中考平面幾何知識(shí)點(diǎn).ppt

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初中生平面幾何,知識(shí)點(diǎn)及例題解答,目錄,一、圖形的認(rèn)知及簡(jiǎn)單圖形,幾何圖形的定義,,立體圖形和平面圖形,展開圖、多面體以及旋轉(zhuǎn)體,直線、射線、線段,線段的中點(diǎn),如圖，點(diǎn)B把線段AC分成兩條相等的線段，點(diǎn)B叫做線段AC的中點(diǎn)； 則AB=BC AB= 1 2 AC，或AC=2AB BC= 1 2 AC，或AC=2BC,角,如圖，OC為∠AOB的平分線，則 ∠AOC=∠BOC ∠AOB=2∠AOC=2∠COB ∠AOC=∠COB= 1 2 ∠AOB,角的分類,平角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置和起始位置成一條直線時(shí)，所成的角叫做平角 銳角：小于直角的角叫做銳角 直角：平角的一半叫做直角 鈍角：大于直角而小于平角的角 周角：把一條射線繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊重合時(shí)，所成的角叫做周角 周角、平角、直角的關(guān)系：1周角=2平角=4直角=360,余角、補(bǔ)角,示例,如右圖，∠1+∠2=90，∠1+∠3=180，∠1=∠4，則： ∠1與∠2互為余角，即∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角； ∠1與∠3互為補(bǔ)角，即∠1是∠3的補(bǔ)角，∠3也是∠1的補(bǔ)角。 因?yàn)椤?=∠4，則∠4與∠2互為余角；∠4與∠3互為補(bǔ)角；,,,,1,2,3,,4,直線的相交,一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角是對(duì)頂角； 兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩個(gè)角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角； 對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。 兩條直線相交所形成的角為90度，則這兩條直線垂直，那么一條直線就叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足；如圖，AB與CD垂直相交，交點(diǎn)為O，則∠COB=90，直線CD就是AB的垂線（AB也是CD的垂線），點(diǎn)O就叫做垂足； 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直； 兩條直線相交不成垂角時(shí)，其中一條直線叫做另一條直線的斜線，它們的交點(diǎn)叫斜足； 直線外一點(diǎn)到它與這條直線垂足的連線，叫做垂線段； 連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)所有線段中，垂線段最短，我們把垂線段的長(zhǎng)度，叫點(diǎn)到直線的距離；,O,平行線定義、性質(zhì),定義：同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線。 性質(zhì)： 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行； 如果a//b，b//c，則b//c； 兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)； 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、對(duì)頂角： 右圖中，∠1與∠2的位置關(guān)系稱為同位角，∠1=∠2； ∠2與∠4的位置關(guān)系稱為內(nèi)錯(cuò)角，∠2=∠4； ∠3與∠4的位置關(guān)系稱為同旁內(nèi)角，∠3+∠4=180； ∠1與∠4的位置關(guān)系稱為對(duì)頂角，∠1=∠4；,,1,,2,,3,,4,例題,如圖，直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)，直線l4∥l1，若∠1=124，∠2=88，則∠3的度數(shù)為（ ） A． 26 B． 36 C． 46 D． 56,如圖，∵直線l4∥l1， ∴∠1+∠AOB=180，而∠1=124， ∴∠AOB=56， ∴∠3=180﹣∠2﹣∠AOB =180﹣88﹣56 =36， 故選B．,,4,二、平面直角坐標(biāo)系,定義以及知識(shí)點(diǎn),平面直角坐標(biāo)系：我們可以在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系； 水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向； 垂直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，取向上方向?yàn)檎较颍?兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)； 象限：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限； 坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)寫作（x，y）； 第一象限：x0, y0 第二象限：x0 第三象限：x0, y0 橫坐標(biāo)上的點(diǎn)坐標(biāo)（x，0） ，縱坐標(biāo)上的點(diǎn)坐標(biāo)（0，y） 距離問題：點(diǎn)（x,y）距x軸的距離為y的絕對(duì)值，距y軸的距離為x的絕對(duì)值； 坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離：點(diǎn)A（a,0）點(diǎn)B（b,0）,則AB距離為a-b的絕對(duì)值；點(diǎn)A（0,a’）點(diǎn)B（0，b’），則AB距離為a’-b’的絕對(duì)值；,X軸,Y軸,定義及知識(shí)點(diǎn),角平分線上的點(diǎn)： 若（x,y）為第一、三象限角平分線上的點(diǎn)，則x=y； 若（x,y）為第二、四象限角平分線上的點(diǎn)，則x+y=0； 兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)數(shù)相等或者互為相反數(shù)； 若直線l與x軸平行，則直線l上的點(diǎn)縱坐標(biāo)值相等；若直線l與y軸平行，則直線l上點(diǎn)橫坐標(biāo)值相等；對(duì)稱問題： 一點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則x同y反； 一點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則y同x反； 一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則x反y反；,坐標(biāo)點(diǎn)（x,y）的平移,三、三角形,定義、性質(zhì)、知識(shí)點(diǎn)、全等三角形、相似三角形及勾股定理,三角形-定義,與三角形有關(guān)的線段,三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。 