巧用等底等高的關(guān)系求圖形的面積

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1、。 巧用等底等高的關(guān)系求圖形的面積 一、知識基礎(chǔ) 在我們以前的學(xué)習(xí)中， 我們掌握了許多基本圖形的面積計(jì)算方法， 請同學(xué)們觀察， 下圖 中哪些圖形的面積相等？為什么？ 已知 l 1 //l 2 （單位：厘米） 從圖中我們看出 S ABC S ABD S ABE S平行四邊形 HGFI S平行四邊形 FGJK 因?yàn)椤?ABC 和△ ABD 及△ AB

2、E 等底等高所以它們的面積相等，同理平行四邊形 HGFI 和平行四邊形 FGJK 等底等高所以它們的面積也相等。 而平行四邊形 FGHI 和三角形 ABC 等底等底，所以平行四邊形的面積是三角形面積的 2 倍。 從這個(gè)練習(xí)我們得到： 如果兩個(gè)或幾個(gè)三角形底相等， 高也相等， 那么這幾個(gè)三角形的 面積也相等。 下面還有一組圖形請同學(xué)們觀察， 下面幾個(gè)三角形面積之間有什么關(guān)系？為什么？ （單 -可編輯修改 - 。 位：厘米）

3、 從觀察我們看出①圖 1 的三角形面積和圖 2 的三角形面積相等，因?yàn)檫@兩個(gè)三角形等 底等高所以它們的面積相等。 ②圖 3 的三角形面積是圖 1 的三角形面積的 2 倍，因?yàn)閳D 3 的三角形和圖 1 的三角形 高相等，圖 3 三角形的底是圖 1 三角形底的 2 倍，根據(jù)三角形面積計(jì)算公式得到：圖 3 的 三角形面積是圖 1 三角形面積的 2 倍。 ③圖 4 的三角形面積也是圖 1 三角形面積的 2 倍，因?yàn)閮蓚€(gè)

4、三角形的底相等，圖 4 三 角形的高是圖 1 三角形高的 2 倍，所以根據(jù)三角形面積的計(jì)算公式得到，圖 4 的三角形面 積是圖 1 三角形面積的 2 倍，從這個(gè)練習(xí)我們又發(fā)現(xiàn)： 如果兩個(gè)三角形的底（或高）的長度相等，那么這兩個(gè)三角形高（或底）的比就是這兩 個(gè)三角形面積的比。 用上面這些關(guān)系我們可以解答一些較復(fù)雜的求圖面積的題。 二、方法例談 學(xué)校有一塊三角形的植物園地，生動小組同學(xué)想把這塊地等分成 4 份，以便種植四種 -可編輯修改 - 。

5、 不同的花籽進(jìn)行實(shí)驗(yàn)， 怎么分呢？于是他們請數(shù)學(xué)小組同學(xué)幫助， 下面是數(shù)學(xué)小組同學(xué)們提 出的一些分配方案，請你們幫助分析一下，他們的分配方案都正確嗎？ ①把底邊 BC 等邊四份，再分別和 A 點(diǎn)連接成四個(gè)三角形， 這種分配方案你認(rèn)為正確嗎？這種分配方案正確， 因?yàn)榘训走?BC 等分四份， 這時(shí)四個(gè) 三角形故底相等，又都以 A 點(diǎn)為頂點(diǎn)，所以它們的高也相等。 因?yàn)榈椎雀叩?，所以這四個(gè)三角形

6、的面積相等。 ②已知 D 是 BC 的中點(diǎn)， F 是 AB 的中點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn) 請你們自己分析一下，這種分配方案正確嗎？ 通過分析我們得到：這種分配方案正確，因?yàn)?D 是 BC 的中點(diǎn)，所以 S ABD S ADC 又 ∵F 是 AB 的中點(diǎn)∴ S AFD S BFD E 是 AC 的中點(diǎn)∴ S ADE S DEC -可編輯修改 - 。 ∴ S AFD

