薛宏熙《數(shù)字邏輯設(shè)計》cha課件

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1、2008.11 1 第4章 數(shù)的表示方法和算術(shù)運算電路 【 課 前 思 考 】【 學(xué) 習(xí) 指 南 】4.1 數(shù) 制 和 編 碼4.2 無 符 號 數(shù) 的 加 法 運 算4.3 有 符 號 數(shù) 的 表 示 方 法 和 算 術(shù) 運 算4.4 用 EDA工 具 設(shè) 計 算 術(shù) 運 算 電 路 示 例【 本 章 小 結(jié) 】 2008.11 2 4.1數(shù)制和編碼 日 常 生 活 中 最 常 見 的 數(shù) 據(jù) 表 示 形 式 是 十 進 制 數(shù) ， 與 此同 時 也 存 在 大 量 的 其 它 數(shù) 制 。 例 如 12英 寸 為 1英 尺 是 十 二 進 制 ； 60秒 為 1分 鐘 是 六 十 進 制 ；

2、 24小 時 為 1天 是 二 十 四 進 制 。 數(shù) 字 電 路 只 可 能 有 2個 穩(wěn) 定 狀 態(tài) （ H / L） ， 因 此 數(shù) 字系 統(tǒng) 內(nèi) 部 采 用 二 進 制 數(shù) 也 合 乎 邏 輯 。 把 數(shù) 據(jù) 轉(zhuǎn) 換 為 一 組 代 碼 （ 這 里 特 指 二 進 制 代 碼 ） 稱 為編 碼 。 2008.11 3 數(shù)的位置表示法 十 進 制 數(shù) 2758.12可 以 表 示 為 ：(2758.12)10 = 2 103 + 7 102 + 5 101 + 8 100 + 1 10-1 + 2 10-2 十 進 制 數(shù) 的 一 般 形 式 ： （ D） 10 = dn-1dn-2di

3、d1d0.d-1d-m 可 以 表 示 為 ： 式 （ 4 - 1） 中 : 下 標 i 代 表 數(shù) 字 d i 的 位 置 ， p i是 十 進 制 數(shù) 第 i 位 數(shù) 字 的 權(quán) 。 十 進 制 數(shù) 中 每 一 位 d i有 10種 可 能 的 取 值 ， 并 且 其 權(quán) 重 為 10的冪 ， 故 稱 其 為 以 10為 基 的 數(shù) 。 110 10)( n mi ii dD )14(10)( 110 iin mi ii pdpD 式 中 2008.11 4 數(shù)的位置表示法（續(xù)） 二 進 制 數(shù) 的 一 般 形 式 ： 式 （ 4 - 2） 中 : 下 標 i 代 表 數(shù) 字 b i 的

4、位 置 ， p i 是 二 進 制 數(shù) 第 i 位 數(shù) 字 的 權(quán) 。 二 進 制 數(shù) 中 每 一 位 b i有 2 種 可 能 的 取 值 ， 并 且 其 權(quán) 重 為 2 的冪 ， 故 稱 其 為 以 2為 基 的 數(shù) 。 12 2)( n mi ii bB )24(2)( 12 iin mi ii pbpB 式 中 2008.11 5 數(shù)的位置表示法（續(xù)） r 進 制 數(shù) 的 一 般 形 式 ： 式 （ 4 - 3） 中 : 下 標 i 代 表 數(shù) 字 s i 的 位 置 ， p i 是 r 進 制 數(shù) 第 i 位 數(shù) 字 的 權(quán) 。 r 進 制 數(shù) 中 每 一 位 s i有 r 種 可

5、能 的 取 值 ， 并 且 其 權(quán) 重 為 r 的 冪 ， 故稱 其 為 以 r 為 基 的 數(shù) 。 1)( n mi iir srS )34()( 1 iin mi iir rpspS 式 中 2008.11 6 數(shù)的位置表示法（續(xù)） r 進 制 數(shù) 第 i 位 數(shù) 字 si 的 權(quán) 值 為 pi ， 屬 于 有 權(quán) 編 碼 。 （ 與 此 相 對 的 是 無 權(quán) 編 碼 ） 數(shù) 字 系 統(tǒng) 中 常 用 的 數(shù) 制 : 提 醒 ： 二 進 制 數(shù) 中 某 一 位 b i 的 單 位 為 比 特 （ bit） ， 比 特 的 取 值 可 為 0 或 1， 這 里 的 0 或 1 具 有 數(shù) 值

6、 的 意 義 。 第 1章 中 談 及 布 爾 函 數(shù) 和 布 爾 變 量 時 ，布 爾 變 量 的 取 值 也 可 用 0 或 1 表 示 ， 但 那 時 0 的 含 義 是 假 ， 1 的 含 義 是真 。 2008.11 7 二進制數(shù)與十進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換 二 進 制 數(shù) 轉(zhuǎn) 換 為 十 進 制 數(shù) ： 式 （ 4 - 2） 是 二 進 制 數(shù) 與 十 進 制 數(shù) 相 互 轉(zhuǎn) 換 的 數(shù) 學(xué) 基 礎(chǔ) 例 ： )24(2)( 12 iin mi ii pbpB 式 中 2008.11 8 二進制數(shù)與十進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換（續(xù)） 十 進 制 數(shù) 轉(zhuǎn) 換 為 二 進 制 數(shù) ： 通 常 把 整 數(shù)

