高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.1 幾何證明選講 課時(shí)2 圓的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)課件 理.ppt

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,§14.1 幾何證明選講,課時(shí)2 圓的進(jìn)一步認(rèn)識(shí),,,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.圓周角與圓心角定理 (1)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于 . (2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對(duì)弧的度數(shù)的 . 推論1：同弧(或等弧)所對(duì)的圓周角 .同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等. 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角等于 .反之，90°的圓周角所對(duì)的弧為半圓(或弦為直徑).,其所對(duì)弧的度數(shù),一半,相等,90°,,知識(shí)梳理,1,,答案,2.圓的切線的性質(zhì)及判定定理 (1)判定定理：過(guò)半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的 . (2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的 . 推論1：經(jīng)過(guò)圓心且與切線垂直的直線必經(jīng)過(guò) . 推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線必經(jīng)過(guò) . 3.切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng) . 4.弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的 .,切線,半徑,切點(diǎn),圓心,相等,度數(shù)的一半,,答案,5.與圓有關(guān)的比例線段,PC·PD,△BDP,,PC·PD,△PDB,,,答案,PB·PC,△PCA,PB,∠OPB,,,6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 . (2)判定定理：如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓.,互補(bǔ),,答案,1.如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓的切線PC及割線PAB，C為切點(diǎn).求證：AP·BC＝AC·CP.,證明 因?yàn)镻C為圓O的切線，所以∠PCA＝∠PBC， 又∠CPA＝∠BPC，故△CAP∽△BCP，,,考點(diǎn)自測(cè),2,,解析答案,1,2,3,4,2.(2015·重慶)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作圓 O的切線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3， CE∶ED＝2∶1，求BE的長(zhǎng). 解 首先由切割線定理得PA2＝PC·PD，,又CE∶ED＝2∶1， 因此CE＝6，ED＝3， 再由相交弦定理AE·EB＝CE·ED，,,解析答案,1,2,3,4,3.如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC＝2AE，求EF的長(zhǎng).,解 ∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，,,解析答案,1,2,3,4,4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20， 過(guò)C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓 交于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng). 解 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，,∵CD為切線，∴∠BCD＝∠A＝60°.,∴DE＝5.,,1,2,3,4,解析答案,返回,,題型分類 深度剖析,例1 (2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的 切線，BC交⊙O于點(diǎn)E. (1)若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙O的切線；,證明 連結(jié)AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt △AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 連結(jié)OE，則∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切線.,,,題型一 圓周角、弦切角和圓的切線問(wèn)題,,解析答案,解 設(shè)CE＝1，AE＝x，,由射影定理可得，AE2＝CE·BE，,,解析答案,思維升華,,(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小.(2)涉及圓的切線問(wèn)題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角.,思維升華,(1)如圖所示，⊙O的兩條切線PA和PB相交于點(diǎn)P，與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，C是⊙O上的一點(diǎn)，若∠P＝70°，求∠ACB的大小.,解 如圖所示，連結(jié)OA，OB， 則OA⊥PA，OB⊥PB. 故∠AOB＝110°，,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,(2)如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，且滿足∠ABC＝30°，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，求PA的長(zhǎng).,解 如圖，連結(jié)OA，由圓周角定理知∠AOC＝60°，,又OA⊥PA，在Rt△POA中，,,解析答案,例2 如圖所示，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是 ⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi) 部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn). (1)證明：A，P，O，M四點(diǎn)共圓；,證明 如圖，連結(jié)OP，OM，因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P， 所以O(shè)P⊥AP， 因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC， 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)， 所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓.,,,題型二 四點(diǎn)共圓問(wèn)題,,解析答案,(2)求∠OAM＋∠APM的大小. 解 由(1)得，A，P，O，M四點(diǎn)共圓， 所以∠OAM＝∠OPM， 由(1)得OP⊥AP，因?yàn)閳A心O在∠PAC的內(nèi)部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， 所以∠OAM＋∠APM＝90°.,,解析答案,思維升華,,(1)如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四點(diǎn)共圓；(2)如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.,思維升華,如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng) 線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CB＝CE. (1)證明：∠D＝∠E；,證明 由題設(shè)知，A，B，C，D四點(diǎn)共圓， 所以∠D＝∠CBE， 由已知得∠CBE＝∠E， 故∠D＝∠E.,跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,(2)設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形.,證明 如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連結(jié)MN， 則由MB＝MC知MN⊥BC，故點(diǎn)O在直線MN上. 又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點(diǎn)， 故OM⊥AD，即MN⊥AD. 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E， 由(1)知，∠D＝∠E， 所以△ADE為等邊三角形.,,解析答案,例3 (2015·陜西)如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，直線AO 交⊙O 于D，E兩點(diǎn)，BC⊥DE，垂足為C. (1)證明：∠CBD＝∠DBA；,證明 因?yàn)镈E為⊙O的直徑， 則∠BED＋∠EDB＝90°， 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°， 從而∠CBD＝∠BED， 又AB切⊙O于點(diǎn)B，得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA.,,,題型三 與圓有關(guān)的比例線段,,解析答案,解 由(1)知BD平分∠CBA，,故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直徑為3.,,解析答案,思維升華,,(1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明.