二次曲面分類簡介

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1、上 頁 下 頁 結(jié) 束 補(bǔ) 充 二 次 曲 面 的 一 般 理 論 空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 二 次 曲 面 方 程 的 化 簡 應(yīng) 用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 的 類 型 二 次 曲 面 的 仿 射 特 征 和 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 空 間 仿 射 坐 標(biāo) 變 換 公 式 , zcycxcz zcycxcy zcycxcx 333231 232221 131211向 量 的 坐 標(biāo) 變 換 公 式 : . zyxccc ccc ccczyx 333231 232221 131211其 中 (c11, c21, c31), (

2、c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分 別為 新 坐 標(biāo) 向 量 e 1, e2, e3 在 原 坐 標(biāo) 系 I 中 的 坐 標(biāo) .I 到 I 的 過 渡 矩 陣 上 頁 下 頁 結(jié) 束 , 3333231 2232221 1131211 dzcycxcz dzcycxcy dzcycxcx點 的 坐 標(biāo) 變 換 公 式 : . 321333231 232221 131211 dddzyxccc ccc ccczyx其 中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分 別為 新 坐 標(biāo) 向 量 e1, e2,

3、 e3 在 原 坐 標(biāo) 系 I 中 的 坐 標(biāo) , (d1, d2, d3) 為 新 原 點 O在 原 坐 標(biāo) 系 I 中 的 坐 標(biāo) .空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 上 頁 下 頁 結(jié) 束 過 渡 矩 陣 的 性 質(zhì)1. 過 渡 矩 陣 是 可 逆 矩 陣 . 2. 設(shè) 有 三 個 仿 射 坐 標(biāo) 系 I, I, I, I 到 I 的 過 渡矩 陣 為 C, I 到 I 的 過 渡 矩 陣 為 D, 則 I 到 I 的 過 渡 矩 陣 為 CD. 3. 若 I 到 I 的 過 渡 矩 陣 為 C, 則 I 到 I 的 過 渡 矩 陣 為 C 1.4. 兩 個 直 角 坐 標(biāo) 系 之 間 的

4、 過 渡 矩 陣 是 正 交 矩 陣 . 空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 上 頁 下 頁 結(jié) 束 空 間 直 角 坐 標(biāo) (點 ) 變 換移 軸 : , 321dddzyxzyx 321dzz dyy dxx 或其 中 (d1, d2, d3) 為 新 原 點 O在 原 坐 標(biāo) 系 I 中 的 坐 標(biāo) . 空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 上 頁 下 頁 結(jié) 束 轉(zhuǎn) 軸 : 設(shè) 新 坐 標(biāo) 向 量 e1, e2, e3 與 原 坐 標(biāo) 向 量 e1, e2, e3 的 交 角 如 下 表 所 示 : 原 系 x軸 (e1) z軸 (e3)y軸 (e2)新 系 交 角 x軸 (e1) y軸 (e2

5、) z軸 (e3) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 上 頁 下 頁 結(jié) 束 則 轉(zhuǎn) 軸 公 式 為 : coscoscos coscoscos coscoscos zyxzyx 333 222 111 cos coscos cos coscos cos cos cos 333 222 111 zyxz zyxy zyxx或 空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 上 頁 下 頁 結(jié) 束 ,coscoscos coscoscos coscoscos 321333 222 111 dddzyxzyx cos coscos cos coscos cos cos cos 3

6、333 2222 1111 dzyxz dzyxy dzyxx 或 一 般 的 空 間 直 角 坐 標(biāo) (點 ) 變 換 公 式 : 空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 上 頁 下 頁 結(jié) 束 空 間 一 般 坐 標(biāo) 變 換 公 式 , 還 可 以 由 新 坐 標(biāo) 系 的 三 個 坐 標(biāo) 面 來 確 定 . 設(shè) 有 兩 兩 互 相 垂 直 的 三 個 平 面 : 1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0, 3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0, 其 中 Ai Aj + Bi Bj + Ci Cj = 0, (

