高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 12.1 合情推理與演繹推理課件 文.ppt

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,第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù),§12.1 合情推理與演繹推理,,,內(nèi)容索引,,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,高頻小考點,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.合情推理 (1)歸納推理 ①定義：從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，稱為歸納推理(簡稱歸納法). ②特點：歸納推理是由 到整體、由 到一般的推理. (2)類比推理 ①定義：根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理(簡稱類比法). ②特點：類比推理是由 到 的推理.,部分,個別,特殊,特殊,,知識梳理,1,,答案,(3)合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理. 2.演繹推理 (1)演繹推理 一種由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是由 到 的推理.,一般,特殊,,答案,(2)“三段論”是演繹推理的一般模式 ①大前提——已知的 ； ②小前提——所研究的 ； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對 做出的判斷.,一般原理,特殊情況,特殊情況,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.( ) (2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.( ) (3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.( ) (4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的.( ) (5)一個數(shù)列的前三項是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項公式是an＝n(n∈N*).( ) (6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.( ),×,√,×,√,×,×,思考辨析,,答案,1.觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝________.,解析 從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值， 從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和， 依據(jù)此規(guī)律，a10＋b10＝123.,123,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是________. ①使用了歸納推理； ②使用了類比推理； ③使用了“三段論”，但推理形式錯誤； ④使用了“三段論”，但小前提錯誤.,解析 由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯誤原因是推理形式錯誤.,③,,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2014·福建)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個關(guān)系：①a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c＝________.,,解析答案,1,2,3,4,5,解析 因為三個關(guān)系中只有一個正確，分三種情況討論：,所以解得a＝b＝1，c＝0，或a＝1，b＝c＝0，或b＝1，a＝c＝0，與互異性矛盾；,,解析答案,1,2,3,4,5,所以100a＋10b＋c＝201.,答案 201,,1,2,3,4,5,4.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1∶2，則它們的體積比為__________．,,解析答案,1,2,3,4,5,解析 ∵兩個正三角形是相似的三角形， ∴它們的面積之比是相似比的平方． 同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方， ∴它們的體積比為1∶8.,1∶8,5.(教材改編)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則b1b2b3b4…bn＝____________________________.,b1b2b3b4…b17－n (n17，n∈N*),,1,2,3,4,5,答案,返回,,題型分類 深度剖析,命題點1 與數(shù)字有關(guān)的等式的推理,例1 (2015·陜西)觀察下列等式：,…， 據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_______________________________.,,,題型一 歸納推理,,解析答案,解析 等式左邊的特征：第1個等式有2項，第2個有4項，第3個有6項，且正負交錯， 故第n個等式左邊有2n項且正負交錯，,等式右邊的特征：第1個有1項，第2個有2項，第3個有3項，,命題點2 與不等式有關(guān)的推理,解析 第一個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1； 第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4； 第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn.,nn,,解析答案,命題點3 與數(shù)列有關(guān)的推理,正方形數(shù) N(n,4)＝n2，,六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n ……………………………………… 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝____________.,,解析答案,解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推測：,答案 1 000,命題點4 與圖形變化有關(guān)的推理,例4 某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來 的線段，且這兩條線段與原線段兩夾角為120°，…，依此規(guī)律得到n級分形圖.,(1)n級分形圖中共有________條線段；,解析 分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段， 由題圖知，一級分形圖中有3＝(3×2－3)條線段， 二級分形圖中有9＝(3×22－3)條線段， 三級分形圖中有21＝(3×23－3)條線段， 按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an＝(3×2n－3) (n∈N*).,3×2n－3,,解析答案,(2)n級分形圖中所有線段長度之和為_____________.,,解析答案,思維升華,,歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解. (2)與不等式有關(guān)的推理.觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解. (3)與數(shù)列有關(guān)的推理.通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可. (4)與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?,思維升華,(1)觀察下圖，可推斷出“x”處應(yīng)該填的數(shù)字是________.,解析 由前兩個圖形發(fā)現(xiàn)：中間數(shù)等于四周四個數(shù)的平方和， ∴“x”處應(yīng)填的數(shù)字是32＋52＋72＋102＝183.,183,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1,(2)如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)， 第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，…，依此類推，如 果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為________.,解析 由題意知，第1層的點數(shù)為1，第2層的點數(shù)為6，第3層的點數(shù)為2×6，第4層的點數(shù)為3×6，第5層的點數(shù)為4×6，…， 第n(n≥2，n∈N*)層的點數(shù)為6(n－1). 設(shè)一個點陣有n(n≥2，n∈N*)層，,由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8層.,8,,解析答案,例5 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)， 則am＋n＝ .類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}(bn0， n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝ ________.,解析 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q.,,,題型二 類比推理,,解析答案,思維升華,,(1)進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵.(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等.,思維升華,解析 設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐A－BCD四個面上的高， P為三棱錐A－BCD內(nèi)任一點,P到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd ，,跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.,(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了),,,題型三 演繹推理,,解析答案,(2)Sn＋1＝4an.,又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， (小前提) ∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an. (結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件),,解析答案,思維升華,,演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準正確的大前提，一般地，若大前提不明確時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.,思維升華,某國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝.”