基本不等式(經(jīng)典)

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1、3.4基 本 不 等 式 : 2a bab 2002年 國 際 數(shù) 學(xué) 大 會（ ICM-2002） 在 北 京 召 開 ， 此屆 大 會 紀(jì) 念 封 上 的 會 標(biāo) 圖 案 ， 其中 央 正 是 經(jīng) 過 藝 術(shù) 處 理 的 “ 弦圖 ” 。 它 標(biāo) 志 著 中 國 古 代 的 數(shù) 學(xué) 成就 ， 又 像 一 只 轉(zhuǎn) 動 著 的 風(fēng) 車 ， 歡迎 來 自 世 界 各 地 的 數(shù) 學(xué) 家 。 一 、 問 題 引 入 情景設(shè)置 2 2+a ba b 新 課 探 究 2 2a b 2ab2 22S abS a b 四 個(gè) 三 角 形大 正 方 形 =a b特 別 地 ， 當(dāng) 時(shí) 又 有 怎 樣 的 結(jié)

2、 論 ？a b2 2+ =2a b ab新 課 探 究 一 般 地 ， 對 于 任 意 實(shí) 數(shù) ， 我 們 有 ,a b2 2 2a b ab 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) 等 號 成 立a b思 考 ： 如 何 證 明 ？ 2 2 22 2 2 ( ) 02a b ab a ba b ab 證 明 ：當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 此 時(shí)a b 2( ) 0a b 2 2 2a b ab a b a ba b a b 0, 0, 2a b a b aba b 若 則當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) 取 等 號 2a bab 22a bab 0, 0 2a b a b aba b 當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) 等 號 成 立

3、變 形 式 ： 平 方 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 取 “ =”號 0, 02a bab a b （ ）能 否 用 不 等 式 的 性 質(zhì) 進(jìn) 行 證 明 ？小 組 合 作 ： 2 2 _ _ 0 0 a b aba ba b 要 證 ：只 要 證 ：只 要 證 ：只 要 證 ： （ _-_)顯 然 上 式 成 立 . 2 ab2 aba b 在 右 圖 中 ， AB是 圓 的 直 徑 ，點(diǎn) C是 AB上 的 一 點(diǎn) ，設(shè) AC = a , BC = b 。過 點(diǎn) C作 垂 直 于 AB的 弦 DE，連 接 AD、 BD。Rt RtACD DCB 三 角 形 三 角 形與 相 似基 本 不

4、等 式 的 幾 何 意 義 是 ： “ 半 徑 不 小 于 半 弦 。 ” 2a b ab E( )a b 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 取 號a CDCD b 2CD ab CD ab P98探 究 2.代 數(shù) 意 義 ： 幾 何 平 均 數(shù) 小 于 等 于 算 術(shù) 平 均 數(shù)2.代 數(shù) 證 明 :3.幾 何 意 義 ： 半 弦 長 小 于 等 于 半 徑( 0, 0)2a bab a b （ 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號 成 立 ）二、新課講解算 術(shù) 平 均 數(shù)幾 何 平 均 數(shù)3.幾 何 證 明 :從 數(shù) 列 角 度 看 :兩 個(gè) 正 數(shù) 的 等 比 中 項(xiàng) 小 于 等 于 它 們 的

5、等 差 中 項(xiàng)1.思 考 :如 果 當(dāng) 用 去 替 換 中 的 ,能 得 到 什 么 結(jié) 論 ? 0,0 ba ,a b2 2 2a b a b ba, 基 本 不 等 式 基 本 不 等 式 ： 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a =b時(shí) ， 等 號 成 立 .當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號 成 立 .2 2 2 (a b ab a R 、 b ）重 要 不 等 式 ： ( 0, 0)2a bab a b 注 意 ：（ 1） 不 同 點(diǎn) ： 兩 個(gè) 不 等 式 的 適 用 范 圍 不 同 。（ 2） 相 同 點(diǎn) ： 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號 成 立 。 2 2R 2( )a b a b a