7、 i, j = 1, 2, 3, i j ).空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 上 頁 下 頁 結(jié) 束 若 取 1 為 yOz面 , 2 為 xOz面 , 3 為 xOy面 , 則 原 系 到 新 系 的 坐 標(biāo) 變 換 公 式 為 : , 232323 3333 222222 2222 212121 1111 CBA DzCyBxAz CBA DzCyBxAy CBA DzCyBxAx 其 中 正 負(fù) 號的 選 取 要 使得 坐 標(biāo) 變 換為 右 手 直 角坐 標(biāo) 變 換 . 空 間 直 角 坐 標(biāo) 變 換 上 頁 下 頁 結(jié) 束 二 次 曲 面 的 類 型 二 次 曲 面 的 一 般 方 程

8、空 間 中 二 次 曲 面 的 一 般 方 程 為a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 其 中 a11, a22, a33, a12, a13, a23不 全 為 零 .+ 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0 () 上 頁 下 頁 結(jié) 束 呂 林 根 解 析 幾 何 P275. 定 理 6. 6. 1 適 當(dāng) 選 取 坐 標(biāo) 系 , 二 次 曲 面 的 方 程 總 可 化 為 下 列 五 個 簡 化 方 程 之 一 : (I) a11x2 + a22y2 + a33z2 + c = 0, a11a22a33 0; (

9、II) a11x2 + a22y2 + 2b3z = 0, a11a22b3 0; (III) a11x2 + a22y2 + c = 0, a11a22 0; (IV) a11x2 + 2b2y = 0, a11b2 0; (V) a11x2 + c = 0, a11 0. 二 次 曲 面 的 類 型二 次 曲 面 的 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (一 ) 橢 球 面 1 橢 球 面 : ;1222222 czbyax 2 點 : ;0222222 czbyax 呂 林 根 解 析 幾 何 P278. 定 理 6. 6. 2 適 當(dāng) 選 取 坐 標(biāo) 系 , 二 次 曲 面 的 方 程 總

10、 可 化 為 下 列 十 七 個 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 之 一 : 3 虛 橢 球 面 : ;1222222 czbyax 二 次 曲 面 的 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (二 ) 雙 曲 面 4 單 葉 雙 曲 面 : ;1222222 czbyax 5 雙 葉 雙 曲 面 : ;1222222 czbyax (四 ) 拋 物 面 7 橢 圓 拋 物 面 : ;zbyax 22222 (三 ) 二 次 錐 面 6 二 次 錐 面 : ;0222222 czbyax 二 次 曲 面 的 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (五 ) 二 次 柱 面 9 橢 圓 柱 面 : ;12222 byax 10

11、 虛 橢 圓 柱 面 : ;12222 byax 11 一 條 直 線 : ;02222 byax 8 雙 曲 拋 物 面 : ;zbyax 22222 二 次 曲 面 的 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 12 雙 曲 柱 面 : ;12222 byax 13 一 對 相 交 平 面 : ;02222 byax 14 拋 物 柱 面 : ;pyx 22 17 一 張 平 面 : .02 x 15 一 對 平 行 平 面 : ., 022 aax 16 一 對 平 行 平 面 : ., 022 aax 二 次 曲 面 的 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類

12、 型二 次 曲 面 的 表 示空 間 中 二 次 曲 面 的 一 般 方 程 為a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 其 中 a11, a22, a33, a12, a13, a23不 全 為 零 .+ 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0 記 F(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy+ 2a 13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c() 上 頁 下 頁 結(jié) 束 則 11 321 3332313 2232212 1131211 zyxcb

13、bb baaa baaa baaazyxzyx ),(F 11 zyxzyx A用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 則 zyxaaa aaa aaazyxzyx 332313 232212 131211 ),( zyxzyx 0A用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 記 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1 F2(x, y, z) = a12x + a22y + a2