7、部 分 與 小 數(shù) 部 分 分 別 處 理 整 數(shù) 部 分 ：（ 1） 將 十 進 制 整 數(shù) 除 以 2， 所 得 余 數(shù) 即 為 對 應(yīng) 二 進 制 數(shù) 最 低 位 的 值 ；（ 2） 將 上 次 所 得 商 再 除 以 2， 所 得 余 數(shù) 即 為 對 應(yīng) 二 進 制 數(shù) 次 低 位 的 值 ；（ 3） 重 復(fù) 執(zhí) 行 第 （ 2） 步 的 操 作 ， 直 到 商 為 0 時 為 止 。 余 數(shù) 構(gòu) 成 二 進制 數(shù) 每 一 位 的 值 。 例 ：（ 45） 10 = （ 101101） 2 2008.11 9 二進制數(shù)與十進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換（續(xù)） 十 進 制 數(shù) 轉(zhuǎn) 換 為 二 進 制

8、數(shù) ： 整 數(shù) 部 分 轉(zhuǎn) 換 簡 略 的 形 式 ： 除 數(shù) 2 被 除 數(shù) /商 余 數(shù) 2 45 .1 2 22 .0 2 11 .1 2 5 .1 2 2 .0 2 1 .1 低 位 高 位 0 例 ： （ 45） 10 = （ 101101） 2 2008.11 10 二進制數(shù)與十進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換（續(xù)） 十 進 制 數(shù) 轉(zhuǎn) 換 為 二 進 制 數(shù) （ 續(xù) ） ： 小 數(shù) 部 分 ：（ 1） 將 十 進 制 小 數(shù) 乘 以 2， 所 得 乘 積 的 整 數(shù) 部 分 （ 0或 1） 即 為 對 應(yīng) 二進 制 小 數(shù) 最 高 位 的 值 ；（ 2） 將 上 次 所 得 乘 積 的 小 數(shù)

9、部 分 再 乘 以 2， 所 得 乘 積 的 整 數(shù) 部 分 即 為對 應(yīng) 二 進 制 小 數(shù) 次 高 位 的 值 ；（ 3） 重 復(fù) 執(zhí) 行 第 （ 2） 步 的 操 作 ， 直 到 乘 積 的 小 數(shù) 部 分 為 0或 所 得 小 數(shù)部 分 已 滿 足 精 度 要 求 時 為 止 。 例 ：(0.6875) 10 = (0.1011)2 乘 積 的 整 數(shù) 部 分 即 二 進 制 數(shù) 的 小 數(shù) 部 分 十 進 制 數(shù) 的 小 數(shù) 部 分 乘 以 2 0.6875 ( 2 高 位 1 0.3750 ( 2 0 0.7500 ( 2 1 0.5000 ( 2 低 位 1 0.0000 200

10、8.11 11 二進制數(shù)與八進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換 八 進 制 數(shù) 的 二 進 制 編 碼 ： 3位 二 進 制 數(shù) 對 應(yīng) 于 1 位 八 進 制 數(shù) 2008.11 12 二進制數(shù)與八進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換（續(xù)） 二 進 制 數(shù) 轉(zhuǎn) 換 為 八 進 制 數(shù) ： 3位 二 進 制 數(shù) 對 應(yīng) 于 1 位 八 進 制 數(shù) ， 轉(zhuǎn) 換 算 法 非 常 簡 單 ：（ 1） 以 小 數(shù) 點 為 分 界 線 ， 分 別 向 左 和 向 右 每 3 位 看 作 一 組 。 注 意 ， 遇 到 不 足 3 位 時 將 其 補 足 3 位 ， 向 左 擴 展 時 向 高 位 補 0， 向 右擴 展 時 向 低 位 補

11、0。（ 2） 把 每 一 組 的 二 進 制 碼 替 換 為 對 應(yīng) 的 八 進 制 碼 。 例 ： 2008.11 13 二進制數(shù)與八進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換（續(xù)）八 進 制 數(shù) 轉(zhuǎn) 換 為 二 進 制 數(shù) ：（ 1） 以 小 數(shù) 點 為 分 界 線 ， 分 別 向 左 和 向 右 對 每 一 八 進 制碼 進 行 轉(zhuǎn) 換 。（ 2） 把 每 一 八 進 制 碼 替 換 為 對 應(yīng) 的 二 進 制 碼 。 注 意 ， 轉(zhuǎn) 換 后 的 二 進 制 碼 必 須 是 3 位 ， 例 如 28應(yīng) 轉(zhuǎn) 換 為0102， 而 不 是 102。例 ： 2008.11 14 二進制數(shù)與十六進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換 十 六

12、進 制 數(shù) 的 二 進 制 編 碼 ： 4位 二 進 制 數(shù) 對 應(yīng) 于 1 位 十 六 進 制 數(shù) 2008.11 15 二進制數(shù)與十六進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換（續(xù)） 二 進 制 數(shù) 轉(zhuǎn) 換 為 十 六 進 制 數(shù) ： 4位 二 進 制 數(shù) 對 應(yīng) 于 1 位 十 六 進 制 數(shù) ， 轉(zhuǎn) 換 算 法 非 常 簡 單 ：（ 1） 以 小 數(shù) 點 為 分 界 線 ， 分 別 向 左 和 向 右 每 4 位 看 作 一 組 。 注 意 ： 遇 到 不 足 4 位 時 將 其 補 足 4 位 ， 向 左 擴 展 時 向 高 位 補 0， 向 右擴 展 時 向 低 位 補 0。（ 2） 把 每 一 組 的 二