6、ba b 如 果 ， ， 那 么當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 取 號1.重 要 不 等 式0 0 2( )a ba b aba b 如 果 ， ， 那 么當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 取 號2.基 本 不 等 式 （ 均 值 定 理 ）基本不等式成立的要素：2a b ab （ ）（ 1） ： 看 是 否 均 為 正 數(shù) （ 2） ： 看 不 等 號 的 方 向（ 3） ： 看 等 號 是 否 能 取 到簡 言 之 ： 一 正 二 定 三 相 等 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a b 時(shí) 等 號 成 立當(dāng) 且 僅 當(dāng) a b 時(shí) 等 號 成 立(a0,b0)2a bab 2 ( 0, 0)a b ab a b 2 2 2

7、a b ab 0, 02a bab a b 2（ ）結(jié) 論 1： 兩 個(gè) 正 數(shù) 積 為 定 值 ， 則 和 有 最 小 值結(jié) 論 2： 兩 個(gè) 正 數(shù) 和 為 定 值 ， 則 積 有 最 大 值 已 知 x 1,求 x 的 最 小 值 以 及 取 得 最 小 值 時(shí) x的 值 。 11x解 ： x 1 x 1 0 x （ x 1） 1 2 1 311x )1( 1x )1( 1)1( xx當(dāng) 且 僅 當(dāng) x 1 時(shí) 取 “ ” 號 .于 是 x 2或 者 x 0（ 舍 去 ）11x答 ： 最 小 值 是 3， 取 得 最 小 值 時(shí) x的 值 為 2例 1: 構(gòu) 造 積 為 定 值通 過 加

8、 減 項(xiàng) 的 方 法 配 湊成 基 本 不 等 式 的 形 式 .例 題 講 解 例 2 （ 1） 用 籬 笆 圍 一 個(gè) 面 積 為 100 的 矩 形 菜 園 ， 問 這個(gè) 矩 形 的 長 寬 各 為 多 少 時(shí) ， 所 用 籬 笆 最 短 ？ 最 短 的 籬 笆是 多 少 ？ 2m, ,xm ym解 ： 設(shè) 矩 形 菜 園 的 長 為 寬 為 2 10022( ) 40 x y xy x yx y 由 可 得 ：100, 2( )xy x y m 則 籬 笆 的 長 為x y等 號 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) 成 立 ， 10 x y 此 時(shí) 因 此 這 個(gè) 矩 形 的 長 、 寬 都 為 10

9、m時(shí) ，所 用 籬 笆 最 短 ， 最 短 籬 笆 是 40m. （ 2） 用 一 段 長 為 36m的 籬 笆 圍 成 一 個(gè) 矩 形 菜 園 ， 問 這個(gè) 矩 形 的 長 寬 各 為 多 少 時(shí) ， 菜 園 面 積 最 大 ？ 最 大 面 積 是 多 少 ？, ,xm ym解 ： 設(shè) 矩 形 菜 園 的 長 為 寬 為2( ) 36 18,x y x y 則 182 2x yxy = =9 2xym矩 形 菜 園 的 面 積 為 S=x y當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) 等 號 成 立 ， 2.這 個(gè) 矩 形 的 長 、 寬 都 為 9m時(shí) ，菜 園 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 81m81

10、xy 解 法 一 ： (2)設(shè) 矩 形 菜 園 的 寬 為 xm， 則 長 為 (36-2x)m， 其 中 0 x 18 ,解 法 二 ： 其 面 積 為 : )236(221)236( xxxxS .162836)2 2362(21 22 xx當(dāng) 且 僅 當(dāng) 2x=36-2x， 即 x=9時(shí) 菜 園 面 積 最 大 ，即 菜 園 長 18m ， 寬 為 9 m 時(shí) 菜 園 面 積 最 大 為 162 m 2. 解 ： 【 例 3】 某 工 廠 要 建 造 一 個(gè) 長 方 體 無 蓋 貯 水 池 ， 其 容 積 為 4800m3,深 為 3m， 如 果 池 底 每 1m2的 造 價(jià) 為 150

