有限元法原理

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1、第 一 節(jié) 彈 性 力 學 有 關 知 識 第 二 節(jié) 平 面 問 題 有 限 元 法 平 面 問 題 有 限 元 法 數(shù) 值 計 算 方 法 近 似 解 差 分 法 、 變 分 法 微 分 方 程 邊 值 問 題 離 散 、 分 片 插 值 單 元 、 節(jié) 點 非 均 勻 網(wǎng) 格簡 化 插 值 函 數(shù) Review 單 元 通 過 節(jié) 點 連 接 載 荷 (load) 應 力 (Stress) 應 變 (Strain) 位 移 (Displacement)一 、 彈 性 力 學 中 的 物 理 量 load Concentrated forceSurface forceVolume forc

2、ePv=pvx pvy pvzT Pc= pcx pcy pczT Ps= psx psy pszT 外 界 作 用 在 彈 性 體 上 的 力 ， 又 稱 為 外 力 載 荷 Stress Normal Stress:x、 y、 z Shear Stress :xy、 yz、 zx 應 力 = x y z xy yz zx T 6個 應 力 分 量 Strain Normal Strain:x、 y、 z Shear Strain : xy 、 yz 、 zx 應 變d z ydy dz yzOd x d xd yd yO y yzzx x = x y z xy yz zx T 6個 應 變

3、 分 量 Displacement x axis: uy axis: vz axis: wd=u v wT 位 移變 形 (deform,deformation) Pv=pvx pvy pvzT Pc= pcx pcy pczT Ps= psx psy pszT = x y z xy yz zx T = x y z xy yz zx T d=u v wT 平 衡 方 程 幾 何 方 程 物 理 方 程Relationship among load, stress, strain and displacement 000vzzyzxz vyyzyxy vxxzxyx pzyx pzyx pzyx

4、 應 力 載 荷 wvuxz yzxy zyxzuxw ywzv xvyu zwyvxuzxyzxyzyx 00 000 00 00 應 變 位 移 zxzx yzyz xyxy yxzz xzyy zyxx GGGEEE 111 )(1 )(1 )(1應 變 應 力 xyzxyyzzx E( )( )( ) ( ) ( ) ( )11 1 2 1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 01 1 1 0 0 00 0 0 1 221 0 00 0 0 0 1 221 00 0 0 0 0 1 221 xyzxyyzzx D 平 衡 方 程 ： 3幾 何 方 程 ： 6物 理 方 程 ： 6 1

5、5 15= Stress： 6Strain： 6Disp. ： 3 基 本 未 知 量 stresses 力 法Displacements 位 移 法stress, displacements 混 合 法 Learn by yourself definition of plane problem3D Plane problemsimplified Plane stressPlane strain plane stress(1)一 個 方 向 的 尺 寸 遠 小 于 其 他 兩 個 方 向 的 尺 寸 ；(2) 載 荷 平 行 于 平 板 平 面 內(nèi) 并 沿 厚 度 方 向 均 勻 分 布 z

6、zx zy 0 zx zy 0 z x y 1 x y xy x y xy plane strain(1) 一 個 方 向 的 尺 寸 遠 大 于 其 他 兩 個 方 向 的 尺 寸 ；(2) 載 荷 平 行 于 截 面 并 沿 長 度 方 向 均 勻 分 布 z yz zx 0 yz zx 0 z x y x y xy T x y xy T 3D model planemeshingMuch easier 位 移載 荷 平 衡 方 程 應 變應 力 幾 何 方 程物 理 方 程基 本 未 知 量 解 題 思 路 Procedure of Static Analysis of Plane St

7、ress Problem第 二 節(jié) 平 面 問 題 有 限 元 法平 面 應 力 問 題 的 線 性 靜 力 分 析Linear Static Analysisstatic loadlinearstress, deformation 一 、 結(jié) 構(gòu) 離 散 meshingElement (mesh) node單 元 編 號 （ element label）節(jié) 點 編 號 （ node label） (ui, vi) (uj, vj) (um, vm) x yi i, x yj j, x ym m, Element label Node label Node locationDisp. Comp

8、onents: 已 知 未 知 ii yx, x yj j, x ym m,(ui, vi) 、 (uj, vj) 、 (um, vm) 二 、 單 元 分 析 (Element Analysis)目 的 ： 形 成 單 元 位 移 、 應 變 、 應 力 表 達 式 形 成 每 個 單 元 的 剛 度 矩 陣 1、 位 移 函 數(shù) (displacement function) 位 移 插 值 函 數(shù)真 實 位 移 分 布 近 似 位 移 分 布 26524321 26524321),( ),( yxyxyxyxvv yxyxyxyxuu u x yv x y 1 2 3 4 5 6 mmm