14、3z + b2 F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3 F4(x, y, z) = b1x + b2y + b3z + c 則 F(x, y, z) = xF1(x, y, z) + yF2(x, y, z) + zF3(x, y, z) + F4(x, y, z) 用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 記 1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z 2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z 3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z 4(x, y, z) = b

15、1x + b2y + b3z 則 (x, y, z) = x1(x, y, z) +y2(x, y, z) +z3(x, y, z) 用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 I1 = a11 + a22 + a33, ,3323 23223313 13112212 12112 aa aaaa aaaa aa I ,332313 332212 13121103 aaa aaa aaa AI二 次 曲 面 的 不 變 量 .| cbbb baaa baaa baaa 321 3332313 2232212 11312114 AI用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面

16、 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 二 次 曲 面 的 半 不 變 量 .cb bacb bacb ba 3 3332 2221 1111 K .cbb baa baacbb baa baacbb baa baa 32 33323 2232231 33313 1131121 22212 112112 K用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 P287. 定 理 6. 7. 3 給 出 二 次 曲 面 方 程 () , 則 用 不 變 量 和 半 不 變 量 判 別 ()為 何 種 類 型 的 充 要 條 件 是 : 第 (I)類 曲 面 : I3 0; 第 (II

17、)類 曲 面 : I3 = 0, I4 0; 第 (III)類 曲 面 : I3 = 0, I4 = 0, I2 0; 第 (IV)類 曲 面 : I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 0; 第 (V)類 曲 面 : I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 = 0. 用 不 變 量 和 半 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 的 類 型 用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 型 別 識 別 標(biāo) 志 類 別 橢 球 面 一 點 虛 橢 球 面 I4 0 橢 球 面 (I3 0 I2 0或 I1I3 0)P291. 定 理 6. 7.

18、 5用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 型 別 識 別 標(biāo) 志 類 別 單 葉 雙 曲 面 雙 葉 雙 曲 面 I4 0 I4 0 二 次 錐 面 I4 = 0 雙 曲 面 (I3 0 I2 0或 I1I3 0)二 次 錐 面 (I3 0 I2 0 或 I1I3 0)用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 型 別 識 別 標(biāo) 志 類 別 橢 圓 拋 物 面 雙 曲 拋 物 面 I4 0 拋 物 面 (I3 = 0 I4 0)用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 型 別二 次 柱 面 (I3 =

19、 0 I4 = 0 I2 0) 識 別 標(biāo) 志 類 別 雙 曲 柱 面 一 條 直 線 K2 0 橢 圓 柱 面 K2 = 0 I1K2 0 I2 0, 虛 橢 圓 柱 面 I1K2 0, I2 0, I2 0, 一 對 相 交 平 面 K2 = 0 I2 0 K2 = 0, K1 0 K2 0 二 次 柱 面 (I3 = 0 I4 = 0 I2 = 0) 一 對 虛 平 行 平 面 一 對 重 合 平 面 用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 P291. 定 理 6. 7. 4 設(shè) 1, 2, 3 是 二 次 曲 面 () 的特 征 方 程 |I A0| =

20、3 I12 + I2 I3 = 0 的 非 零特 征 根 , 則 二 次 曲 面 () 的 簡 化 方 程 如 下 : 第 (I)類 曲 面 : I3 0; 第 (II)類 曲 面 : I3 = 0, I4 0; ;034232221 IIzyx ;02 242221 zyx II用 不 變 量 和 半 不 變 量 化 簡 二 次 曲 面 的 方 程 用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 第 (III)類 曲 面 : I3 = 0, I4 = 0, I2 0; 第 (IV)類 曲 面 : I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 0; 第 (V)類