在實(shí)際運(yùn)用中，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形； 在實(shí)際運(yùn)用中，已經(jīng)兩邊，則第三邊的取值范圍為：兩邊之差第三邊兩邊之和； 所有通過周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形； 三角形的高：從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高（如圖1）； 三角形的中線：連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線（如圖2）； 三角形的中線將三角形分為面積相等的兩部分； 三角形的平分線：畫∠A的平分線AD，交∠A所對(duì)的邊BC于D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線（如圖3）； 三角形的中線、角平分線、高均為線段； 三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性；,1,2,3,三角形的高不一定在三角形內(nèi)部,角平分線與中線都在三角形內(nèi)部,角平分線,中線,與三角形有關(guān)的角,三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度； 三角形最多只有一個(gè)直角或者鈍角，最少有兩個(gè)銳角； 三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角； 結(jié)合內(nèi)角和可知：三角形的外角最少兩個(gè)鈍角； 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； 三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角； 三角形的外角和為360度； 等腰三角形兩個(gè)底角相等，等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等； ∠A+∠B=∠C或者∠A-∠B=∠C等相似形式，均可推出三角形為直角三角形； ∠A+∠B∠C等相似形式，均可推出三角形為鈍角三角形；,三角形的角平分線,例題,如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E． 求證：∠CBE=∠BAD．,證明： ∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD．,全等三角形,全等三角形的定義和性質(zhì),全等三角形的判定,普通全等三角形的判定方法： 三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（邊邊邊） 兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（邊角邊） 兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（角邊角） 兩個(gè)角和其中一個(gè)角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（角角邊） 直角三角形全等的判定： 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；（斜邊直角邊） 角平分線性質(zhì)及判定： 性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等； 判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上；,例題,已知，AB、CD相交于點(diǎn)O，AC//DB，OC=OD，E、F為AB上兩點(diǎn)，且AE=BF，求證：CE=DF。,證明： 由AC//DB，可得∠A=∠B，∠ACO=∠BOD， 又∠1=∠2， 所以△AOC≌△BOD， ∴AC=BD ∵AE=BF， 則△AEC與△BFD中，兩邊及夾角相等， ∴△AEC≌△BFD ∴CE=DF,例題,在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作AE//BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E，求證：AD=CE．,證明： ∵AE//BD， ∴∠EAC=∠ACB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠EAC， 在△ABD和△CAE中，∠B=∠EAC， AB=AC，∠BAD=∠ACE， ∴△ABD≌△CAE， ∴AD=CE,相似三角形,相似三角形的定義,相似圖形： 形狀相同的圖形叫做相似圖形； 相似多邊形對(duì)邊角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等； 相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比； 相似三角形 形狀相同的三角形叫相似三角形；,相似三角形的判定,相似三角形的性質(zhì),相似圖形的周長(zhǎng)與面積,例題,如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，DE//AC，若BD=4，DA=2，BE=3，則EC=__________.,,A,B,C,D,E,3,2,4,？,解： ∵DE//AC ∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C ∴△BDE∽△BAC ∴BD：BA=BE：BC ∵BD=4，DA=2，則BA=6 又BE=3 ∴BC= 9 2 ∴EC=BC-BE= 3 2,勾股定理,勾股定理與直角三角形,例題,如右圖，直角三角形的兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度分別為5、12，那么 根據(jù)勾股定理，求出斜邊長(zhǎng)度。