到男女教師的平 均年薪。 1 2 3i i i iy D x u 注意的幾

16、個(gè)問(wèn)題： 在模型中引入多個(gè)虛擬變量時(shí)，虛擬變量的個(gè)數(shù)應(yīng)按 下列原則確定： 如果模型中含有常數(shù)項(xiàng)，對(duì)于有 m 種 互斥的屬性類型，在模型中引入 m-1 個(gè)虛擬變量，即 每個(gè)虛擬變量的個(gè)數(shù)要比該變量的分類數(shù)少 1。例如性 別有 2個(gè)互斥的屬性，引用 2-1=1個(gè)虛擬變量。否則就 會(huì)陷入虛擬變量陷阱，存在完全的多重共線性，不能 得到參數(shù)的唯一估計(jì)值。 賦值為 0的一類稱為基準(zhǔn)類、對(duì)比類等。 虛擬變量 D的系數(shù)稱為差別截距系數(shù)。 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 3、虛擬變量的引入方式 （ 1）加法方式 影響截距 虛擬變量 D 與其它解釋變量在模型中是相加關(guān)系，稱 為虛擬變量的 加法引入方式 。加法引入

17、方式引起 截距 變動(dòng) 例如討論消費(fèi)問(wèn)題，消費(fèi)水平 C主要由收入水平 Y決定， 但是當(dāng)特殊情況出現(xiàn)時(shí)政府會(huì)采取對(duì)消費(fèi)品限量供應(yīng) 措施，因此引入虛擬變量 D來(lái)表示這些特殊情況與非 特殊情況。 運(yùn)用虛擬變量改變回歸直線的截距 b2 b0 x c Y=b0+b1X Y=(b0+b2)+b1X Y=b0+b1X+b2D+e D=0正常 D=1反常 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 3、虛擬變量的引入方式 （ 2）乘法方式 影響斜率 模型中虛擬變量與其它解釋變量是相乘關(guān)系，稱為虛擬 變量的 乘法引入方式。 乘法引入方式引起 斜率變動(dòng) 例如 D=1 異常時(shí)期 D=0 正常時(shí)期，設(shè)定以下模型 Y= b0 + b

18、1 X+b2 D X +e, b2表示差別斜率 則異常時(shí)期 模型：（截距相同斜率不同） Y= b0 + （ b1 +b2 ） X +e 則正常時(shí)期 模型：（截距相同斜率不同） Y= b0 + b1 X +e 運(yùn)用虛擬變量改變回歸直線的斜率 C=b0+b1x C=b0+(b1+b2)x x c Y=b0+b1X+b2DX D=1反常 D=0正常 加法與乘法組合引入 截距與斜率均不同 例如 D=1表示異常時(shí)期， D=0 表示正常時(shí)期，設(shè)定模型 Y=b0+ b1 X+ b2D + b3D X +e 則異常時(shí)期 模型：（截距與斜率均不同） Y= (b0 + b2) +（ b1 +b3） x +e 反常

19、時(shí)期 模型：（截距與斜率均不同） Y= b0 + b1 x +e 運(yùn)用虛擬變量同時(shí)改變回歸直線的截距和斜率 Y=(b0+b2)+(b1 +b3)x+e Y=b0+b1x+e 正常時(shí)期 Y=b0+b1X+b2D+b3DX+e D=1反常 D=0正常 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 3、虛擬變量的引入方式 （ 3）臨界指標(biāo)的虛擬變量的引入 在經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)折時(shí)期，可以建立臨界值指標(biāo)的虛擬變 量模型來(lái)反映。設(shè)轉(zhuǎn)折時(shí)期 t* ，轉(zhuǎn)折時(shí)期的指標(biāo)值 = x*，設(shè)定虛擬變量 D=1（ t = t*） D=0（ t t*）， 建立模型 y = b0 + b1 x + b2 ( x-x*) D +e 則 t = t*

20、時(shí) y = b0 -b2 x*+ (b1+ b2) x +e 當(dāng) t = t*時(shí)， x=x* 兩式計(jì)算的 y 相等，兩條直線在轉(zhuǎn) 折期連接成一條折線 臨界折線的圖例 y = b0 + b1 x* ( t*) X* x y y = b0 + b1 x + b2 ( x-x*) D 折線回歸 G0 G1 84 88 G I t84 D1=0 G0 t88 D2=0 G1 D1、 D2處理 3狀態(tài) I=b0+b1G+b2(G-G0)D1+b3(G-G1)D2+e 4、對(duì)虛擬變量的解釋 例如 Log(wage)=0.417-0.297female+0.080educ +0.029exper+ Fema

