2022-2023學(xué)年甘肅省張掖市高二年級下冊學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、一、單選題 1．已知等比數(shù)列的首項和公比均為2，則的值為（????） A． B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解. 【詳解】由于等比數(shù)列的首項和公比均為2， 所以， 故選：D 2．如圖，在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（????） ?? A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移直線法找出直線與所成的角，結(jié)合余弦定理，即可求出答案. 【詳解】在正方體中，且，所以為平行四邊形， 則，所以即為直線與所成的角（或所成角的補角）， 不妨設(shè)正方體的棱長為2，因為為的中點， 所以，則， 在中，，， 所以在中，， 因為

2、，所以. 故選：D 3．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的均值為2，方差為，則數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平均數(shù)與方差的計算公式，即可求解. 【詳解】根據(jù)題意，易知新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為； 方差為. 故選：D. 4．已知，A，B分別在y軸和x軸上運動，O為原點，，則動點P的軌跡方程是（????） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 【答案】B 【分析】設(shè)出點的坐標，利用進行轉(zhuǎn)化，利用可得答案. 【詳解】設(shè)，因為，所以； 因為，所以，即， 所以，整理得，其軌跡是橢圓. 故選：B. 5．《萊茵德紙草書》是世界上最古老

3、的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目改編：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的份為（????） A．個 B．個 C．個 D．個 【答案】A 【分析】由題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程組求出數(shù)列首項. 【詳解】設(shè)每個人所得按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，首項為，公差為， 由題意知， 解得，最小的份為個. 故選：A. 6．已知拋物線的焦點為，圓，過作直線，與上述兩曲線自上而下依次交于點，當時，直線的斜率為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先設(shè)，，則，，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，利用基本不等式求出最小值且等號成

4、立條件可求出，，從而可得到，即可得到直線的斜率. 【詳解】設(shè)，，則，. ∵，∴， 由拋物線的性質(zhì)知， ∴，則， ∴. 又∵， 得，∴， 當且僅當時，， 此時，∴，∴， ∴， 又∵， 故. 故選：A 【點睛】本題考查了拋物線性質(zhì)，以及基本不等式求最值時等號成立的條件，考查了學(xué)生的計算能力，屬于較難題. 7．等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時，，則數(shù)列的通項公式為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)與累加法求解， 【詳解】根據(jù)題意得，，解得，故， 時，， 故 ． 故選：A 8．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，直線過點，

5、且與雙曲線右支交于A，兩點，為坐標原點，、的內(nèi)切圓的圓心分別為，，則面積的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，求得面積的解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性即可求得面積的取值范圍 【詳解】設(shè)圓與，，分別切于點，，. 由雙曲線定義知，， ∴， ∵，，， ∴，又， ∴，，即點為雙曲線的右頂點. ∵軸，∴的橫坐標為1，同理：橫坐標也為1. ∵平分，平分.∴， 設(shè)、的內(nèi)切圓半徑分別為，， ∵軸，∴， ∵，∴. 設(shè)直線傾斜角為，又為雙曲線右支上兩點， 又漸近線方程為，∴由題意得，∴， ∴， 又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 當時，；

6、 當時，；當時， ∴. 故選：B. 二、多選題 9．對于拋物線，下列描述不正確的是（????） A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為 C．準線方程為 D．準線方程為 【答案】BC 【分析】把拋物線的方程化為標準方程，結(jié)合性質(zhì)可得答案. 【詳解】因為，所以，所以拋物線開口向上，焦點為，其準線方程為，結(jié)合選項可得A,D正確. 故選：BC. 10．已知數(shù)列 的前項和為，下列說法正確的是（ ） A．若 ，則 B．若 ，則的最小值為 C．若 ，則數(shù)列的前項和為 D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則當時，的最大值為 【答案】BC 【分析】令時，由求出可判斷A；由知

7、，，當時，取得的最小值可判斷B；若，求出數(shù)列的前項和可判斷C；由數(shù)列的下標和性質(zhì)可得，則可判斷D. 【詳解】對于A，由，當時，， 由，當時，，所以A不正確； 對于B，若，當時，，則， 所以當時，取得的最小值為； 對于C，若 ，設(shè)數(shù)列的前項和為， 所以 ，故C正確； 對于D，數(shù)列為等差數(shù)列，且， 則， 所以， 當時，的最大值為，所以D不正確. 故選：BC. 11．已知為雙曲線的左右焦點，關(guān)于一條漸近線的對稱點剛好落在雙曲線上，則下列說法正確的是（ ） A． B．雙曲線的離心率 C． D．漸近線方程為 【答案】BC 【分析】漸近線與的交點為關(guān)于直線的對稱

