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1、一 、 曲 線 凹 凸 的 定 義問 題 :如 何 研 究 曲 線 的 彎 曲 方 向 ? xyo xyo 1x 2x)(xfy 圖 形 上 任 意 弧 段 位 于 所 張 弦 的 上 方xyo )(xfy 1x 2x圖 形 上 任 意 弧 段 位于 所 張 弦 的 下 方 A B C 定 義 ;),()( ,2 )()()2(, ),(,),()( 212121 內(nèi) 的 圖 形 是 凹 的在那 末 稱 恒 有兩 點 內(nèi) 任 意如 果 對內(nèi) 連 續(xù)在設(shè) baxf xfxfxxfxx babaxf ;),()( ,2 )()()2( ,),( 2121 21內(nèi) 的 圖 形 是 凸 的在那 末 稱
2、 恒 有內(nèi) 任 意 兩 點如 果 對 baxf xfxfxxf xxba ;)(,)(,)( ),(,)( 的或 凸內(nèi) 的 圖 形 是 凹在那 末 稱的或 凸 內(nèi) 的 圖 形 是 凹且 在內(nèi) 連 續(xù)在如 果 baxf babaxf 二 、 曲 線 凹 凸 的 判 定xyo )(xfy xyo )(xfya bA B遞 增)(xf a bBA0y 遞 減)(xf 0y定 理 1 .,)(,0)()2( ;,)(,0)()1( ),(, ),(,)( 上 的 圖 形 是 凸 的在則 上 的 圖 形 是 凹 的在則 內(nèi)若 在二 階 導(dǎo) 數(shù) 內(nèi) 具 有在上 連 續(xù)在如 果 baxfxf baxfxf
3、ba babaxf 例 1 .3 的 凹 凸 性判 斷 曲 線 xy 解 ,3 2xy ,6xy 時 ，當(dāng) 0 x ,0y 為 凸 的 ；在曲 線 0,( 時 ，當(dāng) 0 x ,0y 為 凹 的 ；在曲 線 ),0 .)0,0( 點是 曲 線 由 凸 變 凹 的 分 界點注 意 到 , 三 、 曲 線 的 拐 點 及 其 求 法 連 續(xù) 曲 線 上 凹 凸 的 分 界 點 稱 為 曲 線 的 拐 點 . 定 理 2 如 果 )(xf 在 ),( 00 xx 內(nèi) 存 在 二 階 導(dǎo)數(shù) ,則 點 )(, 00 xfx 是 拐 點 的 必 要 條 件 是 0)( 0 xf . 1.定 義注 意 :拐
4、點 處 的 切 線 必 在 拐 點 處 穿 過 曲 線 .2.拐 點 的 求 法證 ,)( 二 階 可 導(dǎo)xf ,)( 存 在 且 連 續(xù)xf ,)()( 0兩 邊 變 號在則 xxfxf ,)(,( 00 是 拐 點又 xfx ,)( 0取 得 極 值在 xxf ,條 件由 可 導(dǎo) 函 數(shù) 取 得 極 值 的.0)( xf方 法 1: ,0)( ,)(0 0 xf xxf且 的 鄰 域 內(nèi) 二 階 可 導(dǎo)在設(shè) 函 數(shù) ;)(,(,)()1( 000 即 為 拐 點點變 號兩 近 旁 xfxxfx .)(,(,)()2( 000 不 是 拐 點點不 變 號兩 近 旁 xfxxfx 例 2 .