21、 曲 面 : I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, K2 = 0. ;0222221 IKyx ;02 1221 yx IKI ;01121 IKI x用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 例 1 設(shè) 在 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 下 二 次 曲 面 有 下 列 方 程 , 判 斷 其 類 型 , 并 求 其 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 : (1) x2+y2+5z26xy2xz+2yz6x+6y6z+10 = 0; (2) 2x2+2y2+3z2+4xy+2xz+2yz4x+6y2z+3 = 0. 解 : (1) 二 次 曲 面 的 矩 陣 為 . A 10

22、333 3511 3113 3131(3) 4x2+y2+z2+4xy+4xz+2yz24x+32 = 0. 用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 I1 = 1 + 1 + 5 = 7, ,044851 1151 1113 312 I ,36511 113 1313 I用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 .3610333 3511 3113 31314 I因 為 I3 0, I2 = 0, I4 0, 所 以 這 是 雙 葉 雙 曲 面 . 解 特 征 方 程 3I12+I2I3 = 372 +36 = 0 得三 個 非 零

23、 特 征 值 1 = 6, 2 = 3, 3 = 2, 用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 因 此 二 次 曲 面 (1) 的 簡 化 方 程 為 : ;034232221 IIzyx 即 ,01236 222 zyx故 它 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 為 .1213161 222 zyx用 不 變 量 判 斷 二 次 曲 面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 (2) 二 次 曲 面 的 矩 陣 為 . A 3132 1311 3122 2122I1 = 2 + 2 + 3 = 7, ,1055031 1231 1222 222 I用 不 變 量 判 斷 二 次 曲

24、面 類 型 上 頁 下 頁 結(jié) 束 ,0311 122 1223 I . I 1253132 1311 3122 21224 因 為 I3 = 0, I4 0, 則 l 和 有 兩 個 不 同 交 點 ; 若 = 0, 則 l 和 有 兩 個 重 合 交 點 ; 若 0, 則 l 和 無 交 點 , 但 方 程 () 有 兩 個 共 軛 復(fù) 根 , 也 稱 l 和 有 兩 個 虛 交 點 . 情 形 2 當(dāng) (X, Y, Z) = 0 時 , XF1(x0, y0, z0)+YF2(x0, y0, z0)+ZF3(x0, y0, z0) 0, 則 () 為 t 的 一 次 方 程 , l 和

25、只 有 一 個 交 點 .二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 而 F(x0, y0, z0) 0, 則 () 無 解 , l 和 不 相 交 . XF1(x0, y0, z0)+YF2(x0, y0, z0)+ZF3(x0, y0, z0) 0, XF1(x0, y0, z0)+YF2(x0, y0, z0)+ZF3(x0, y0, z0) 0, 且 F(x0, y0, z0) 0, 則 ()為 恒 等 式 , 于 是 任 何 實 數(shù) t 都 是 ()的 解 , 從 而 整 條 直 線 l 在 二 次 曲 面 上 . 二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量

26、特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 二 次 曲 面 的 漸 近 方 向 定 義 6. 2. 1 一 個 非 零 向 量 u(X, Y, Z) 如 果 使 得 (X, Y, Z) = 0 , 則 稱 u 所 代 表 的 直 線 方 向 為 的漸 近 方 向 . 否 則 , 稱 為 非 漸 近 方 向 .通 過 任 意 給 定 的 點 (x0, y0, z0), 且 以 二 次 曲 面 ()的 任 意 漸 近 方 向 u (X, Y, Z)為 方 向 的 所 有 直 線 的 軌 跡 是 一 個 以 (x0, y0, z0)為 錐 頂 的 錐 面 : (x x0, y y0, z z0) 0. 二 次

27、曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 二 次 曲 面 的 中 心 定 理 6. 2. 1 點 M0(x0, y0, z0) 是 二 次 曲 面 ()的 中 心 的 充 要 條 件 是 M0的 坐 標(biāo) (x0, y0 , z0)是 下 面 方 程 組 的 解 : .),( ),( ),( FFF 00033323133 22322122 11312111 bzayaxazyx bzayaxazyx bzayaxazyx稱 上 述 方 程 組 為 二 次 曲 面 ()的 中 心 方 程 組 . 二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 中 心