11、元 ， 池 壁 每 1m2的 造 價(jià) 為120元 ， 問 怎 樣 設(shè) 計(jì) 水 池 能 使 總 造 價(jià) 最 低 ， 最 低 總 造 價(jià) 是 多 少 元 ？ 設(shè) 水 池 底 面 一 邊 的 長 度 為 xm， 則 水 池 的 寬 為 ,水 池 的總 造 價(jià) 為 y元 ， 根 據(jù) 題 意 ， 得 x16004800 1600150 120(2 3 2 3 )3y x x 1600240000 720( )x x xx 16002720240000 .297600402720240000 1600, 40 , 2976000.x x yx 即 時(shí) 有 最 小 值 因 此 ， 當(dāng) 水 池 的 底 面 是

12、 邊 長 為 40m的 正 方 形 時(shí) ， 水 池的 總 造 價(jià) 最 低 ， 最 低 總 造 價(jià) 是 297600元 ;1,0)1(1的最值求已知：例xxx .21xx1x 2121:時(shí)原式有最小值即當(dāng)且僅當(dāng)解 xxxx ;1,0)2(的最值求已知xxx 有最值，并求其最值。為何值時(shí)，函數(shù)當(dāng)函數(shù)若xxxyx ,31,3)3( 結(jié) 論 1： 兩 個(gè) 正 數(shù) 積 為 定 值 ， 則 和 有 最 小 值 5331)3(2 33-x1)3-x(31y 3x:3 xxxx、解。最大值為時(shí)，函數(shù)有最大值，即當(dāng)且僅當(dāng)5 4,313 xxx .21xx1x 2)1()(2)x1()x(1:2 時(shí)有最大值即當(dāng)且

13、僅當(dāng)、解xxxx ,41,4112 1,0,0 xyxyyxxy yxyx解 124929291 xyyx例 3 已 知 x0,y0,且 x+y=1 求 的 最 小 值 yx 91例 題 講 解 (1)基 本 不 等 式 取 等 號的 條 件(2) “1”的 代 換 在 不 等式 中 的 應(yīng) 用 12時(shí) ， 有 最 小 值當(dāng) 且 僅 當(dāng) yx 正 確 ？錯 趙 老 師 花 10萬 元 購 買 了 一 輛 家 用 汽 車 ,如果 每 年 使 用 的 保 險(xiǎn) 費(fèi) ,養(yǎng) 路 費(fèi) ,汽 油 費(fèi) 約 為0.9萬 元 ,年 維 修 費(fèi) 第 一 年 是 0.2萬 元 ,以 后逐 年 遞 增 0.2萬 .則

14、這 種 汽 車 使 用 多 少 年 時(shí) ,它 的 年 平 均 費(fèi) 用 最 少 ? 綜 合 應(yīng) 用分 析 ： “年 平 均 費(fèi) 用 ” 的 含 義 ？ 解 ： 設(shè) 使 用 x年 后 ， 年 平 均 費(fèi) 用 為 y萬 元 ， 則xxxxxy 102.02 )1(2.09.0 xxx 101.0 2 1101.0 xx 110 x100.1x20.1 有 最 小 值時(shí) ，當(dāng) 且 僅 當(dāng) yxx即 當(dāng) x=10時(shí) ， y有 最 小 值 3萬 元答 ： 使 用 10年 后 ， 年 平 均 費(fèi) 用 最 少 。 ( , ) 3 2 03 27 1x yx y x yy 當(dāng) 點(diǎn) 在 直 線 上 移 動 時(shí) ， 求的 最 小 值 . 33 33 3 33 27 1 11 2 3 12 3 1 73 3 311 732 3 3, x yx yx y x yx yy x yx y 解 ：當(dāng) 且 僅 當(dāng) = 即 時(shí) 取 得 等 號此 時(shí) 最 小 值 為 變式訓(xùn)練 知 識 要 點(diǎn) ： 基 本 不 等 式 的 條 件 : 結(jié) 構(gòu) 特 征 : 思 想 方 法 技 巧 ：（ 1） 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 （ 2） 換 元 法課堂總結(jié)一 正 、 二 定 、 三 相 等和 、 積.理 解 均 值 不 等 式 的 關(guān) 系 : 2 22若 , ,則 2 2ab a b a ba b R aba b