13、 進 制 碼 替 換 為 對 應(yīng) 的 十 六 進 制 碼 。 例 ： 2008.11 16 二進制數(shù)與十六進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換（續(xù)） 十 六 進 制 數(shù) 轉(zhuǎn) 換 為 二 進 制 數(shù) ：（ 1） 以 小 數(shù) 點 為 分 界 線 ， 分 別 向 左 和 向 右 對 每 一 十 六 進制 碼 進 行 轉(zhuǎn) 換 。（ 2） 把 每 一 十 六 進 制 碼 替 換 為 對 應(yīng) 的 二 進 制 碼 。 注 意 ， 轉(zhuǎn) 換 后 的 二 進 制 碼 必 須 是 4 位 ， 例 如 316 應(yīng) 轉(zhuǎn)換 為 00112， 而 不 是 112。 例 ： 2008.11 17 十進制數(shù)的二進制編碼 用 二 進 制 代 碼 表

14、 示 十 進 制 數(shù) 稱 為 二 十 進 制 碼 或 BCD碼 （ Binary Coded Decimal， BCD） 。 4位 二 進 制 代 碼 可 以 代 表 24 = 16種 狀 態(tài) ， 而 十 進 制 數(shù) 只需 要 10種 狀 態(tài) ， 因 此 需 要 舍 棄 其 中 6種 狀 態(tài) 不 用 。 8421碼 ： 8421分 別 代 表 各 位 的 權(quán) 值 。 最 高 位 的 權(quán) 值 為 8、 次 高 位 為 4、 再 次 為 2、 最 低 位 為 1。 2008.11 18 十進制數(shù)的二進制編碼（續(xù)） 余 3碼 ： 是 一 種 無 權(quán) 碼 。 二 進 制 編 碼 對 應(yīng) 的 十 進 制

15、 數(shù) 0000 舍 棄 不 用 0001 舍 棄 不 用 0010 舍 棄 不 用 0011 0 0100 1 0101 2 0110 3 0111 4 1000 5 1001 6 1010 7 1011 8 1100 9 1101 舍 棄 不 用 1110 舍 棄 不 用 1111 舍 棄 不 用 互 為 反 碼 2008.11 19 十進制數(shù)的二進制編碼（續(xù)） 十 進 制 數(shù) 的 有 權(quán) 編 碼 示 例 ： 2008.11 20 格雷碼 格 雷 碼 是 一 種 無 權(quán) 碼 ， 其特 點 為 任 何 2個 相 鄰 的 代 碼之 間 只 在 某 1位 上 取 值 不 同 。 此 特 點 在 某

16、 些 場 合 特 別 有用 ， 可 以 減 少 代 碼 變 換 過程 中 發(fā) 生 錯 誤 的 機 會 ， 是一 種 高 可 靠 性 編 碼 。 右 圖 為 二 進 制 數(shù) 反 射 格 雷碼 。 反 射 碼 和 二 進 制 數(shù) 之 間的 對 應(yīng) 關(guān) 系 ： 二 進 制 數(shù) b3b2b1b0 格 雷 碼 g3g2g1g0 0000 0000 0001 0001 0010 0011 0011 0010 0100 0110 0101 0111 0110 0101 0111 0100 1000 1100 1001 1101 1010 1111 1011 1110 1100 1010 1101 1011

17、1110 1001 1111 1000 ）（ 441 iii bbg 2008.11 21 格雷碼（續(xù)） 十 進 制 數(shù) 反 射 格 雷 碼 示 例 ： 十 進 制 數(shù) 格 雷 碼 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 1110 6 1010 7 1011 8 1001 9 1000 2008.11 22 字符編碼 數(shù) 字 系 統(tǒng) 中 ， 0和 1不 僅 可 以 代 表 數(shù) 字 ， 而 且 可 以 進 行組 合 用 于 表 示 字 母 、 運 算 符 以 及 控 制 符 等 。 為 了 在 各 種 數(shù) 字 系 統(tǒng) 之 間 方 便 地 交 換 信 息 ， 必

18、須 使 用統(tǒng) 一 的 編 碼 方 案 ， 目 前 被 廣 泛 使 用 的 是 ASCII碼 。（ American Standard Code for Information Interchange） ASCII碼 由 7位 二 進 制 代 碼 組 成 ， 共 27 = 128個 字 符 ： 英 文 字 母 ： 大 寫 、 小 寫 字 母 各 26個 ， 共 52個 ； 數(shù) 字 （ 0 9） ： 10個 ； 專 用 符 號 ： 34個 ； 控 制 符 號 ： 32個 。 2008.11 23 字符編碼 ASCII碼 2008.11 24 奇偶校驗碼 奇 偶 校 驗 編 碼 的 規(guī) 則 ： 奇

19、校 驗 編 碼 ： 編 碼 結(jié) 果 中 含 奇 數(shù) 個 1。 偶 校 驗 編 碼 ： 編 碼 結(jié) 果 中 含 偶 數(shù) 個 1。 例 ： 原 始 數(shù) 據(jù) b6b5b4b3b2b1b0 奇 校 驗 編 碼 結(jié)果 b 7b6b5b4b3b2b1b0 偶 校 驗 編 碼 結(jié)果 b7b6b5b4b3b2b1b0 0000000 10000000 00000000 1111111 0 1111111 11111111 0101010 00101010 10101010 1110001 11110001 01110001 2008.11 25 奇偶校驗碼（續(xù)） 奇 偶 校 驗 碼 是 一 種 最 簡 單 的

