高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1_2 基本不等式課件 新人教B版選修4-5

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1、1.2 基 本 不 等 式 1.了解兩個或三個正數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值.2.理解定理1和定理2(基本不等式).3.探索并了解三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均值不等式的證明過程.4.掌握用基本不等式求一些函數(shù)的最值及實際的應(yīng)用問題. 1.定 理 1設(shè)a,b R,則a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.2.定 理 2(基 本 不 等 式 或 平 均 值 不 等 式 ) (3)基本不等式可用語言敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等 于它們的幾何平均值. 【 做 一 做 2-1】 下列不等式中正確的是()答 案 :D 答 案 :4 3.定 理 3(三 個 正 數(shù) 的 算 術(shù) 幾 何 平 均 值 不

2、等 式 或 平 均 值 不 等 式 )(3)定理3可用語言敘述為三個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值. 【 做 一 做 3】 已知x,y,z是正數(shù),且x+y+z=6,則lg x+lg y+lg z的取值范圍是()A.(-,lg 6 B.(-,3lg 2C.lg 6,+) D.3lg 2,+)解 析 : x,y,z是正數(shù), lg x+lg y+lg z=lg xyzlg 23=3lg 2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2時,等號成立.答 案 :B 4.定 理 4(一 般 形 式 的 算 術(shù) 幾 何 平 均 值 不 等 式 ) 答 案 :4 1.三 個 或 三 個 以 上 正 數(shù) 的 算 術(shù) 幾 何

3、平 均 值 不 等 式 的 應(yīng) 用 條 件是 什 么 ?剖 析 :“一正”:不論是三個數(shù)的平均值不等式或者n個數(shù)的平均值 “二定”:包含兩類求最值問題:一是已知n個正數(shù)的和為定值(即a1+a2+an為定值),求其積a1a2an的最大值;二是已知乘積a1a2an為定值,求其和a1+a2+an的最小值.“三相等”:等號成立的條件是a 1=a2=a3=an,不能只是其中一部分值相等. 2.如 何 使 用 基 本 不 等 式 中 的 變 形 與 拼 湊 方 法 ?剖 析 :為了使用基本不等式求最值(或范圍等),往往需要對數(shù)學(xué)代數(shù)式變形或拼湊數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),有時一個數(shù)拆成兩個或兩個以上的數(shù), 題型一 題型二

4、題型三 題型四利 用 基 本 不 等 式 比 較 大 小 分 析 :解答本題應(yīng)充分利用基本不等式及其變形,不等式的性質(zhì). 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型四題型三 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 分 析 :根據(jù)題設(shè)條件,合理變形,創(chuàng)造能用基本不等式的條件. 題型一 題型二 題型四題型三 題型一 題型二 題型四題型三 題型一 題型二 題型四題型三反 思利用基本不等式解題時要注意考察“三要素”:(1)函數(shù)中的相關(guān)項必須都是正數(shù);(2)變形后各項的和或積有一個必須是常數(shù);(3)當(dāng)且僅當(dāng)各項相等時,才能取到等號,可簡化為“一正二定三相等”.求

5、函數(shù)的最值時,常將不滿足上述條件的函數(shù)式進行“拆”、“配”等 變形,使其滿足條件,進而求出最值. 題型一 題型二 題型三 題型四基 本 不 等 式 的 實 際 應(yīng) 用【 例 3】 某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額,擬在2016年第31屆夏季奧林匹克運動會期間進行一系列促銷活動,經(jīng)過市場調(diào)查和測算,化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例的關(guān)系,如果不搞促銷活動,化妝品的年銷量只能是1萬件,已知2016年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元,每生產(chǎn)1萬件化妝品需要投入32萬元的生產(chǎn)費用,若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半

6、之和,則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完.(1)將2016年的利潤y(單位:萬元)表示為促銷費t(單位:萬元)的函數(shù);(2)該企業(yè)2016年的促銷費投入多少萬元時,企業(yè)的年利潤最大? 題型一 題型二 題型三 題型四分 析 :表示出題中的所有已知量和未知量,利用它們之間的關(guān)系列出函數(shù)表達式,再應(yīng)用不等式求最值. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四反 思解答不等式的實際應(yīng)用問題,一般可分為如下四步:閱讀理解材料:應(yīng)用題所用語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用,而且多數(shù)應(yīng)用題篇幅較長.閱讀理解材料要達到的目的是將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型.這就要求解題者領(lǐng)悟問題的實際背景,

7、確定問題中量與量之間的關(guān)系,初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路,明確解題方向.建立數(shù)學(xué)模型:根據(jù)中的分析,把實際問題用“符號語言”、“圖形語言”抽象成數(shù)學(xué)模型,并且建立所得數(shù)學(xué)模型和已知數(shù)學(xué)模型的對應(yīng)關(guān)系,以便確立下一步的努力方向.討論不等關(guān)系:根據(jù)題目要求和中建立起來的數(shù)學(xué)模型,討論與結(jié)論有關(guān)的不等關(guān)系,得出有關(guān)理論參數(shù)的值.得出問題結(jié)論:根據(jù)中得到的理論參數(shù)的值,結(jié)合題目要求得 出問題的結(jié)論. 題型一 題型二 題型三 題型四 易 錯 辨 析易 錯 點 :利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 時 ,應(yīng) 注 意 不 等 式 成 立 的 條 件 ,即 變量 為 正 實 數(shù) ,和 或 積 為 定 值 ,等 號 成 立 ,三 者 缺 一 不 可 . 題型一 題型二 題型三 題型四 1 2 3 4 51下列函數(shù)中,最小值為2的是() 答 案 :D 1 2 3 4 5答 案 :C 1 2 3 4 5A.3 B.4 C.5 D.6 答 案 :A 1 2 3 4 54周長為l的矩形的面積的最大值為,對角線長的最小值為. 1 2 3 4 5