5、143 34凹 、 凸 的 區(qū) 間 的 拐 點 及求 曲 線 xxy解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy,0y令 .32,0 21 xx得x )0,( ),32( )32,0(0 32)(xf )(xf 0 0凹 的 凸 的 凹 的拐 點 拐 點)1,0( )2711,32( ).,32,32,0,0,( 凹 凸 區(qū) 間 為 方 法 2: .)( )(,(,0)(,0)( ,)( 0000 0的 拐 點線 是 曲那 末而 且的 鄰 域 內(nèi) 三 階 可 導(dǎo)在設(shè) 函 數(shù)xfy xfxxfxf xxf 例 3 .)2,0(cossin 的 拐 點內(nèi)求 曲 線 xxy解
6、,sincos xxy ,cossin xxy .sincos xxy ,0y令 .47,43 21 xx得 2)43( f ,0 2)47( f ,0 內(nèi) 曲 線 有 拐 點 為在 2,0 ).0,47(),0,43( .)( )(,(,)( 000 的 拐 點是 連 續(xù) 曲 線 也 可 能點不 存 在若 xfy xfxxf 注 意 : 例 4 .3 的 拐 點求 曲 線 xy 解 ,0時當(dāng) x ,31 32 xy ,94 35 xy .,0 均 不 存 在是 不 可 導(dǎo) 點 yyx ,0,)0,( y內(nèi)但 在 ;0,( 上 是 凹 的曲 線 在 ,0,),0( y內(nèi)在 .),0 上 是 凸
7、 的曲 線 在 .)0,0( 3 的 拐 點是 曲 線點 xy 四 、 小 結(jié)曲 線 的 彎 曲 方 向 凹 凸 性 ;改 變 彎 曲 方 向 的 點 拐 點 ;凹 凸 性 的 判 定 .拐 點 的 求 法 1, 2. 思 考 題 設(shè) )(xf 在 ),( ba 內(nèi) 二 階 可 導(dǎo) ， 且 0)( 0 xf ， 其 中 ),(0 bax ， 則 ,( 0 x )( 0 xf 是 否 一 定 為 曲 線 )(xf 的 拐 點 ？ 舉 例 說 明 . 思 考 題 解 答 因 為 0)( 0 xf 只 是 ,( 0 x )( 0 xf 為 拐 點的 必 要 條 件 ， 故 ,( 0 x )( 0 x
8、f 不 一 定 是 拐 點 .例 4)( xxf ),( x 0)0( f 但 )0,0( 并 不 是 曲 線 )(xf 的 拐 點 . 一 、 填 空 題 ： 1、 若 函 數(shù) )(xfy 在 （ ba, ） 可 導(dǎo) ， 則 曲 線 )(xf 在 ( ba, ) 內(nèi) 取 凹 的 充 要 條 件 是 _. 2、 曲 線 上 _的 點 ， 稱 作 曲 線 的 拐 點 . 3、 曲 線 )1ln( 2xy 的 拐 點 為 _. 4、 曲 線 )1ln( xy 拐 點 為 _. 二 、 求 曲 線 xey arctan 的 拐 點 及 凹 凸 區(qū) 間 . 三 、 利 用 函 數(shù) 圖 形 的 凹 凸
9、性 ， 證 明 不 等 式 ： 22 yxyx eee )( yx . 四 、 求 曲 線 2sin2 cot2ay ax 的 拐 點 . 練 習(xí) 題 五 、 試 證 明 曲 線 112 xxy 有 三 個 拐 點 位 于 同 一 直 線上 . 六 、 問 a 及 b 為 何 值 時 ， 點 (1,3)為 曲 線 23 bxaxy 的 拐 點 ？ 七 、 試 決 定 22 )3( xky 中 k 的 值 ,使 曲 線 的 拐 點 處的 法 線 通 過 原 點 . 一 、 1、 ),()( baxf 在 內(nèi) 遞 增 或 0)(),( xfbax ； 2、 凹 凸 部 分 的 分 界 點 ； 3、 2,(),2),2,2( 2 e ； 4、 )2ln,1(),2ln,1( . 二 、 拐 點 ),21( 21arctane ,在 21,( 內(nèi) 是 凹 的 , 在 ),21 內(nèi) 是 凸 的 . 四 、 拐 點 )23,332( aa 及 )23,332( aa . 五 、 ).)32(4 31,32(),)32(4 31,32(),1,1( 練 習(xí) 題 答 案 六 、 29,23 ba . 七 、 82k .
曲線的凹凸與拐點