9、 mmm jjj jjj iii iii yxv yxu yxv yxu yxv yxu 654 321 654 321 654 321 1 12 A x y x y u x y xy u xy x y uj m m j i m i i m j i j j i m 2 12 A y y u y y u y y uj m i m i j i j m 3 12 A x x u x x u x x um j i i m j j i m 4 12 A x y x y v x y xy v xy x y vj m m j i m i i m j i j j i m 5 12 A y y v y y v

10、y y vj m i m i j i j m 6 12 A x x v x x v x x vm j i i m j j i m a x y x yi j m m j b y yi j m c x xi m j a x y xyj m i i m b y y j m i c x xj i m a xy x ym i j j i b y ym i j c x x m j i 1 23 45 612 1212 1212 12 A a u a u a u A b u b u b uA cu c u c u A a v a v a vA b v b v b v A cv c v c vi i j j

11、m m i i j j m mi i j j m m i i j j m mi i j j m m i i j j m m u A a b x cy u a b x c y u a b x c y uv A a b x cy v a b x c y v a b x c y vi i i i j j j j m m m mi i i i j j j j m m m m 1212 u x yv x y 1 2 34 5 6 N A a b x c yN A a b x c yN A a b x c yi i i ij j j j m m m m 121212 u A a b x cy u a b

12、x c y u a b x c y uv A a b x cy v a b x c y v a b x c y vi i i i j j j j m m m mi i i i j j j j m m m m 1212 u N u N u N u v N v N v N vi i j j m mi i j j m m u N u N u N uv N v N v N vi i j j m mi i j j m m emmjjiimji mji qNvuvuvuNNN NNNvud 000 000 eqNvud 單 元 內(nèi) 的 位 移 插 值 表 達 式分 片 插 值節(jié) 點 位 移 ， 單 元 內(nèi)

13、 任 一 點 的 位 移 mji mji NNN NNNN 000 000 q u v u v u ve i i j j m m TNi、 Nj 、 Nm 形 函 數(shù) 矩 陣節(jié) 點 位 移 列 陣形 函 數(shù) u N u N u N uv N v N v N vi i j j m mi i j j m m 形 函 數(shù) 物 理 意 義i jm1 Ni 性 質(zhì) 1, iii yxN 0, mmijji yxNyxN 1, yxNyxNyxN mji ij ii xx xxyxN 1, ij ij xx xxyxN , 0), yxNm（ 1.2.3. Requirements for displac

14、ement function(1) 常 數(shù) 項(2) 線 性 項(3) 位 移 連 續(xù) 性 (4) 幾 何 各 向 同 性 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5收 斂 (convergence)位 移 函 數(shù) 應 滿 足 的 條 件必 要 條 件充 分 條 件 位 移載 荷 平 衡 方程 應 變應 力 幾 何 方 程物 理 方 程基 本 未 知 量 解 題 思 路 xyxy i i j j m mi i j j m mi i j j m m i i j j m mx yy x uv A b

15、u bu b uA cv cv c vA cu cu c u bv bv b v00 121212263 5 12 0 0 00 0 0A b b bc c cc b c b c b uvuvuv B qi j mi j m i i j j m m iijjmm e 2、 單 元 應 變 和 應 力 (element strain and stress) B A b b bc c cc b c b c b B B Bi j mi j mi i j j m m i j m 12 0 0 00 0 0 B A b cc bl l l l l 12 00 (l=i， j， m) bi、 bj 、 b

16、m ci、 cj、 cm ee qSqBDD S D B S S Si j m S E A b cb cc b l l ll ll l 21 1 2 1 22 eqNd eqB eqS eq d 基 本 未 知 量 數(shù) 量 有 限 ！ 質(zhì) 點 位 移d (x, y)數(shù) 量 無 窮 多 數(shù) 量 有 限微 分 方 程 代 數(shù) 方 程節(jié) 點 位 移 eq F F F F F F F F F Fe i j m T ix iy jx jy m x m y T q u v u v u ve i i j j m m T Txyyxe W uF vF u F vF u F v F q F i ix i iy

17、j jx j jy m mx m my eT e 3、 單 元 剛 度 矩 陣 (element stiffness matrix) U V t x yT TV d d d B q e T eT Tq B U q B t x yq B t x yeT TeT T d dd d F B t x ye T d d UW q F q B t x y eT e eT T d d F B t x y B D B q tA k qe T T e e e d d 單 元 剛 陣 k B D B tAe T 單 元 材 料 板 的 厚 度 單 元 面 積 單 元 形 狀 常 數(shù) 矩 陣 eee qkF 單 元