8、點為，連接，運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，求得，再計算可得． 【詳解】如圖所示，雙曲線的左焦點為，右焦點為，由對稱性，取一條漸近線， 關(guān)于漸近線的對稱點為， 直線與線段的交點為，連接，因為點與關(guān)于直線對稱， 則，且為的中點，所以， 根據(jù)雙曲線的定義，有，故A不正確； ，即， 所以，故B正確； 易知是以為直角的直角三角形，所以，故C正確； 由于，所以漸近線方程為，故D不正確. 故選：BC 12．已知數(shù)列滿足，下列命題正確的有（????） A．當時，數(shù)列為遞減數(shù)列 B．當時，數(shù)列一定有最大項 C．當時，數(shù)列為遞減數(shù)列 D．當為正整數(shù)時，數(shù)列必有兩項相等的最

9、大項 【答案】BCD 【分析】分別代入和計算判斷AB選項；再利用放縮法計算判斷C選項；按k的范圍分類，可判斷D； 【詳解】當時，，知A錯誤； 當時，，當，，，， 所以可判斷一定有最大項，B正確； 當時，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，C正確； 當為正整數(shù)時，，當時，， 當時，令， 解得，則，當時，， 結(jié)合B，數(shù)列必有兩項相等的最大項，故D正確； 故選：BCD. 三、填空題 13．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為______. 【答案】 【分析】利用數(shù)列和與通項的關(guān)系，分兩種情況求解. 【詳解】當時，； 當時，， 因為，所以兩式相減可得； 顯然不滿足上式， 綜上

10、可得. 故答案為： 14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一個動點，為圓上一個動點，則的最大值為__________ 【答案】12 【分析】根據(jù)橢圓定義及圓心位置、半徑，應(yīng)用分析法要使最大只需讓最大即可，由數(shù)形結(jié)合的方法分析知共線時有最大值，進而求目標式的最大值. 【詳解】由題意得：，根據(jù)橢圓的定義得， ∴， 圓變形得，即圓心，半徑， 要使最大，即最大，又， ∴使最大即可. 如圖所示： ∴當共線時，有最大值為， ∴的最大值為， ∴的最大值，即的最大值為11+1=12， 故答案為：12 15．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣和一枚質(zhì)地均勻的骰子各一次，記“硬幣正面向

11、上”為事件A，“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是________. 【答案】 【分析】根據(jù)題意求得其對立事件，然后根據(jù)其與對立事件之和為，即可得到結(jié)果. 【詳解】因為，所以， 又因為為相互獨立事件， 所以 所以中至少有一件發(fā)生的概率為 故答案為: 16．已知為橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點（P不在y軸上），的重心為G，內(nèi)心為M，且，則橢圓C的離心率為___________． 【答案】/0.5 【分析】根據(jù)重心坐標公式以及內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合等面積法，得到的關(guān)系，即可求解離心率. 【詳解】設(shè)，由于G是的重心，由重心坐標公式可得， 由于，所

12、以的縱坐標為， 由于是的內(nèi)心，所以內(nèi)切圓的半徑為， 由橢圓定義得， ， ， 故答案為： 四、解答題 17．已知數(shù)列的首項，. (1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的通項公式. 【答案】(1)證明見解析 (2) 【分析】（1）應(yīng)用等比數(shù)列定義證明即可； （2）根據(jù)等比數(shù)列通項公式求解計算即得. 【詳解】（1）因為，所以， 即，且， 所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. （2）由（1）可求得，所以，即. 18．已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點，拋物線的準線交橢圓于，兩點，且. （1）求橢圓與拋物線的方程； （2）為坐標原點，過焦點的直線交

13、橢圓于，兩點，求面積的最大值. 【答案】（1）橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；（2）最大值為1. 【解析】（1）根據(jù)拋物線準線的性質(zhì)，結(jié)合已知進行求解即可； （2）根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合橢圓弦長公式、三角形面積公式、基本不等式進行求解即可. 【詳解】解析：（1）因為，所以不妨設(shè)的坐標為，的坐標為， 所以有：，∴，， ∴橢圓的方程為：，拋物線的方程為：； （2）由（1）可知：的坐標為：， 設(shè)直線的方程為：，到的距離為，則， 聯(lián)立可得：，則， ， 當且僅當時取等號，故面積的最大值為1. 19．如圖，四棱錐的底面是梯形，為延長線上一點，平面是中點. (1)證明：