28、 方 程 組 的 系 數(shù) 矩 陣 A和 增 廣 矩 陣 B分 別 為 332313 232212 131211 aaa aaa aaaA 3332313 2232212 1131211 baaa baaa baaaB二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 R(A) = R(B) = 3, 中 心 方 程 組 的 系 數(shù) 行 列 式 ,0332313 232212 1312113 aaa aaa aaaI方 程 組 有 唯 一 解 , 二 次 曲 面 () 有 唯 一 中 心 ; R(A) = R(B) = 2, 中 心 方 程 組 有 無 窮 多 解 , 這 些

29、 解 可 用 一 個 參 數(shù) 線 性 表 示 , 因 此 二 次 曲 面 () 有無 窮 多 中 心 , 它 們 構(gòu) 成 一 條 直 線 ; R(A) = R(B) = 1, 中 心 方 程 組 有 無 窮 多 解 , 這 些 解 可 用 兩 個 參 數(shù) 線 性 表 示 , 因 此 二 次 曲 面 () 有無 窮 多 中 心 , 它 們 構(gòu) 成 一 個 平 面 ; 二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 R(A) R(B) , 中 心 方 程 組 無 解 , 因 此 二 次 曲 面 () 沒 有 中 心 .定 義 6. 2. 3 有 唯 一 中 心 的 二 次

30、曲 面 叫 中 心 二 次 曲 面 ; 否 則 稱 為 非 中 心 二 次 曲 面 , 其 中 沒 有 中 心 的二 次 曲 面 叫 無 心 二 次 曲 面 ; 有 無 數(shù) 中 心 且 構(gòu) 成 一條 直 線 的 二 次 曲 面 叫 線 心 二 次 曲 面 ; 而 有 無 數(shù) 中心 且 構(gòu) 成 一 個 平 面 的 二 次 曲 面 叫 面 心 二 次 曲 面 . 推 論 二 次 曲 面 ()成 為 中 心 二 次 曲 面 的 充 要 條 件是 I3 0, 為 非 中 心 二 次 曲 面 的 充 要 條 件 是 I3 = 0. 二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束

31、二 次 曲 面 的 徑 面 和 奇 向 定 理 6. 4. 1 二 次 曲 面 () 的 一 族 平 行 于 一 個 非漸 近 方 向 u (X, Y, Z) 的 弦 的 中 點 的 軌 跡 是 一 個平 面 , 稱 為 共 軛 于 方 向 u 的 徑 面 , 其 方 程 為 XF1(x, y, z)+YF2(x, y, z)+ZF3(x, y, z) 0 或 定 理 6. 4. 2 二 次 曲 面 的 任 何 徑 面 一 定 通 過 它 的 中 心 (假 若 中 心 存 在 的 話 ). 推 論 1 線 心 二 次 曲 面 的 任 何 徑 面 通 過 它 的 中 心 線 . 推 論 2 面

32、心 二 次 曲 面 的 徑 面 與 它 的 中 心 平 面 重 合 . 1(X, Y, Z)x+2(X, Y, Z)y+3(X, Y, Z)z+4(X, Y, Z)=0. 二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 仍 表 示 一 個 平 面 , 也 稱 為 共 軛 于 方 向 u 的 徑 面 .注 : 如 果 u (X, Y, Z)是 二 次 曲 面 的 漸 近 方 向 , 那 么 平 行 于 u 的 弦 不 存 在 , 但 如 果 1(X, Y, Z), 2(X, Y, Z), 3(X, Y, Z) 不 全 為 零 , 那 么 定 義 6. 4. 2 滿 足 i