,解： 根據(jù)勾股定理a2+b2=c2, a=5,b=12, 那么c= 5 2 +12 ， ∴c=13， 即該直角三角形的斜邊長(zhǎng)度為13；,直角三角形中銳角的三角函數(shù),注意這里的鄰邊不包括斜邊,銳角三角函數(shù)的性質(zhì),銳角三角函數(shù)不能取負(fù)值； 0＜ sinA＜ l； 0＜cosA＜l； 銳角的正弦和余弦之間的關(guān)系： 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值； sinA＝cos（90一 A）＝cosB；cosA＝sin（90一A）＝sinB 銳角的正切和余切之間的關(guān)系： 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值； 任意銳角的余切值等于它的余角的正切值； tanA＝cot（90一 A）＝cotB；cotA＝tan（90－A）＝ tanB 注：A+B=90,三角函數(shù)的變化規(guī)律,角度在0-90變化時(shí),角度在0-90變化時(shí),同角三角函數(shù)關(guān)系式及特殊角的三角函數(shù)值,（1）sinA+cosA=1 （2）tanA= 1 cot?? （3）tanA= sin?? cos??,利用三角函數(shù)解直角三角形,例如一桿AB直立地面，從D點(diǎn)看桿頂A，仰角為60，從C點(diǎn)看桿頂A，仰角為30，若CD長(zhǎng)為10米，求桿AB的高。,,設(shè)AB=x 即tan60= ?? BD ，tan30= ?? 10+???? ， x= 3 BD 即 3 ??=10+BD 3 ??=10+ 1 3 ??，2x=10 3 ， ∴x=5 3 即桿高約為8.66米。,四、多邊形與軸對(duì)稱圖形,定義、性質(zhì),多邊形的定義,多邊形的性質(zhì),內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角； 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角； 對(duì)角線：連接多邊形不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線； 多邊形的內(nèi)角和：N邊形內(nèi)角和=（n-2)*180度； 多邊形的外角和=360度； 對(duì)于N邊形，最多只能有三個(gè)外角為鈍角，最多只能有三個(gè)內(nèi)角為鈍角； 對(duì)于N邊形，最多只能有四個(gè)外角為直角，最多有四個(gè)內(nèi)角為直角，此時(shí)N=4； 對(duì)于N4的N邊形，最多只能有三個(gè)外角為直角，最多有三個(gè)內(nèi)角為直角； 從N邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引N-3條對(duì)角線，它們將N邊形分成N-2個(gè)三角形； 從N邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引N-3條對(duì)角線，N邊形共有對(duì)角線N*(N-3)/2個(gè)；,正多邊形,軸對(duì)稱,如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸。注意：線段不能稱為對(duì)稱軸。 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)； 經(jīng)過線段中點(diǎn)且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線； 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線的垂直平分線； 類似的，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；,性質(zhì)與判定,五、四邊形,平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形,平行四邊形,定義：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形； 性質(zhì)： 對(duì)邊相等 夾在平行線間的平行線段相等 對(duì)角相等 對(duì)角線互相平分 判定： 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 ---平行線間的距離：兩平行線間最短的線段（垂直）,矩形,定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形； 性質(zhì)： 矩形的四個(gè)角都是直角 矩形的對(duì)角線相等 引申：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 判定： 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,判定四邊形是矩形的方法,例題,在平行四邊形 ABCD 中，過點(diǎn) D 作 DE ⊥ AB 于點(diǎn) E ，點(diǎn) F 在邊 CD 上， DF = BE ，連接 AF ， BF . 求證： （1）四邊形BFDE是矩形； （2）若CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分∠DAB；,答案,證明： （1）∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴DC//AB即DF//BE 又∵DF=BE， ∴四邊形DEBF為平行四邊形， 又∵DE⊥AB，即∠DEB=90， ∴四邊形DEBF為矩形,（2）∵四邊形DEBF為矩形 ∴∠BFC=90 ∵CF=3，BF=4 ∴BC= 3 2 +4 =5 ∴AD=BC=5 ∴AD=DF=5 ∴∠DAF=∠DFA ∵∠DAF=∠FAB ∴∠DAF=∠FAB 即AF平分∠DAB,菱形,定義：有一鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 性質(zhì)： 菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角； 判定： 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形； 四邊相等的四邊形是菱形； 有一鄰邊相等的平行四邊形是菱形；,菱形的判定方法,正方形,定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的平行四邊形叫做正方形； 性質(zhì)： 既是矩形，又是菱形； 具有矩形的性質(zhì)，也有菱形的性質(zhì)； 四個(gè)角都是直角，四條邊都相等； 兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分； 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角； 