21、le的系數(shù)近似表示在 educ、 exper等相同水平上， 女人比男人約少掙 100 0.297%=29.7% 精確的百分比如何計(jì)算？（ 25.7%) 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 5、應(yīng)用舉例 例 1、棒球運(yùn)動(dòng)員薪水影響因素模型 在前述棒球運(yùn)動(dòng)員薪水的數(shù)據(jù)中，運(yùn)動(dòng)員有如下 六個(gè)位臵可供選擇： frstbase, scndbase, thrdbase, shrtstop, outfield和 catcher。為了說(shuō)明不同位臵上薪水 的差異，以外場(chǎng)手（ outfield）那一組為基組，應(yīng)將哪 些虛擬變量作為自變量？ 7.3 包含虛擬變量的回歸模型 5、應(yīng)用舉例

22、例 2、工資上性別歧視的檢驗(yàn) 基本模型如下： Log(wage)=a0+a1*female+a2*educ+a3*exper +a4*tenure 其中 tenure表示現(xiàn)職任期。模型中可以包含 female與 educ的 交叉項(xiàng)，以反映男女在受教育回報(bào)中的差異，也可在回歸 中包括 exper和 tenure的二次項(xiàng)。采用 Wooldridge中的數(shù)據(jù) 集 Wage1.Raw估計(jì)不同模型 7.4 可線性化的非線性模型 1、（雙）對(duì)數(shù)模型（冪函數(shù)曲線） 該模型能夠?qū)椥赃M(jìn)行度量，模型中 B2度量了 y對(duì) x的 彈性。由于由雙對(duì)數(shù)模型所得到的彈性是一個(gè)常數(shù)， 所以雙對(duì)數(shù)模型又稱為不變彈性模型。 如

23、何選擇（對(duì)數(shù)）線性模型 : 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇。 根據(jù)數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，再比較。 uxBBy lnln 21 實(shí)例：利用雙對(duì)數(shù)模型估計(jì)對(duì) Widget的需求 lnY=3.9617-0.2272lnX 線性模型與對(duì)數(shù)線性模型的比較： （ 1）根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行確定； （ 2） R2系數(shù)不能作為選擇的根據(jù)； （ 3）模型中變量之間的相關(guān)性（以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)）、預(yù)期的 解釋變量系數(shù)的符號(hào)、統(tǒng)計(jì)顯著性以及類似彈性系數(shù)等應(yīng)該 成為選擇模型的基本準(zhǔn)則； （ 4）兩類模型彈性系數(shù)的比較：平均彈性與不變彈性系數(shù) 2、多元對(duì)數(shù)線性回歸模型 其中 B2、 B3又稱為偏彈性系數(shù)。 實(shí)例：能源需求函數(shù) 給出 1960-1982年

24、間 7個(gè) OECD國(guó)家（美國(guó)、加拿 大、德國(guó)、英國(guó)、意大利、日本、法國(guó)）的總最終能 源需求指數(shù)（ Y）、實(shí)際的 GDP（ X2）、實(shí)際能源價(jià) 格（ X3）的數(shù)據(jù)，所有指數(shù)均以 1970年為基準(zhǔn)，建立 能源需求函數(shù)。 uxBxBBy 33221 lnlnln 7.4 可線性化的非線性模型 3、對(duì)數(shù)線性模型 其中 B2表示 y對(duì) x的半彈性，即當(dāng) x增加一單位時(shí) y的百分 數(shù)變化。 例 1：美國(guó)未償付消費(fèi)者信貸的增長(zhǎng) 由復(fù)利計(jì)算公式 Yt=Y0(1+r)t 可以得到 ln Yt=B1+B2t+ut 例 2：我國(guó)實(shí)際 GDP平均增長(zhǎng)率 uxBBy 21ln 7.4 可線性化的非線性模型 4、線性對(duì)數(shù)