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為________. ①大前提錯誤； ②小前提錯誤； ③推理形式錯誤； ④非以上錯誤.,解析 因為大前提的形式“鵝吃白菜”，不是全稱命題，大前提本身正確，小前提“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，鵝與人不能類比，所以不符合三段論推理形式，所以推理形式錯誤.,③,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,返回,,高頻小考點,,典例1 (1)傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：,將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測： ①b2 014是數(shù)列{an}的第________項； ②b2k－1＝________.(用k表示),,高頻小考點,10.高考中的合情推理問題,,解析答案,,解析答案,…,答案 ①5 035,(2)設(shè)S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y＝f(x)滿足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)對任意x1，x2∈S，當x1x2時，恒有f(x1)f(x2).那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是________. ①A＝N*，B＝N； ②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0x≤10}； ③A＝{x|0x1}，B＝R； ④A＝Z，B＝Q.,,解析答案,溫馨提醒,返回,解析 對于①，取f(x)＝x－1，x∈N*，所以A＝N*，B＝N是“保序同構(gòu)”的，故①是；,④不符合，不是保序同構(gòu).,答案 ④,,溫馨提醒,,(1)解決歸納推理問題，常因條件不足，了解不全面而致誤.應(yīng)由條件多列舉一些特殊情況再進行歸納. (2)解決類比問題，應(yīng)先弄清所給問題的實質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由，再去類比另一類問題.,,返回,溫馨提醒,,思想方法 感悟提高,1.合情推理的過程概括為,2.演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論.數(shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進行.,方法與技巧,1.合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步嚴格證明. 2.演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性. 3.合情推理中運用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù).,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.下列推理是歸納推理的是________. ①A，B為定點，動點P滿足PA＋PB＝2aAB，則P點的軌跡為橢圓； ②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式；,④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇.,解析 從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn，是從特殊到一般的推理，所以②是歸納推理.,②,,解析答案,2.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理________. ①結(jié)論正確； ②大前提不正確； ③小前提不正確； ④全不正確.,解析 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯誤.,③,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,3.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為f(n)＝__________.,解析 1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域； 2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域； 3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域； ……；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,4.給出下列三個類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是________. 解析 (a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①錯誤. sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立.,由向量的運算公式知③正確.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,若{cn}是等比數(shù)列，,即{dn}為等比數(shù)列.,答案 ④,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.觀察下列不等式：,…… 照此規(guī)律，第五個不等式為________________________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分數(shù)的分母的開方與右端值的分母相等，且每行右端分數(shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,因為P0(x0，y0)在這兩條切線上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知 b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,并注意到在這三個特殊式子中，自變量之和均等于1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,歸納猜想得：當x1＋x2＝1時，,,解析答案,證明：設(shè)x1＋x2＝1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 如圖所示，由射影定理得 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又BC2＝AB2＋AC2，,猜想，四面體A—BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，,,解析答案,證明：如圖，連結(jié)BE并延長交CD于F，連結(jié)AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝D， AC?平面ACD，AD?平面ACD，∴AB⊥平面ACD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,∵AF?平面ACD，∴AB⊥AF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.已知①正方形的對角線相等；②矩形的對角線相等；③正方形是矩形.根據(jù)“三段論”推理出一個結(jié)論.則這個結(jié)論是________.(填序號),解析 根據(jù)演繹推理的特點，正方形與矩形是特殊與一般的關(guān)系，所以結(jié)論是正方形的對角線相等.,①,,解析答案,13.如圖(1)若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點M1、M2與點N1、N2，則三角形面積之比 ＝ 如圖(2)，若從點O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點P1、P2，點Q1、Q2和點R1、R2，則類似的結(jié)論為__________________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,故體積之比為,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，首項a1＝5. (1)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 由于a1＝5，d＝2，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)設(shè)Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律．,解 因為Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n， 所以T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39， T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105. S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21， S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S1＝T1，當n≥2且n∈N*時，SnTn. 歸納猜想：當n＝1時，Sn＝Tn； 當n≥2，n∈N*時，SnTn.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,∴－1－y＝f(1－x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．,解 由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)， 即f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1， f(0)＋f(1)＝－1. 則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.,,解析答案,返回,