20、 、 能 發(fā) 現(xiàn) 某 些 錯 誤 的 編 碼 。 應(yīng) 用 舉 例 ： 信 息 發(fā) 送 /接 收 過 程 中 采 用 偶 校 驗 檢 錯 ： 2008.11 26 奇偶校驗碼（續(xù)） 以 偶 校 驗 編 碼 為 例 ， 說 明 數(shù) 據(jù) 編 碼 、 傳 送 及 檢 錯 的 過 程 ： 發(fā) 送 方 給 原 始 數(shù) 據(jù) b6b5b4b3b2b1b0增 加 1個 偶 校 驗 位 b7， 構(gòu) 成 8位的 偶 校 驗 編 碼 。 b7 = b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 （ 4 - 5） 發(fā) 送 方 把 8位 的 偶 校 驗 編 碼 b7b6b5b4b3b2b1b0發(fā) 送 出 去 。 接 收 方 收

21、 到 8位 的 偶 校 驗 編 碼 b7b6b5b4b3b2b1b0。 接 收 方 校 驗 電 路 的 輸 出 信 號 為 check， 用 來 檢 查 8位 數(shù) 據(jù) 中 取 值為 1的 個 數(shù) 是 否 為 偶 數(shù) ： check = b 7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 （ 4 - 6） 若 為 偶 數(shù) （ check = 0） ， 表 明 數(shù) 據(jù) 傳 送 過 程 中 沒 有 發(fā) 生 錯 誤 ， 簡 單地 將 偶 校 驗 位 去 掉 即 得 原 始 數(shù) 據(jù) ； 若 為 奇 數(shù) （ check = 1） ， 表 明 數(shù) 據(jù) 傳 送 過 程 中 發(fā) 生 錯 誤 ， 接 收 方 發(fā)出

22、報 警 信 號 。 2008.11 27 奇偶校驗碼（續(xù)） 偶 校 驗 的 形 成 及 校 驗 電 路 ： 根 據(jù) 式 （ 4 - 5） 可 以 得 到 發(fā) 送 方 的 偶 校 驗 位 （ b7） 形 成 電 路 ； 根 據(jù) 式 （ 4 - 6） 可 以 得 到 接 收 方 的 偶 校 驗 （ check） 電 路 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 check b7 （ b） 接 收 方 （ a） 發(fā) 送 方 2008.11 28 輸 入 輸 出 a i b i c i sum i c i +1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

23、 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 a i b i iiiiiii iiii cbcabac cbasum 1 （ a） 符 號 圖 （ b） 真 值 表 與 布 爾 表 達 式 （ c） 原 理 圖 sum i c i + 1 c i a i b i full_adder sum i c i + 1 c i 4.2無符號數(shù)的加法運算 無 符 號 數(shù) 代 表 數(shù) 的 絕 對 值 ， 或 者 是 省 略 了 符 號 的 正 數(shù) 。 1 位 全 加 器 的 實 現(xiàn) ： 2008.11 29 4位行波進位加法器 優(yōu) 點

24、 ： 結(jié) 構(gòu) 簡 單 、 造 價 較 低 ； 缺 點 ： 進 位 信 號 由 低 位 向 高 位 逐 級 傳 遞 ， 當 加 法 器 的 長 度 n 較 大 時 （ 例 如 32或 64） ， 進 位 信 號 的 傳 播 延 時 很 大 。 改 進 思 路 ： 先 行 進 位 加 法 器 進 位 鏈 。 2008.11 30 加法器的先行進位進位鏈 2008.11 31 加法器的先行進位進位鏈（續(xù)） 實 例 ： 4位 加 法 器 中 每 一 位 （ i = 0 3） 的 進 位 信 號 分 析 ： 2008.11 32 a 2 b 2 a 1 b 3 a 3 b 1 a 0 b 0 c 2 c

25、 4 c 3 c 1 c 0 g 2 g 3 g 1 p 2 p 3 p 1 g 0 p 0 4 位加法器的先行進位進位鏈（續(xù)） 根 據(jù) 布 爾 表 達 式 （ 4 - 8） 、 （ 4 - 9） 、 （ 4 - 10） 和 （ 4 - 11） 畫 出 先 行 進位 鏈 的 原 理 圖 。 2008.11 33 4 位加法器的先行進位進位鏈（續(xù)） 符 號 圖 ： 分 析 ： 低 位 進 位 信 號 c 0 到 達 進 位 鏈 輸 出 端 （ c4， c3， c2， c1） 所 經(jīng) 歷 的 傳 播路 徑 長 度 大 體 相 同 ， 因 而 延 遲 時 間 也 大 體 相 同 。 對 于 處 于

26、相 對 高 位 的 c4 來 說 ， 其 延 遲 時 間 縮 小 ！ 隨 著 i 的 增 大 ， c i 的 布 爾 表 達 式 復(fù) 雜 度 增 大 ， 相 應(yīng) 電 路 的 復(fù) 雜 度 也增 大 ， 因 此 這 種 把 c i逐 級 展 開 的 方 法 不 可 能 無 限 制 地 繼 續(xù) 下 去 。 當 加 法 器 的 長 度 n 較 大 時 ， 可 將 其 分 組 ， 組 與 組 之 間 可 以 采 用 行 波進 位 的 方 法 ， 或 在 組 間 也 采 用 先 行 進 位 的 方 法 。 2008.11 34 4位先行進位加法器 sum 3 c 3 a 3 b 3 full_adder

27、sum 2 c 2 a 2 b 2 full_adder sum 1 c 1 a 1 b 1 full_adder sum 0 c 0 a 0 b 0 full_adder 先 行 進 位 鏈 c 0 a 3 b3 a 2 b2 a 1 b1 a 0 b0 c 1 c 2 c 3 c 4 c 4 a 3 b3 a 2 b2 a 1 b1 a 0 b0 sum 3 sum 2 sum 1 sum 0 2008.11 35 BCD 碼形式的十進制數(shù)加法運算 例 ： 1位 8421碼 十 進 制 數(shù) 加 法 器 手 工 設(shè) 計 ： 有 多 種 方 法 可 供 選 擇 ， 例 如 列 出 真 值 表

