高考數學一輪復習 第十四章 系列4選講 14.4 課時2 不等式的證明課件 理.ppt

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,§14.4 不等式選講,課時1 不等式的證明,,,內容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,基礎知識 自主學習,1.不等式證明的方法 (1)比較法： ①作差比較法： 知道ab?a－b0，ab只要證明 即可，這種方法稱為作差比較法. ②作商比較法： 由ab0? 1且a0，b0，因此當a0，b0時，要證明ab，只要證明 即可，這種方法稱為作商比較法.,a－b0,,知識梳理,1,,答案,(2)綜合法： 從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關性質或定理，經過推理論證，最終推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法.即“ ”的方法. (3)分析法： 從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法.即“ ”的方法.,由因導果,執(zhí)果索因,,答案,(4)反證法和放縮法： ①先假設要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法. ②在證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當地放大或縮小，此利于化簡并使它與不等式的另一邊的關系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法.,(5)數學歸納法： 一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數n0的所有正整數n都成立時，可以用以下兩個步驟： ①證明當n＝n0時命題成立； ②假設當n＝k (k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數都成立.這種證明方法稱為數學歸納法.,2.幾個常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代數形式：設a，b，c，d均為實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (當且僅當ad＝bc時，等號成立). ②柯西不等式的向量形式：設α，β為平面上的兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，等號當且僅當α，β共線時成立.,(ac＋bd)2,,答案,(2)算術—幾何平均不等式,,答案,解 根據柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.,,解析答案,1,2,3,解 ∵x0，y0，,,1,2,3,解析答案,返回,,題型分類 深度剖析,證明 因為x0，y0，x－y0，,,,題型一 用綜合法與分析法證明不等式,,解析答案,只需證明(a＋b＋c)2≥3. 即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca). 即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.,所以原不等式成立.,,解析答案,思維升華,,用綜合法證明不等式是“由因導果”，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關系，可以增加解題思路，開闊視野.,思維升華,設a、b、c均為正數，且a＋b＋c＝1，證明：,證明 由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由題設得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，,,解析答案,跟蹤訓練1,,解析答案,證明 當|a＋b|＝0時，不等式顯然成立. 當|a＋b|≠0時，,,,題型二 放縮法證明不等式,,解析答案,思維升華,,(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧. 常見的放縮變換有：,②利用函數的單調性；,(2)在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度.,思維升華,證明 由2n≥n＋kn(k＝1,2，…，n)，,…,跟蹤訓練2,∴原不等式成立.,,解析答案,例3 已知x，y，z均為實數.,≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.,,,題型三 柯西不等式的應用,,解析答案,(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.,,解析答案,思維升華,,(1)使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形，化為符合它的結構形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明.,思維升華,跟蹤訓練3,,解析答案,返回,證明 由柯西不等式及題意得，,,返回,,思想方法 感悟提高,證明不等式的方法和技巧： (1)如果已知條件與待證明的結論直接聯系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數有關，則考慮用數學歸納法等. (2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構造法等技巧簡化對問題的表述和證明.尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是去絕對值號，轉化為常見的不等式(組)求解.多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據.,(3)在使用基本不等式時，等號成立的條件是一直要注意的事情，特別是連續(xù)使用時，要求分析每次使用時等號是否成立. (4)柯西不等式使用的關鍵是出現其結構形式，也要注意等號成立的條件.,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,又a＋b＋c0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,6.已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值.,解 由柯西不等式得 (4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2， ∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2. ∵2a＋2b＋c＝8，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,證明：(1)a＋b≥2； (2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立.,(2)假設a2＋a＜2與b2＋b＜2同時成立， 則由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1； 同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1矛盾. 故a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(1)關于x的不等式|x－3|＋|x－4|a的解集不是空集，求a的取值范圍；,解 ∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，且|x－3|＋|x－4|1，即a的取值范圍是(1，＋∞).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 由柯西不等式，得,即25×1≥(x＋y＋z)2. ∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5. ∴x＋y＋z的取值范圍是[－5,5].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,10.已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞).,解 因為a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)求證：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,返回,證明 方法一 由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1， x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：,所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,方法二 因為a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)， 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1),≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab) ＝x1x2(a＋b)2＝x1x2， 當且僅當x1＝x2時，取得等號. 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,返回,