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1、,111 aaaa ,11 EAAAA 則 矩 陣 稱 為 的 可 逆 矩 陣 或 逆 陣 .A1A在 數(shù) 的 運 算 中 ， 當 數(shù) 時 ，0a 有aa 11 a其 中 為 的 倒 數(shù) ， a （ 或 稱 的 逆 ） ； 在 矩 陣 的 運 算 中 ， E單 位 陣 相 當 于 數(shù) 的 乘 法 運 算 中 的 1， A那 么 ， 對 于 矩 陣 ， 1A如 果 存 在 一 個 矩 陣 ,使 得 定 義 對 于 階 矩 陣 ， 如 果 有 一 個 階 矩 陣 則 說 矩 陣 是 可 逆 的 ， 并 把 矩 陣 稱 為 的 逆 矩 陣 .n A B,EBAAB B AnA,使 得 .1AA的 逆
2、 矩 陣 記 作例 設(shè) ,2121 2121,11 11 BA ,EBAAB .的 一 個 逆 矩 陣是 AB 說 明 若 是 可 逆 矩 陣 ， 則 的 逆 矩 陣 是 唯 一 的 .A A若 設(shè) 和 是 的 可 逆 矩 陣 ，B C A 則 有, ECAACEBAAB 可 得 EBB BCA ABC .CCE 所 以 的 逆 矩 陣 是 唯 一 的 ,即A .1 ACB 例 設(shè) ,01 12 A .的 逆 陣求 A解 設(shè) 是 的 逆 矩 陣 , dc baB A則 dc baAB 01 12 10 01 10 0122 ba dbca利 用 待 定 系 數(shù) 法 ,1,0,02 ,12 ba
3、db ca .2,1 ,1,0dcba又 因 為 01 12 21 10 01 12 21 10 ,10 01 所 以 .21 101 AAB AB 定 理 1 矩 陣 可 逆 的 充 要 條 件 是 ， 且 ,11 AAAA 0A證 明 若 可 逆 ，A .EAAA 11使即 有,11 EAA故 .0A所 以 .的 伴 隨 矩 陣為 矩 陣其 中 AA ,0時當 A ,0時當 A nnnn nnnnnn nn AAA AAA AAAaaa aaa aaaAA 21 22212 1211121 22221 11211 AAaAaAa nn 1112121111 AAaAaAa nnnnnnnn
4、 2211 , AAAA OO EAAAAA ,EAAAAAA .1 AAA 按 逆 矩 陣 的 定 義 得 證 畢. ,0,0非 奇 異 矩 陣 稱 為時當稱 為 奇 異 矩 陣時當 AAAA 奇 異 矩 陣 與 非 奇 異 矩 陣 的 定 義 .為 非 奇 異 矩 陣是 可 逆 陣 的 充 要 條 件 是由 此 可 得 AA ,1 EBA ,0A故,1存 在因 而 A 于 是EBB BAA 1 ABA 1 證 畢 ., 1 ABEBAEAB 則或若推 論證 明 .,1 111 AAAA 且亦 可 逆則可 逆若逆 矩 陣 的 運 算 性 質(zhì)EA 1 1 A 且可 逆則數(shù)可 逆若 ,0,2 A
5、A 且亦 可 逆則為 同 階 方 陣 且 均 可 逆若 ,3 ABBA 1111 ABBAABAB 1 AEA ,1 EAA .111 ABAB證 明 1AB B 1 1A .1 11 AA TTT AAAA 11 TE ,E .11 TT AA ., ,0, 10 kk AAEA A 定 義時當另 外證 明 為 正 整 數(shù)k .1212 AA 推 廣 1A mA 1mA 11A .,4 AAAA T 且亦 可 逆則可 逆若 T T1 1 .AA,A 115 則 有可 逆若證 明 EAA 1 11 AA .AA 11 因 此 有為 整 數(shù) 時當 ,0 A , AAA . AA 例 1 求 方
6、陣 的 逆 矩 陣 . 343 122 321A解 343 122 321A ,02 .1存 在 A,234 1211 A ,333 1212 A 同 理 可 得 ,2,6,6,2 23222113 AAAA ,2,5,4 333231 AAA ,222 563 462 A得故 AAA 11 222 563 46221 .111 25323 231 0.1 bcadAdc baA 其 中求已 知 例 2 ,0!3 A因由 伴 隨 矩 陣 法 得 ,1 AAA 解 .1存 在故 A .300 020 001 1 AA 求已 知 例 3 2100 0310 0032!31 .3100 0210 0
7、01 ,13 02 31,35 12,343 122 321 CBA例 4 設(shè) .CAXBX 使 滿 足求 矩 陣解 ,02343 122 321 A ,0135 12 B., 11 都 存 在 BA ,111 25323 2311 A且 ,25 131 BCAXB 又 由 1111 CBAAXBBA .11 CBAX于 是 11 CBAX 25 1313 02 31111 25323 231 E 證 明 ,022 EAA由 EEAA 2得 ,0 A EEAA 212 EAA .,2, :,022并 求 它 們 的 逆 矩 陣都 可 逆 證 明滿 足 方 程設(shè) 方 陣EAA EAAA 例 5
8、25 1320 20 11 .410 410 12 .可 逆故 A 1A 022 EAA又 由 0432 EEAEA EEAEA 3412 .EA 可 逆故 2 EAEA 3412 1 且 .43 AE .211 EAA 12 EA ,13412 EAEA 714121,61 ABAABAA 且 o o .B求ABABAA 61 ABAEA 61 EBEA 61 .6 11 EAB解 :, 滿 足 關(guān) 系設(shè) 三 階 矩 陣 BA例 6 1100 010 001700 040 0026 1600 030 0016 1600 030 0016 6100 0310 0016 .100 020 006
9、 116 EAB 均 可 逆， BABAD ,0 0 111 BAD 0 0（ a）（ b） 00B AD 均 可 逆， BAA BD ,00 1 11 （ c） BCAD nm 0 均 可 逆， BABCABAD ,0 111 11 四 分 塊 矩 陣 的 逆 (高 階 矩 陣 的 逆 可 化 為 低 階 來 算 ) 逆 矩 陣 的 概 念 及 運 算 性 質(zhì) .0A逆 矩 陣 的 計 算 方 法 ;2 1 AAA 利 用 公 式逆 矩 陣 存 在1A ;1 待 定 系 數(shù) 法 ?,11 BAY BYABAX BAXA 是 否 有 唯 一 解矩 陣 方 程 是 否 有 唯 一 解那 么 矩 陣 方 程可 逆若 . 1的 唯 一 性 決 定 的這 是 由 于是 的 A答
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