33、 (X, Y, Z)=0, i =1, 2, 3 的 漸 近 方向 u(X, Y, Z)稱 為 二 次 曲 面 的 奇 異 方 向 , 簡 稱 奇 向 . 定 理 6. 4. 3 二 次 曲 面 有 奇 向 I3 = 0. 推 論 有 且 只 有 中 心 曲 面 沒 有 奇 向 . 定 理 6. 4. 4 二 次 曲 面 的 奇 向 平 行 于 其 任 意 徑 面 . 1(X, Y, Z)x+2(X, Y, Z)y+3(X, Y, Z)z+4(X, Y, Z)=0. 二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 二 次 曲 面 的 主 徑 面 和 主 方 向 定 義

34、6. 5. 1 如 果 二 次 曲 面 的 徑 面 垂 直 于 它 所 共軛 的 方 向 , 則 稱 這 個 徑 面 為 二 次 曲 面 的 主 徑 面 . 顯 然 主 徑 面 就 是 二 次 曲 面 的 對 稱 面 . 定 義 6. 5. 2 二 次 曲 面 的 主 徑 面 的 共 軛 方 向 , 或二 次 曲 面 的 奇 向 , 稱 為 二 次 曲 面 的 主 方 向 . 注 : u (X, Y, Z) 成 為 二 次 曲 面 ()的 主 方 向 存在 , 使 得 .)( 00 ZYXAI二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 二 次 曲 面 的 切 線 和

35、 切 平 面 定 義 6. 3. 1 如 果 直 線 與 二 次 曲 面 相 交 于 兩 個 互相 重 合 的 點 , 則 這 條 直 線 叫 做 二 次 曲 面 的 切 線 , 那 個 重 合 的 交 點 叫 做 切 點 , 如 果 直 線 全 部 在 二 次曲 面 上 , 這 條 直 線 也 叫 做 二 次 曲 面 的 切 線 , 直 線上 的 每 個 點 都 是 切 點 .定 義 6. 4. 2 二 次 曲 面 上 滿 足 Fi (x0, y0, z0)=0, i =1, 2, 3 的 點 (x0, y0, z0)稱 為 二 次 曲 面 的 奇 異 點 , 簡 稱奇 點 , 非 奇 異

36、點 稱 為 二 次 曲 面 的 正 常 點 . 二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 對 稱 面 的 求 法 : (1) 解 特 征 方 程 |I A0| =3 I12 + I2 I3 = 0, 求 出 三 個 特 征 根 1, 2, 3; (2) 對 每 個 特 征 根 i, 解 齊 次 線 性 方 程 組 ,)( 0000 zyxi AI得 出 對 應(yīng) 于 每 個 非 零 特 征 根 i 的 主 方 向 , 然 后 代 入 徑 面 方 程 即 得 .二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 定 義 6. 3. 2 二 次 曲

37、面 在 一 點 處 的 所 有 切 線 上 的點 構(gòu) 成 的 平 面 叫 做 二 次 曲 面 的 切 平 面 , 這 一 點 叫做 切 點 . 定 理 6. 3. 1 如 果 (x0, y0, z0) 是 二 次 曲 面 的 正 常 點 , 則 二 次 曲 面 在 (x0, y0, z0) 處 存 在 唯 一 的 切 平 面 , 它 的 方 程 是(xx0)F1(x, y, z)+(yy0)F2(x, y, z)+(zz0)F3(x, y, z)= 0 或 F1( x0, y0, z0) x + F2(x0, y0, z0) y + F3(x0, y0, z0) z + F4(x0, y0, z0) = 0. 二 次 曲 面 仿 射 特 征 度 量 特 征 上 頁 下 頁 結(jié) 束 設(shè) 在 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 下 二 次 曲 面 有 下 列 方 程 , 判 斷 其 類 型 , 并 求 其 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 : (1) x2+y2+z2+4xy4xz4yz3 = 0; (2) x22y2+z2+4xy8xz4yz14x4y+14z+16 = 0. (3) 4x2+2y2+3z2+4xz4yz+6x +4y+8z+2 = 0. 作 業(yè)(4) 2x2+2y24z25xy2xz2yz2x2y+z = 0.