28、， 寫 出 相 應(yīng) 的 布 爾 表 達 式 ， 最 后 導(dǎo) 出 電 路 圖 。 （ 由 于 輸 入 變 量 個 數(shù) 多 達 9個 ， 此 設(shè) 計 過 程 可 能 比 較 繁 瑣 ） 借 助 普 通 的 二 進 制 數(shù) 加 法 器 ， 再 加 上 輔 助 的 修 正 電 路 構(gòu) 成 目標 電 路 。 2008.11 36 例： 1位8421碼十進制數(shù)加法器 圖 4.9 初 步 設(shè) 想 ： 2008.11 37 例： 1位8421碼十進制數(shù)加法器（續(xù)） 校 正 條 件 分 析 ： 輸 入 變 量 X和 Y的 取 值 為 （ 0 9） ， 再 加 上 可 能 存 在 的 低 位進 位 cin， 因

29、而 加 法 運 算 結(jié) 果 的 取 值 范 圍 為 （ 0 19） 。 由 于 普 通 的 4位 二 進 制 數(shù) 加 法 器 是 逢 16進 位 ， 而 十 進 制 數(shù) 加 法器 是 逢 10進 位 ， 因 而 需 要 對 4_adder_1的 輸 出 （ Z和 c） 進 行 修正 ， 修 正 的 具 體 要 求 見 表 4.11（ 見 下 頁 ） 。 仔 細 分 析 表 4.11可 以 得出 校 正 的 判 別 條 件 和 應(yīng) 采 取 的 校 正 措 施 ： 2008.11 38 例： 1位8421碼十進制數(shù)加法器（續(xù)）表 4.11 2008.11 39 圖4.9的改進 圖 4.9中 的 多

30、 路 器 可 以 省 略 ， 改 進 后 的 方 案 示 于 圖 4.10。 2008.11 40 圖4.10的改進 圖 4.10中 起 校 正 作 用 的 二 進 制 數(shù) 加 法 器 4_adder_2只 是 實 現(xiàn) 加 6（ 即 二 進 制 代 碼 0110） 或 加 0的 運 算 ， 其 長 度 可 以 縮 短 ， 改 進 后的 方 案 示 于 圖 4.11。 2008.11 41 一個3位十進制數(shù)加法器的實例 2008.11 42 啟 示想 通 過 手 工 設(shè) 計 得 到 一 個 理 想 的 結(jié) 果 ， 十 分 不 易 。 精 心 設(shè) 計 和 一 般 練 習(xí) 的 效 果 大 不 相 同

31、 。通 過 EDA工 具 設(shè) 計 數(shù) 字 電 路 省 時 省 力 。 EDA工 具 提 供 的 庫 元 件 一 般 都 是 精 心 制 作 的 佳 品 。 2008.11 43 原 碼 二 進 制 數(shù) 補 碼 反 碼 有 符 號 定 點 數(shù) 原 碼 十 進 制 數(shù) 補 碼 4.3有符號數(shù)的表示方法和算術(shù)運算 有 符 號 定 點 數(shù) 的 編 碼 方 法 ： 定 點 數(shù) ： 小 數(shù) 點 的 位 置 固 定 ， 常 用 的 2種 形 式 是 ： 小 數(shù) 點 放 在 最 低 位 之 后 ， 這 種 形 式 表 示 的 是 整 數(shù) 。 小 數(shù) 點 放 在 最 高 位 之 前 ， 這 種 形 式 表 示

32、的 小 數(shù) 。 從 數(shù) 學(xué) 的 觀 點 出 發(fā) ， 這 2種 形 式 沒 有 本 質(zhì) 的 差 別 ， 僅 僅 相 差 一個 比 例 系 數(shù) 。 以 下 敘 述 中 把 小 數(shù) 點 放 在 最 低 位 之 后 ， 符 號 位放 在 最 高 位 之 前 。 2008.11 44 符 號 位 0 代 表 正 1 代 表 負 數(shù) 值 部 分 （ 絕 對 值 ） . 二進制定點數(shù)的原碼表示形式 小 數(shù) 點 的 位 置 只 是 一 種 約 定 ， 并 不 需 要 專 門 的 硬 件 作標 記 。 2008.11 45 取 出 X原 ， Y原 |X| |Y|？ 求 出 R = |X| + |Y| 求 出 |

33、X|， |Y| 是 否 否 在 R 的 最 高 位 處 添 加 上 X原 的 符 號 位 ， 得 X+Y原 是 求 出 R = |Y | - |X| 求 出 R = |X| - |Y| 符 號 位 相 同 ？ 在 R 的 最 高 位 處 添 加 上 Y原 的 符 號 位 ， 得 X+Y原 運 算 過 程 過 于 復(fù) 雜 ， 很 少 應(yīng) 用 二進制定點數(shù)的原碼表示形式（續(xù)） 原 碼 加 法 流 程 圖 ： 2008.11 46 二進制定點數(shù)的補碼表示形式 設(shè) 二 進 制 定 點 數(shù) X的 表 示 形 式 為 ： X = 0 x n -2 x n -3x ix 0 （ 字 長 n 位 ， 最 高

34、位 為 0） 由 X求 X補 的 規(guī) 則 ： 當 X為 正 數(shù) 時 ， X補 = X = 0 x n -2 x n -3x ix 0 當 X為 負 數(shù) 時 ， （ 按 位 求 反 后 末 位 加 1） 由 以 上 規(guī) 則 求 出 的 X 補 的 最 高 位 為 符 號 位 ： 符 號 位 為 0 代 表 正 數(shù) ； 符 號 位 為 1 代 表 負 數(shù) 。 1x.x.xx0X 032 inn補 2008.11 47 二進制定點數(shù)的補碼表示形式（續(xù)） 由 X求 X補 舉 例 ： 【 例 4.1】 ： X = +01101， 求 X補 ： X為 正 數(shù) ， X補 = X = 01101 【 例 4.