25、模型（對(duì)數(shù)曲線） 模型給出了 x變動(dòng)一個(gè)百分點(diǎn)時(shí) y的絕對(duì)變動(dòng)量 例：美國(guó) GNP與貨幣供給間的關(guān)系 假定美聯(lián)儲(chǔ)很關(guān)注貨幣供給的變動(dòng)對(duì) GNP的影響（貨 幣供給是由 FED控制的），建立 GNP和貨幣供給（ M2）之 間的模型 Y=B1+B2lnX2+u xx yB uxBBy 的相對(duì)變化量 的絕對(duì)變化量 x y ln 2 21 7.4 可線性化的非線性模型 7.4 可線性化的非線性模型 5、雙曲函數(shù)模型（雙曲線） 由于 B1、 B2符號(hào)的差異雙曲函數(shù)模型具有不同的形狀。 舉例：美國(guó)的菲利普斯曲線 利用美國(guó) 1955-1984年的數(shù)據(jù)，建立通貨膨脹率和失業(yè) 率之間的反向關(guān)系，建立雙曲函數(shù)；如果

26、考慮到 20世紀(jì) 70 年代出現(xiàn)的石油危機(jī)所引發(fā)的滯脹，通貨膨脹伴隨著高 失業(yè)率，進(jìn)一步在模型中引入代表通貨膨脹預(yù)期變量 （例如用通貨膨脹前期值來(lái)表示），重新建立模型。 uxBBy )1(21 6、多項(xiàng)式模型 例 1：環(huán)境 Kuznets曲線 例 2：總成本函數(shù)曲線，利用以下數(shù)據(jù)估計(jì)以上多項(xiàng)式模 型。 uxBxBxBBy 342321 總成本 Y 193 226 240 244 257 260 274 297 350 420 產(chǎn)出 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.4 可線性化的非線性模型 7、 Box-Cox轉(zhuǎn)換 如果 1，模型是線性的， 0，模型是對(duì)數(shù)線性或半對(duì) 數(shù)線性的；

27、 1，模型是雙曲形式； 的其他不同取值 會(huì)產(chǎn)生不同的函數(shù)形式。 ( ) ( 1 ) /g x x 7.4 可線性化的非線性模型 不同函數(shù)形式模型小結(jié) 模 型 形式 斜率 dY/dX 彈性 （ dY/dX）（ X/Y) 線性模型 Y B1 B2X B2 B2(X/Y) 雙對(duì)數(shù)模型 lnY= B1 B2lnX B2(Y/X) B2 對(duì)數(shù) -線性模型 lnY= B1 B2X B2Y B2X 線性 -對(duì)數(shù)模型 Y= B1 B2lnX B2(1/X) B2(1/Y) 雙曲函數(shù)模型 Y= B1 B2(1/X) B2(1/X2) B2(1/XY) 實(shí)例 某企業(yè)在 16個(gè)月的某產(chǎn)品產(chǎn)量和單位成本資料，試分 別

28、采用雙曲線、對(duì)數(shù)曲線和冪函數(shù)曲線模型分析二者 的關(guān)系。其中 X表示產(chǎn)量（臺(tái) )， Y表示單機(jī)成本（元 / 臺(tái)）。 月度 X Y 月度 X Y 1 4300 346.23 9 6024 310.82 2 4004 343.34 10 6194 306.83 3 4300 327.46 11 7558 305.11 4 5016 313.27 12 7381 300.71 5 5511 310.75 13 6950 306.84 6 5648 307.61 14 6471 303.44 7 5876 314.56 15 6354 298.03 8 6651 305.72 16 8000 296.2

29、1 7.5 不可線性化的非線性模型 1、一般形式 2、非線性最小二乘法 3、根據(jù)前述數(shù)據(jù)利用 NLS方法建立單位成本的雙曲線模 型 ),( xfy n i ii xfySM i n 1 2),()( xy /3 5 5 4 5 778.2 5 0 實(shí)例 1： 建立中國(guó)糧食生產(chǎn)函數(shù)模型。 給定我國(guó) 1975-1999年糧食產(chǎn)量（ Y）、農(nóng)業(yè)勞動(dòng)力 （ L）、播種面積（ M）和化肥使用量（ K）數(shù)據(jù)，建立 單位面積的產(chǎn)量與單位面積勞動(dòng)力、單位面積化肥施用量 之間的多元回歸模型，并進(jìn)行模型檢驗(yàn)與結(jié)果分析。 7.5 不可線性化的非線性模型 1Y A L K 1/ ( / ) ( / )Y M A L