18、 平 衡 方 程 k k k kk k kk k ke ii ij imji jj jmm i m j m m srsrsrsr srsrsrsrsTrrs bbcccbbc bccbccbbAEt tABDBk 2121 212114 222 mmmjmjimim mjmjjjijij mimjijiiii qkqkqkF qkqkqkF qkqkqkF 單 元 剛 陣 的 性 質(zhì) k ke eT(2) 奇 異 性 (singularity) ke 0(1) 對 稱 性 (symmetry) 二 、 單 元 分 析 (Element Analysis)目 的 ： 形 成 單 元 位 移 、

19、應 變 、 應 力 表 達 式 , 形 成 每 個 單 元 的 剛 度 矩 陣 Question?Can you obtain qe by solving the equation above? eee qkF Why? 線 性 方 程 組 eee qkF Purpose: 單 元 整 體assemble三 、 總 剛 集 成global stiffness matrix of the structure內(nèi) 力 抵 消 qKR known總 剛 矩 陣 F k q k q k q k qi ii i ij j im m is s e (s=i， j， m) F Ri ee i k k k kk

20、 k kk k ke ii ij imji jj jmm i m j m m eee qkF 1、 總 剛 集 成 原 理i k q Ris s e is ijme , in is s e in is ijme k q R 1 1, K q RK結(jié) 構(gòu) 平 衡 方 程單 元 平 衡 方 程k eqe = Fe K kin iss ijme 1 ,總 剛 矩 陣(G lobal Stiffness Matrix) K k k kk k k k kk k k k kk k kk k k k kk k k 111 121 131211 221 2 4 231 2 244 252 4311 321 2

21、 331 2 3 352 3 363424 444 454522 4 532 3 544 552 3 4 563633 653 6630 0 0000 0 000 0 0 2、 總 剛 集 成 過 程（ 1） 擴 階 過 程 000000 000000 000000 000 000 000333231 232221 1312111 kkk kkk kkk k 000000 000 000000 000 000 000000 555352 353332 2523222 kkk kkk kkkk（ 2） 疊 加 過 程 ene ekK 1 3、 總 剛 矩 陣 的 特 點 對 稱 性 （ Symm

22、etry） KT=K 稀 疏 性 （ Sparse） 帶 狀 性 （ Band） 奇 異 性 （ singularity ） |K|=0 四 、 載 荷 移 置Kq=R Nodal force: Concentrated force at nodesConcentrated forceSurface forceVolume force 1、 集 中 力 的 移 置 P p pc cx cy T R R R R R R RPe ix iy jx jy m x m y Tc d N q e e d PeT c q ReT Pec= R N PPe T cc 2、 面 力 的 移 置 3、 體 力

23、的 移 置 Can you obtain q by solving the equation above?Why?Kq=R 線 性 方 程 組 Kq=R F五 、 約 束 處 理 消 除 結(jié) 構(gòu) 的 剛 體 運 動 ， 從 而 消 除 K的 奇 異 性 k k k k k k k k kk k k k k k k k kk k k k k k k k k11 12 15 16 17 18 19 110 11121 22 25 26 27 28 29 210 211111 11 2 115 116 117 118 119 1110 11110 0 00 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0

24、0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1, , , , , , , , , , , qqqqqq RRR12341112 1211000 k k k k k k k k k kk k k k k k M k k kk k k k k k k k k kk k k k k k k k M kk k k k k k k k k k11 12 13 14 15 16 17 18 19 11071 72 73 74 75 76 78 79 71081 82 83 84 85 86 87 88 89 81091 92 93 94 9

25、5 96 97 98 910101 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 1010, , , , , , , , , , qqqqq RMRMR178910 1810 k q k q k q k q k q k q M q k q k q k q M71 1 72 2 73 3 74 4 75 5 76 6 7 78 8 79 9 710 10 , smallrelative M qkqkqkqkqkqkqkqkqkq 1010,79798786765754743732721717 RqK q Time consuming! 六 、 求 解 線 性 方

26、 程 組 ee qNd ee qB ee qS七 、 計 算 其 它 物 理 量 eq ed e e 位 移 法 節(jié) 點 位 移 無 窮 數(shù) 量 的 質(zhì) 點 位 移 有 限 數(shù) 量 的 節(jié) 點 位 移 八 、 計 算 結(jié) 果 處 理 1=(+)/22=(+)/61=(+)/22=(+)/2 九 、 結(jié) 果 顯 示 、 打 印 、 分 析 DiscretionG lobal stiffness matrixLoad Translation Results Process & DisplayCalculate Other QuantitiesRestrain ProcessSolve EquationsElement analysis DiscretionPatch interpolation Displacement function defined over a element ee qNd points : Infinite nodes : finite ee qB ee qSKq=R eee qkF qe: basic unknowns q Equilibrium equations for each elementEquilibrium equation for whole structuresolve Summary The End