35、2】 ： X = 01101， 求 X補 ： X為 負 數(shù) ， 第 1步 ： 對 X按 位 求 反 ： 01101 10010第 2步 ： 末 位 加 1： 10010 10011 2008.11 48 二進制定點數(shù)的補碼表示形式（續(xù)）由 X補 求 X的 規(guī) 則 ： X補 的 符 號 位 為 0（ 正 數(shù) ） 時 ， X補 = X（ 二 者 相 同 ） X補 的 符 號 位 為 1（ 負 數(shù) ） 時 ， 求 X分 2步 走 ：第 1步 ： 包 括 符 號 位 在 內(nèi) 按 位 求 反 ；第 2步 ： 在 第 1步 的 結(jié) 果 上 末 位 加 1， 再 在 數(shù) 值 前 添 加 負 號 。 【 例

36、4.3】 ： X 補 = 10011， 求 X： 第 1步 ： 包 括 符 號 位 在 內(nèi) 按 位 求 反 ： 10011 01100 第 2步 ： 末 位 加 1， 再 添 負 號 ： 01100 01101 2008.11 49 補碼的加法運算 補 碼 加 法 運 算 規(guī) 則 ： 補 碼 加 法 中 的 “ 溢 出 ” 問題 ：【 例 】 ： X = 01011， Y = 01000 X補 = 01011， Y補 = 01000執(zhí) 行 補 碼 加 法 ：X+Y 補 = 01011 + 01000 = 10011 結(jié) 果 不 正 確 ， 因 為 2個 正 數(shù) 相 加的 結(jié) 果 絕 不 應(yīng) 該

37、 是 負 數(shù) ！ 分 析 原 因 ：本 例 字 長 5 位 ， 而 本 例 的 (X+Y)超 過 了 字 長 所 能 表 示 的 范 圍 。 取 出 X補 ， Y補 X補 +Y補 結(jié) 果 為 X+Y補 若 最 高 位 有 進 位 將 其 舍 去 X補 和 Y補 的 符 號 位 同 樣 參 加 運 算 2008.11 50 補碼加法運算（續(xù)） 發(fā) 現(xiàn) “ 溢 出 ” 的 方 法 （ 方 法 之 一 ） ：1. 把 操 作 數(shù) X補 和 Y補 的 符 號 位 向 左 擴 展 1位 ， 并 且 新 擴 展 的符 號 位 與 原 來 的 符 號 位 取 值 相 同 。 即 X補 和 Y補 的 字 長

38、由原 來 的 n 位 擴 展 到 （ n + 1） 位 。2. 補 碼 加 法 運 算 規(guī) 則 不 變 ， 即 補 碼 中 各 位 （ 包 括 2個 符 號 位 在內(nèi) ） 按 照 同 樣 規(guī) 則 參 加 運 算 。3. 若 運 算 結(jié) 果 的 2個 符 號 位 取 值 不 同 ， 表 示 運 算 結(jié) 果 “ 溢 出 ”（ 應(yīng) 當 發(fā) 出 報 警 信 號 ） ； 否 則 運 算 結(jié) 果 正 常 。 2008.11 51 補碼加法運算（續(xù)） 補 碼 加 法 示 例 ： X 補 00 1001 ( 9） 10 Y補 00 0011 ( 3） 10 X補 +Y補 00 1100 ( 12） 10 運

39、算 結(jié) 果 中 的 2 個 符 號 位 取 值 相 同 ， 情 況 正 常 操 作 數(shù) 中 的 符 號 位 和 其 它 位 同 樣 參 加運 算 ， 本 例 的 最 高 位 處 沒 有 產(chǎn) 生 進 位 2008.11 52 補碼加法運算（續(xù)） 補 碼 加 法 示 例 ： X 補 001001 ( 9） 10 Y補 001010 ( 10） 10 X 補 +Y補 010011 ( 19） 10， 超 出 約 定 范 圍 運 算 結(jié) 果 中 2 個 符 號 位取 值 不 同 ， 發(fā) 生 “ 溢 出 ” 符 號 位 同 樣 參 加 運 算 ， 本 例的 最 高 位 處 沒 有 產(chǎn) 生 進 位 200

40、8.11 53 補碼加法運算（續(xù)） 補 碼 加 法 示 例 ： X 補 111001 ( 7） 10 Y補 001010 ( 10） 10 X 補 +Y補 000011 ( 3） 10 運 算 結(jié) 果 中 2 個 符 號 位 取 值 相 同 ， 情 況 正 常 最 高 位 發(fā) 生 進 位 ， 簡 單 地 舍 去 即 可 2008.11 54 補碼加法運算（續(xù)） 一 個 補 碼 加 法 器 的 實 例 ： 2008.11 55 補碼的減法運算 補 碼 減 法 運 算 規(guī) 則 ： 為 了 發(fā) 現(xiàn) 運 算 過 程 中是 否 發(fā) 生 “ 溢 出 ” ，繼 續(xù) 采 用 雙 符 號 位 的補 碼 形 式