30、M K M 實(shí)例 2： 建立中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需求函數(shù)模型。 根據(jù)需求理論，居民對(duì)食品的消費(fèi)需求函數(shù)大致為 ),( 01 PPXfQ Q:居民對(duì)食品的需求量， X：消費(fèi)者的消費(fèi)支出總額 , P1：食 品價(jià)格指數(shù)， P0：居民消費(fèi)價(jià)格總指數(shù)。 零階齊次性，當(dāng)所有商品和消費(fèi)者貨幣支出總額按同一比例 變動(dòng)時(shí)，需求量保持不變 )/,/( 010 PPPXfQ (1) (2) 為了進(jìn)行比較，將同時(shí)估計(jì)（ *）式與（ *）式。 7.5 不可線性化的非線性模型 根據(jù) 恩格爾定律 ，居民對(duì) 食品的消費(fèi)支出 與居民的 總支 出 間呈 冪函數(shù) 的變化關(guān)系 : 首先 ,確定具體的函數(shù)形式 321 01 PPAXQ

31、 對(duì)數(shù)變換 : 031210 lnlnln)l n ( PPXQ (3) 考慮到零階齊次性時(shí) )/l n ()/l n ()l n ( 012010 PPPXQ (4) (4)式也可看成是對(duì) （ 3） 式施加約束 而得 。 因此 ， 對(duì) （ *） 式進(jìn)行回歸 ， 就意味著原需求函數(shù)滿足 零階齊次性條件 。 0321 表 3 . 5 . 1 中國(guó)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)支出（元）及價(jià)格指數(shù) X ( 當(dāng)年價(jià) ) X1 ( 當(dāng)年價(jià) ) GP ( 上年 = 1 0 0 ) FP ( 上年 = 1 0 0 ) X C ( 1 9 9 0 年價(jià) ) Q ( 1 9 9 0 年價(jià) ) P 0 ( 1 9 9 0 = 1

32、 0 0 ) P 1 ( 1 9 9 0 = 1 0 0 ) 1 9 8 1 4 5 6 . 8 4 2 0 . 4 1 0 2 . 5 1 0 2 . 7 6 4 6 . 1 3 1 8 . 3 7 0 . 7 1 3 2 . 1 1 9 8 2 4 7 1 . 0 4 3 2 . 1 1 0 2 . 0 1 0 2 . 1 6 5 9 . 1 3 2 5 . 0 7 1 . 5 1 3 2 . 9 1 9 8 3 5 0 5 . 9 4 6 4 . 0 1 0 2 . 0 1 0 3 . 7 6 7 2 . 2 3 3 7 . 0 7 5 . 3 1 3 7 . 7 1 9 8 4 5 5

33、 9 . 4 5 1 4 . 3 1 0 2 . 7 1 0 4 . 0 6 9 0 . 4 3 5 0 . 5 8 1 . 0 1 4 6 . 7 1 9 8 5 6 7 3 . 2 3 5 1 . 4 1 1 1 . 9 1 1 6 . 5 7 7 2 . 6 4 0 8 . 4 8 7 . 1 8 6 . 1 1 9 8 6 7 9 9 . 0 4 1 8 . 9 1 0 7 . 0 1 0 7 . 2 8 2 6 . 6 4 3 7 . 8 9 6 . 7 9 5 . 7 1 9 8 7 8 8 4 . 4 4 7 2 . 9 1 0 8 . 8 1 1 2 . 0 8 9 9 . 4

34、 4 9 0 . 3 9 8 . 3 9 6 . 5 1 9 8 8 1 1 0 4 . 0 5 6 7 . 0 1 2 0 . 7 1 2 5 . 2 1 0 8 5 . 5 6 1 3 . 8 1 0 1 . 7 9 2 . 4 1 9 8 9 1 2 1 1 . 0 6 6 0 . 0 1 1 6 . 3 114 .4 1 2 6 2 . 5 7 0 2 . 2 9 5 . 9 9 4 . 0 1 9 9 0 1 2 7 8 . 9 6 9 3 . 8 1 0 1 . 3 9 8 . 8 1 2 7 8 . 9 6 9 3 . 8 1 0 0 . 0 1 0 0 . 0 1 9 9 1