判定： 兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形； 兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形；,判定四邊形是正方形的方法,梯形,定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形； 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形； 有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形； 等腰梯形的性質(zhì)： 等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等； 等腰梯形的兩條對(duì)角線相等； 等腰梯形的判定： 同一個(gè)底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形； 兩腰相等的梯形是等腰梯形；,中位線,三角形的中位線： 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線 （三角形的中位線與中線不同） 梯形的中位線： 連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形中位線 三角形中位線定理： 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半 梯形中位線定理： 梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半,各類圖形的面積,六、圓,定義、定理、性質(zhì)、知識(shí)點(diǎn),圓的定義和性質(zhì),定義： 在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是一個(gè)圓里最長(zhǎng)的弦； 性質(zhì)： 圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于定長(zhǎng)； 到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一平面上； 圓心為O、半徑為r的圓可以看成所有到定點(diǎn)O距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合； 圓的面積公式：S=πr 圓的周長(zhǎng)公式：C=2πr 垂直于弦的直徑平分弦，平且平分弦所對(duì)的兩條??；平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；,弧、圓心角、圓周角,?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱??； 圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓； 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角； 圓是軸對(duì)稱圖形：任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸； 圓是中心對(duì)稱圖形：圓心O是它的對(duì)稱中心； 三個(gè)相等： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等； 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們對(duì)應(yīng)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等； 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等； 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角； 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半； 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90圓周角所對(duì)應(yīng)的弦是直徑； 圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角之和為180；（內(nèi)接四邊形4個(gè)頂點(diǎn)都在圓上）,點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,直線和圓的位置關(guān)系,切線,判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線； 性質(zhì)： 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑； 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)； 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心； 切線長(zhǎng)：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作過圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)，就叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)； 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角；,例題,O,O,B,C,A,D,E,∵∠AOC=80，OB=OC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，則∠B=∠OCB=40； ∵AE為切線，則∠BAE=90 ∴∠ADB+∠B=90 ∴∠ADB=50 答案：B,弦切角,頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角。 弦切角定理：弦切角等于它所對(duì)應(yīng)的弧的圓周角。 推理：如果兩個(gè)弦切角所對(duì)應(yīng)的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等，如右圖， ∠FAE=∠ACE=∠ADE 如圖，AB為切線，則有 ∠C=∠BAE，∠BAE=∠D ∴∠C=∠D,F,圓與三角形,不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓； 經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，則個(gè)圓叫做三角形的外接圓； 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心； 特殊情況： 直角三角形的外心在斜邊上的中點(diǎn)； 三角形的內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心； 三角形面積=內(nèi)切圓半徑r*三角形周長(zhǎng)L/2；,例題,如圖，AB是⊙O的弦，AB=6，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45．