41、。 表 示 對 Y補 執(zhí)行 求 補 操 作 ， 即 第 1步 ： 包 括 符 號位 在 內(nèi) 按 位 求 反 ； 第 2步 ： 末 位 加 1。 取 出 X 補 ， Y補 結(jié) 果 為 X Y補 若 最 高 位 有 進 位 將 其 舍 去 X補 ， Y補 的 符 號 位 同 樣 參 加 運 算 補補補 YX 由 Y補 求 Y補 |補 ： 末 位 加 1 Y補 按 位 求 反 補補Y 2008.11 56 s4 s3 s2 s1 s0 x4 x3 x2 x1 x0 y4 y3 y2 y1 y0 s4 s3 s2 s1 s0 X補 (3.0） Y補 (3.0） 5bit_adder sub_add o

42、verflow sub_ add = 1時 ， 做 減 法 ； sub_ add = 0時 ， 做 加 法 。 一個補碼加法 / 減法器的實例 由 于 補 碼 加 法 與 補 碼 減 法 的 流 程 相 差 甚 少 ， 唯 一 的 差 別 是 補 碼 減法 操 作 中 需 要 對 Y補 多 作 一 次 求 補 操 作 。 2008.11 57 s4 s3 s2 s1 s0 x4 x3 x2 x1 x0 y4 y3 y2 y1 y0 s4 s3 s2 s1 s0 X補 (3.0） Y補 (3.0） 5bit_adder sub_add overflow sub_ add = 1時 ， 做 減 法

43、 ； sub_ add = 0時 ， 做 加 法 。 一個補碼加法 / 減法器的實例 由 于 補 碼 加 法 與 補 碼 減 法 的 流 程 相 差 甚 少 ， 唯 一 的 差 別 是 補 碼 減法 操 作 中 需 要 對 Y補 多 作 一 次 求 補 操 作 。 廣 泛 應(yīng) 用 ！ 2008.11 58 二進制定點數(shù)的反碼表示形式 由 X求 X反 的 規(guī) 則 ： X為 正 數(shù) 時 ， X反 = X = 0 x n -2 x n -3x i x 0 X為 負 數(shù) 時 ， 由 以 上 規(guī) 則 求 出 的 X反 的 最 高 位 為 符 號 位 ， 符 號 位 為 0代 表 正 數(shù) ，符 號 位 為

44、 1代 表 負 數(shù) 。【 例 4.8】 ： X = +01101， 求 X 反 ：X為 正 數(shù) ， X反 = X = 01101【 例 4.9】 ： X = 01101， 求 X反 ： X為 負 數(shù) ， X反 = 10010 （ 按 位 求 反 ） 032 x.x.xx0X inn 反 2008.11 59 二進制定點數(shù)的反碼表示形式 由 X反 求 X的 規(guī) 則 ： X反 的 符 號 位 為 0（ 正 數(shù) ） 時 ， X反 = X（ 二 者 相 同 ） X反 的 符 號 位 為 1（ 負 數(shù) ） 時 ， 將 X反 按 位 求 反 ， 再 在 數(shù) 值 前面 添 加 負 號 “ ” ?！?例 4.

45、10】 ： X反 = 10011， 求 X： 第 1步 ： 包 括 符 號 位 在 內(nèi) 按 位 求 反 ： 10011 01100 第 2步 ： 在 數(shù) 值 前 面 添 加 負 號 ： 01100 01100 2008.11 60 反碼的加法運算 為 便 于 判 斷 “ 溢 出 ” ， 也 采 用 雙 符 號 位 。 取 出 X反 ， Y反 X反 +Y反 結(jié) 果 為 X +Y反 若 最 高 位 有 進 位 ， 將 其 送至 最 低 位 再 次 相 加 X反 和 Y反 的 符 號 位 同 樣 參 加 運 算 2008.11 61 X 反 111010 ( 5） 10 Y反 11 1001 ( 6

46、） 10 X 反 +Y反 11 0011 11 0011 1 X + Y 反 = 11 0100 ( 11） 10 最 高 位 發(fā) 生 進 位 ， 送 到 末 位 再 次 相 加 反碼加法示例 設(shè) X = ( 5 )10 = ( 0101 )2 ， Y = ( 6 )10 = ( 0110 )2， 求 X+Y反 雙 符 號 位 X反 = 111010， Y反 = 111001 2008.11 62 反碼的減法運算 X反 和 Y反 |反 的 符 號 位 同 樣 參 加 運 算 X 反 +Y反 |反 結(jié) 果 為 X Y反 若 最 高 位 有 進 位 ， 將 其 送至 最 低 位 再 次 相 加 取

47、 出 X反 ， Y反 Y反 |反 := 對 Y反 按 位 求 反 2008.11 63 X 反 111010 ( 5） 10 Y反 |反 ： 00 0110 ( 6） 10 X 反 +Y反 |反 ： 00 0000 00 0000 1 X Y 反 = 00 0001 ( 1） 10 最 高 位 發(fā) 生 進 位 ， 送 到 末 位 再 次 相 加 反碼減法運算示例設(shè) X = ( 5 )10 = ( 0101 )2 ， Y = ( 6 )10 = ( 0110 )2， 求 X Y反 雙 符 號 位 表 示 ， X反 = 111010， Y反 = 111001， ： 手 工 計 算 的 準 備 工

48、作 ： Y反 |反 = 000110； 2008.11 64 4.4用EDA工具設(shè)計算術(shù)運算電路示例 補 碼 形 式 的 加 法 /減 法 器 ： 輸 入 信 號 ： x(3.0) 和 y(3.0)是 補 碼 形 式 的 有 符 號 二 進 制 數(shù) （ 1個 符 號 位 ） , sub_add是 加 法 / 減 法 的 控 制 信 號 。 輸 出 信 號 ： s(3.0)代 表 運 算 結(jié) 果 ， 是 補 碼 形 式 的 有 符 號 二 進 制 數(shù) （ 1個 符 號 位 ） ； overflow是 溢 出 報 警 信 號 。 2008.11 65 補碼形式的加法/減法器（續(xù)） VHDL行 為