35、1 4 5 3 . 8 7 8 2 . 5 1 0 5 . 1 1 0 5 . 4 1 3 4 4 . 1 7 3 1 . 3 1 0 8 . 2 1 0 7 . 0 1 9 9 2 1 6 7 1 . 7 8 8 4 . 8 1 0 8 . 6 1 1 0 . 7 1 4 5 9 . 7 8 0 9 . 5 1 1 4 . 5 1 0 9 . 3 1 9 9 3 2 1 1 0 . 8 1 0 5 8 . 2 1 1 6 . 1 1 1 6 . 5 1 6 9 4 . 7 9 4 3 . 1 1 2 4 . 6 1 1 2 . 2 1 9 9 4 2 8 5 1 . 3 1 4 2 2 .

36、5 1 2 5 . 0 1 3 4 . 2 2 1 1 8 . 4 1 2 6 5 . 6 1 3 4 . 6 1 1 2 . 4 1 9 9 5 3 5 3 7 . 6 1 7 6 6 . 0 1 1 6 . 8 1 2 3 . 6 2 4 7 4 . 3 1 5 6 4 . 3 1 4 3 . 0 1 1 2 . 9 1 9 9 6 3 9 1 9 . 5 1 9 0 4 . 7 1 0 8 . 8 1 0 7 . 9 2 6 9 2 . 0 1 6 8 7 . 9 1 4 5 . 6 1 1 2 . 8 1 9 9 7 4 1 8 5 . 6 1 9 4 2 . 6 1 0 3 . 1

37、1 0 0 . 1 2 7 7 5 . 5 1 6 8 9 . 6 1 5 0 . 8 1 1 5 . 0 1 9 9 8 4 3 3 1 . 6 1 9 2 6 . 9 9 9 . 4 9 6 . 9 2 7 5 8 . 9 1 6 3 7 . 2 1 5 7 . 0 1 1 7 . 7 1 9 9 9 4 6 1 5 . 9 1 9 3 2 . 1 9 8 . 7 9 5 . 7 2 7 2 3 . 0 1 5 6 6 . 8 1 6 9 . 5 1 2 3 . 3 2 0 0 0 4 9 9 8 . 0 1 9 5 8 . 3 1 0 0 . 8 9 7 . 6 2 7 4 4 . 8

38、1 5 2 9 . 2 1 8 2 . 1 1 2 8 . 1 2 0 0 1 5 3 0 9 . 0 2 0 1 4 . 0 1 0 0 . 7 1 0 0 . 7 2 7 6 4 . 0 1 5 3 9 . 9 1 9 2 . 1 1 3 0 . 8 X：人均消費(fèi) X1：人均食 品消費(fèi) GP：居民消 費(fèi)價(jià)格指數(shù) FP：居民食 品消費(fèi)價(jià)格指 數(shù) XC：人均消 費(fèi)（ 90年價(jià)） Q：人均食品 消費(fèi)（ 90年價(jià)） P0：居民消費(fèi) 價(jià)格縮減指數(shù) （ 1990=100） P：居民食品 消費(fèi)價(jià)格縮減 指數(shù) （ 1990=100 200 400 600 800 1 0 0 0 1 2 0 0 1 4 0

39、 0 1 6 0 0 1 8 0 0 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Q 中國(guó) 城鎮(zhèn) 居民 人均 食品 消費(fèi) 特征： 消費(fèi)行為在 19811995年間表現(xiàn) 出較強(qiáng)的一致性 1995年之后呈現(xiàn)出另 外一種變動(dòng)特征 。 建立 19811994年中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的消費(fèi)需求模型 : )l n (92.0)l n (08.0)l n (05.163.3)l n ( 01 PPXQ (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34) 按零階齊次性表達(dá)式回歸 : )/l n (09.0)/l n (07.183.3)l n ( 010 PPPXQ （ 75.86） (52.66) (-3.62) 為了比較，改寫(xiě)該式為： 01 010 ln98.0ln09.0ln07.183.3 )ln( l n09.0)ln( l n07.183.3ln PPX PPPXQ )l n (92.0)l n (08.0)l n (05.163.3)l n ( 01 PPXQ 發(fā)現(xiàn)與 接近。意味著：所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次 性特征