14、； (2)若，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值. 【答案】(1)證明見解析 (2) 【分析】（1）取的中點，連接，進而證明平面即可證明結(jié)論； （2）由題平面，進而根據(jù)等體積法得，再以為原點，分別以方向為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，利用坐標法求解即可. 【詳解】（1）證明：平面平面. . 又，平面 平面. 平面. 取的中點，連接為的中點， . . ， ， 為的中點，. 又平面 平面. 平面. （2）解： . ，且四邊形為矩形， 平面. ∴，解得， 以為原點，分別以方向為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系. 則， 易知

15、是平面的一個法向量. 設(shè)平面的一個法向量為， ∴，即，不妨取，得. . 由圖知二面角的平面角為銳角， 二面角的余弦值為. 20．某校從小明所在的高一年級的600名學(xué)生中，隨機抽取了50名學(xué)生，對他們家庭中一年的月均用水量（單位：噸）進行調(diào)查，并將月均用水量分為6組：，，，，，加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求出圖中實數(shù)的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計小明所在的高一年級的600名同學(xué)家庭中，月均用水量不低于11噸的約有多少戶； (2)在月均用水量不低于11噸的樣本數(shù)據(jù)中，小明決定隨機抽取2名同學(xué)家庭進行訪談，求這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于組的概率

16、． 【答案】(1)，84戶 (2). 【分析】（1）根據(jù)圖表求出在的頻率為0.1，則，從而求出不低于11噸的頻率為，再乘以600名同學(xué)即可得到相應(yīng)戶數(shù)； （2）首先求出樣本數(shù)據(jù)有5戶在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)，再用列舉法列出所有情況以及滿足題意的情況數(shù)，則可求出概率. 【詳解】（1）因為各組的頻率之和為1, 所以月均用水量在區(qū)間的頻率為 所以圖中實數(shù). 由圖可知,樣本數(shù)據(jù)中月均用水量不低于11噸的頻率為 所以小明所在學(xué)校600名同學(xué)家庭中,月均用水量不低于11噸的約有 （戶） （2）設(shè)事件:這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于組 由圖可知,樣本數(shù)據(jù)中月均用水量在的

17、戶數(shù)為. 記這五名同學(xué)家庭分別為,,,, . 月均用水量在的戶數(shù)為. 記這兩名同學(xué)家庭分別為,. 則選取的同學(xué)家庭的所有可能結(jié)果為: 共21種. 事件的可能結(jié)果為: ，共10種. 所以. 所以這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于組的概率為. 21．已知雙曲線的右焦點為，且點在雙曲線C上. (1)求雙曲線C的方程； (2)過點F的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在不與F重合的點P，使得點F到直線PA，PB的距離始終相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由. 【答案】(1) (2)存在，，理由見解析 【分析】（1）首先得，再

18、將點的坐標代入雙曲線方程，聯(lián)立方程求解，即可求雙曲線方程； （2）假設(shè)存在點，據(jù)題意設(shè)，聯(lián)立方程得到，，再由點到直線的距離相等可得，由此代入式子即可求得點坐標，再考慮斜率不存在的情況即可 【詳解】（1）由題意得，， 所以，所以，， 所以雙曲線C的標準方程為； （2）假設(shè)存在，設(shè)，， 由題意知，直線斜率不為0，設(shè)直線， 聯(lián)立，消去，得， 則，， 且，， 因為使得點F到直線PA，PB的距離相等，所以PF是的角平分線， 則，即，則， 整理得，故， 即，因為，所以，此時； 當直線的斜率不存在時，根據(jù)拋物線的對稱性，易得也能讓點F到直線PA，PB的距離相等； 綜上所述，故存在滿足題意 22．已知數(shù)列的通項公式為，為數(shù)列的前n項和. (1)求； (2)若對于，恒成立，求的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用裂項相消法求和可得答案； （2）根據(jù)的表達式，求出的范圍，得到的最大值，可得答案. 【詳解】（1）因為， 所以 . （2）當n為正奇數(shù)時，， 且隨n的增大而增大，所以，所以， 當n為正偶數(shù)時，， 且隨n的增大而減小，所以， 所以，綜上可得且，則， 所以的最大值為（當且僅當時取得）. 因為恒成立，所以恒成立，所以， 所以的取值范圍為.