49、描 述 ： 2008.11 66 補碼形式的加法/減法器（續(xù)） VHDL行 為 描 述 （ 續(xù) ） ： 2008.11 67 補碼形式的加法/減法器（續(xù)） 功 能 模 擬 波 形 ： 2008.11 68 1位8421碼十進制數(shù)加法器 用 EDA工 具 設(shè) 計 手 工 設(shè) 計 寫 出 VHDL行 為 描 述 提 交 EDA工 具 Q uartus 2008.11 69 1位8421碼十進制數(shù)加法器(續(xù)) VHDL代 碼 2008.11 70 1位8421碼十進制數(shù)加法器(續(xù)) VHDL代 碼 （ 續(xù) ） architecture behav of bcd_adder is - 結(jié) 構(gòu) 體 用

50、于 定 義 電 路 的 行 為 begin process (x, y, cin ) variable temp : std_logic_vector( 4 downto 0 ); - 聲 明 一 個 臨 時 變 量 begin temp := ( 0 - 把 8421 碼 當 作 普 通 的 二 進 制 數(shù) 相 加 if temp 2#01010# then - 結(jié) 果 無 需 校 正 的 情 況 s = temp( 3 downto 0 ); cout = 0; else - 結(jié) 果 需 要 校 正 （ +6） 的 情 況 temp := temp + 6; s = temp( 3 dow

51、nto 0 ); cout = 1; end if; end process; end behav; 2008.11 71 1位8421碼十進制數(shù)加法器(續(xù)) 功 能 模 擬 波 形 ： 2008.11 72 3位8421碼十進制數(shù)加法器 實 現(xiàn) 方 案 之 一 ： 用 原 理 圖 作 電 路 的 結(jié) 構(gòu) 描 述 2008.11 73 3位8421碼十進制數(shù)加法器(續(xù)) 實 現(xiàn) 方 案 之 二 ： 用 VHDL作 電 路 的 結(jié) 構(gòu) 描 述 元 件 例 化 語 句 調(diào) 用 子 元 件 2008.11 74 3位8421碼十進制數(shù)加法器(續(xù)) 實 現(xiàn) 方 案 之 二 ： 用 VHDL作 電 路

52、的 結(jié) 構(gòu) 描 述 (續(xù) ) 元 件 例 化 語 句 調(diào) 用 子 元 件 architecture struc of bcd_adder_3 is - 3 位 十 進 制 數(shù) 加 法 器 的 結(jié) 構(gòu) 體 描 述 signal temp1, temp2 : std_logic; - 聲 明 2 個 內(nèi) 部 信 號 begin - 以 下 使 用 3 個 直 接 元 件 例 化 語 句 ， 直 接 例 化 庫 元 件 u1: work.bcd_adder(behav) port map ( x( 3 downto 0), y( 3 downto 0), 0 , temp1, s( 3 downto

53、 0) ); u2: work.bcd_adder(behav) port map ( x( 7 downto 4), y( 7 downto 4), temp1, temp2, s( 7 downto 4) ); u3: work.bcd_adder(behav) port map ( x( 11 downto 8 ), y( 11 downto 8), temp2, open, s( 11 downto 8) ); end struc; 2008.11 75 本章小結(jié) 數(shù) 制 與 編 碼 ： 二 進 制 數(shù) 、 十 進 制 數(shù) 、 八 進 制 數(shù) 和 十 六 進 制 數(shù) 。 編 碼 方 式

54、 ： 有 權(quán) 碼 ： 最 常 見 的 是 8421碼 無 權(quán) 碼 ； 最 常 見 的 是 格 雷 碼 ， 它 是 一 種 無 權(quán) 碼 ， 其特 點 是 任 意 2個 相 鄰 碼 之 間 僅 1位 取 值 不 同 。 有 符 號 數(shù) 的 編 碼 ： 原 碼 、 補 碼 和 反 碼 等 3種 編 碼 形 式 ，其 中 以 補 碼 應(yīng) 用 最 廣 。 計 算 機 內(nèi) 部 多 采 用 補 碼 系 統(tǒng) ， 數(shù) 據(jù) 的 存 儲 與 運 算 都 是補 碼 形 式 ， 僅 在 輸 入 輸 出 時 才 轉(zhuǎn) 換 為 人 所 習(xí) 慣 的 表 示形 式 。 2008.11 76 本章小結(jié)（續(xù)） 有 符 號 二 進 制 數(shù) 補 碼 的 表 示 形 式 及 其 加 /減 運 算 規(guī) 則 ， 給 出 了 補 碼 加 法 /減 法 器 的 設(shè) 計 過 程 十 進 制 數(shù) 的 二 進 制 編 碼 簡 稱 BCD碼 ， 設(shè) 計 了 8421碼 的 十 進 制 數(shù) 加 法 器 。 進 行 了 手 工 設(shè) 計 與 使 用 EDA工 具 設(shè) 計 的 對 比 ， 凸 顯 了后 者 的 優(yōu) 越 性 ！ 優(yōu) 點 之 一 ： 提 高 設(shè) 計 效 率 ； 優(yōu) 點 之 二 ： EDA工 具 提 供 了 模 擬 驗 證 的 手 段 ， 使 設(shè)計 者 可 自 己 檢 驗 設(shè) 計 的 正 確 性 。