若點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是_________.,∵M(jìn)、N分別是AB、BC的中點(diǎn)， ∴MN= 1 2 AC， ∴當(dāng)AC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值， 當(dāng)AC是直徑時(shí)最大，如圖， ∵∠ACB=∠D=45，AB=6， ∴AD=6 2 ， ∴MN= 1 2 AD=3 2,圓與圓的位置關(guān)系,圓O1與圓O2半徑分別為R、r，O1與O2之間的距離為d； 圓與圓相交：兩個(gè)交點(diǎn)，R-rR+r； 圓與圓內(nèi)含：沒有交點(diǎn)，dR-r； 同心圓：圓心重合，d=0； ---相切的兩個(gè)圓，不論內(nèi)切還是外切，切點(diǎn)和兩個(gè)圓心應(yīng)該在同一直線上；,兩圓的公切線,和兩個(gè)圓都相切的直線叫兩圓的公切線，兩圓在公切線同旁時(shí)，叫外公切線，在公切線兩旁時(shí)，叫內(nèi)公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)的距離叫公切線的長(zhǎng) 如圖，若 A、B、C、D為切點(diǎn)，則AB為內(nèi)公切線長(zhǎng)，CD為外公切線長(zhǎng),扇形的弧長(zhǎng)及面積,扇形：由兩條半徑及兩條半徑組成的角對(duì)應(yīng)的弧組成的圖形； 扇形的弧長(zhǎng)L= ?????? 180 ； 扇形的面積S= ?????? 360 ； S= 1 2 Lr；,圓柱體,圓柱可以看作是由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如把矩形ABCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是一個(gè)圓柱 AB叫圓柱的軸，圓柱側(cè)面上平行軸的線段CD， C’D’,都叫圓柱的母線 圓柱的母線長(zhǎng)都相等，等于圓柱的高。 圓柱的兩個(gè)底面是平行的; 圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)方形,其中AB=高，AC=底面圓周長(zhǎng), ∴S側(cè)面=2πrh(圓柱的軸截面是長(zhǎng)方形，一邊長(zhǎng)為h，一邊長(zhǎng)為2r ，r是圓柱底半徑，h是圓柱的高),圓錐體,圓錐可以看作由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到 把Rt△OAS繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形就是圓錐 旋轉(zhuǎn)軸SO叫圓錐的軸，通過底面圓的圓心，且垂直底面。 連結(jié)圓錐頂點(diǎn)和底面圓的任意一點(diǎn)的SA、SA’,都叫圓錐的母線，母線長(zhǎng)都相等 圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形SAB,半徑是母線長(zhǎng)，AB是2πr。（底面的周長(zhǎng)），所以圓錐側(cè)面積為S側(cè)面=πrL（L為母線長(zhǎng)）,A’,例題,如圖，在每一個(gè)四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60，AD=8，BC=12． （1）如圖①，點(diǎn)M是四邊形ABCD邊AD上的一點(diǎn)，則△BMC的面積為 ______ （2）如圖②，點(diǎn)N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)你求出△BNC周長(zhǎng)的最小值； （3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最??？若存在，求出此時(shí)cos∠BPC的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．,答案,（1）如圖①，過A作AE⊥BC， ∴四邊形AECD為矩形， ∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4， 在Rt△ABE中，∠ABE=60，BE=4， ∴AB=2BE=8，AE= 8 2 ?4 2 =4 3 ， 則S△BMC= 1 2 BC?AE=24 3 ； 故答案為：24 3 ；,（2）如圖②，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′N，C′D，C′B交AD于點(diǎn)N′，連接CN′，則BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′， ∴△BNC周長(zhǎng)的最小值為△BN′C的周長(zhǎng)=BN′+CN′+BC=BC′+BC， ∵AD//BC，AE⊥BC，∠ABC=60， ∴過點(diǎn)A作AE⊥BC，則CE=AD=8， ∴BE=4，AE=BE?tan60=4 3 ， ∴CC′=2CD=2AE=8 3 ， ∵BC=12， ∴BC′=4 21 ， ∴△BNC周長(zhǎng)的最小值為12+4 21,（3）如圖③所示，存在點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最小， 作BC的中垂線PQ交BC于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)P，連接BP，CP，作△BPC的外接圓O，圓O與直線PQ交于點(diǎn)N，則PB=PC，圓心O在PN上， ∵AD//BC， ∴圓O與AD相切于點(diǎn)P， ∵PQ=DC=4 3 6, ∴PQBQ， ∴∠BPC＜90，圓心O在弦BC的上方， 在AD上任取一點(diǎn)P′，連接P′B，P′C，P′B交圓O于點(diǎn)M，連接MC， ∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C， ∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小， 連接OB，則∠BON=2∠BPN=∠BPC， ∵OB=OP=4 3 -OQ， 在Rt△BOQ中，根據(jù)勾股定理得：OQ+6=（4 3 ﹣OQ）， 解得OQ= 3 2 ，OB= 7 2 3 ∴cos∠BPC=cos∠BOQ= OQ OB = 1 7 ， 則此時(shí)cos∠BPC的值為 1 7,