解決問(wèn)題時(shí)要注意相似三角形知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用.,思維升華,(1)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延 長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝ ，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1， 若CE與圓相切，求線段CE的長(zhǎng).,解 由相交弦定理得AF·FB＝DF·CF， 由于AF＝2FB，可解得FB＝1，,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,(2)(2014·湖北)如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.過(guò)PA的中點(diǎn)Q作割線交⊙O于C，D兩點(diǎn).若QC＝1，CD＝3，求PB的長(zhǎng).,解 由切割線定理得QA2＝QC·QD＝4，解得QA＝2. 由切線長(zhǎng)定理得PB＝PA＝2QA＝4.,,解析答案,返回,,思想方法 感悟提高,1.判定切線通常有三種方法： (1)和圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線； (2)與圓心距離等于半徑的直線是圓的切線； (3)過(guò)半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線. 2.四點(diǎn)共圓問(wèn)題主要結(jié)合圓中有關(guān)邊、角定理進(jìn)行推理和說(shuō)明，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或判定對(duì)問(wèn)題求解. 3.解決與圓有關(guān)的成比例線段問(wèn)題的兩種思路： (1)直接應(yīng)用相交弦、切割線定理及其推論； (2)當(dāng)比例式(等積式)中的線段分別在兩個(gè)三角形中時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形→比例式→等積式”.在證明中有時(shí)還要借助中間比來(lái)代換，解題時(shí)應(yīng)靈活把握.,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.(2015·江蘇)如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點(diǎn)D.求證：△ABD∽△AEB.,證明 因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因?yàn)椤螩＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE為公共角，可知△ABD∽△AEB.,,解析答案,2.如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn). 證明：∠OCB＝∠D. 證明 因?yàn)锽，C是圓O上的兩點(diǎn)， 所以O(shè)B＝OC. 故∠OCB＝∠B. 又因?yàn)镃，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)， 故∠B，∠D為同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角， 所以∠B＝∠D. 因此∠OCB＝∠D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,3.(2015·湖南)如圖，在⊙O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AB，CD的 中點(diǎn)分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F， 證明：∠MEN＋∠NOM＝180°.,證明 如圖所示，因?yàn)镸，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)， 所以O(shè)M⊥AB，ON⊥CD， 即∠OME＝90°，∠ENO＝90°， 因此∠OME＋∠ENO＝180°， 又四邊形的內(nèi)角和等于360°， 故∠MEN＋∠NOM＝180°.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,4.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE與圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥ CE于點(diǎn)D，若圓O的面積為4π，∠ABC＝30°，求AD的長(zhǎng).,解 由題意可知圓O的半徑為2，,由弦切角定理可知∠ACD＝∠ABC＝30°，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,5.如圖，已知CB是⊙O的一條弦，A是⊙O上異于B，C 的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交直線CB于點(diǎn)P，D為 ⊙O上一點(diǎn)，且∠ABD＝∠ABP.求證：AB2＝BP·BD. 證明 ∵AP與⊙O相切于點(diǎn)A，AB為⊙O的弦， ∴∠ADB＝∠PAB， 又在△DBA和△ABP中，∠DBA＝∠ABP，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,6.如圖，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線PA，切點(diǎn)為A，連結(jié)OP 與⊙O交于點(diǎn)C，過(guò)C作AP的垂線，垂足為D，若PA＝12 cm， PC＝6 cm，求CD的長(zhǎng). 解 設(shè)⊙O的半徑為r， 由切割線定理得AP2＝PC·(PC＋2r)， 即122＝6×(6＋2r)，解得r＝9. 連結(jié)OA，則有OA⊥AP. 又CD⊥AP，所以O(shè)A∥CD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,7.如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，分別延 長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在⊙O上，AN＝AC. 證明：∠MDN＝2∠ACO. 證明 如圖，連結(jié)ON，因?yàn)锳N＝AC， ON＝OC，OA是公共邊， 所以△ANO≌△ACO，故∠OAC＝∠OAN. 又∠OAC＝∠ACO， 所以∠NAC＝∠OAC＋∠OAN＝∠ACO＋∠OAC＝2∠ACO. 因?yàn)锳，C，D，N四點(diǎn)共圓，所以∠MDN＝∠NAC， 所以∠MDN＝2∠ACO.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,8.如圖，PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA＝2，AC是圓O的 直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB＝1，求圓O的半徑R. 解 由切割線定理可得PA2＝PB·PC，,所以BC＝PC－PB＝3， 因?yàn)锳C是圓O的直徑，所以∠ABC＝90°， 所以AB2＝BC·BP＝3， 所以AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,9.如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥ AC.過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交 于點(diǎn)F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，求線段CF的長(zhǎng).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 設(shè)EB＝x，則ED＝x＋5， 由切割線定理知x(x＋5)＝62，∴x＝4. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， 又∠ACB＝∠ADB，∠EAB＝∠ADB， ∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，又AC∥ED， ∴四邊形EBCA為平行四邊形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,∴AC＝EB＝4，BC＝AE＝6， 由△AFC∽△DFB.,10.如圖，圓O的直徑為BD，過(guò)圓上一點(diǎn)A作圓O的切線AE，過(guò) 點(diǎn)D作DE⊥AE于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED與圓O交于點(diǎn)C. (1)證明：DA平分∠BDE；,證明 ∵AE是⊙O的切線， ∴∠DAE＝∠ABD. ∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°. 又∠ADE＋∠DAE＝90°， ∴∠ADB＝∠ADE，∴DA平分∠BDE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)若AB＝4，AE＝2，求CD的長(zhǎng).,解 由(1)可得△ADE∽△BDA，,∴∠ABD＝30°，∴∠DAE＝30°.,由切割線定理可得AE2＝DE·CE，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,返回,