7、 S BFD S ADE S DEC 所以分配方案正確 ③已知 D 是 BC 的中點(diǎn)， F 是 AB 的中點(diǎn)， E 是 AC 的中點(diǎn)，你認(rèn)為這種分配方案正確 嗎？為什么？ 這種方案正確，因?yàn)?EF 分別為 AC 、 AB 的中點(diǎn)，所 FE 一定 //BC 并且 FE 的長度等于 BC 長度的一半，而 D 是 BC 的中點(diǎn)，所以 BD=DC=FE 又∵ FE//BC 且 F、 E 為兩邊的中點(diǎn)，所以四個(gè)三角

8、形的高相等。 因?yàn)樗膫€(gè)三角形的底相等，高也相等，所以它們的面積相等，下面還有一些分配方案， 你認(rèn)為它們都正確嗎？ ④ D 為 BC 的中點(diǎn)； E 為 AD 的中點(diǎn) -可編輯修改 - 。 ⑤ D 為 BC 的中點(diǎn)； E 為 DC 的中點(diǎn)； F 為 AD 的中點(diǎn)

9、 1 1 BD= BC ； EC= BC ； F 是 AD 的中點(diǎn) 4 4 通過分析我們知道： 這三種分配方案都正確， 你還能想出其它的分配方案嗎？請你也試 著分一分吧！ 剛才我們運(yùn)用三角形等底等高的關(guān)系， 解決了生活中的實(shí)際問題， 運(yùn)用這種關(guān)系， 我們 還可解決許多生活中的問題 三、題解變析，解決問題 例 1 根據(jù)實(shí)際需要，生動小組同學(xué)把三角形植物園地劃分成甲、乙兩部分，你能根據(jù)它們的關(guān)系，說出乙的面積是甲面積的幾倍？

10、請看圖（單位：米） -可編輯修改 - 。 從圖中我們很難發(fā)現(xiàn)解題思路， 但如何我們連接 DC 就可以把乙分解成兩個(gè)三角形， 這 樣再解答就比較簡單了。 所以解題時(shí)先連接 DC 因?yàn)?EC=9 AE=3 ∴ EC 長度是 AE 長度的 3 倍 又因?yàn)槿切?AED 和三角形 EDC 都以 D 點(diǎn)為頂

11、點(diǎn)，所以它們的高相等 所以 S EDC 3S ADE 又∵ D 是 AB 的中點(diǎn)， C 為三角形 BCD 和三角形 ACD 的頂點(diǎn)， 所以這兩個(gè)三角形等底 等高，面積相等。 ∴ S BDC S ADC S ADE S DEC4S ADE ∴ 乙的面積 S EDC S BDC 7S ADE ∴ 乙的面積是甲面積的 7 倍。 從上面例題我們看出： 在奇妙的幾何世界里， 幾何圖形多種多樣， 變化萬千， 許多問題， 只靠原圖形上已有的線段很難發(fā)現(xiàn)解題思路，需要添加一些輔助線，如例 1 中添加了 DC

12、 這條線段，這樣就在圖形與圖形之中，架起“橋梁” ，使我們才能發(fā)現(xiàn)圖形之間的關(guān)系，進(jìn) 而正確解題。 例 2 （見圖）一個(gè)平行四邊形的一邊長 15 厘米，這條邊上高為 6 厘米，用一條線段將 -可編輯修改 - 。 此平行四邊形分成了兩部分，它們的面積相差 18 平方厘米，那么其中梯形的上底是多少厘 米？ 解答這個(gè)題時(shí)， 如果我們直接求梯形的上底我們很難解決問題， 因?yàn)樵瓐D形

13、是一個(gè)平行 四邊形， 那么我們不妨利用等底等高的關(guān)系來解題， 所以可以添加一條輔助線過平行四邊形 的頂點(diǎn) A 做 EC 的平行線，交 BC 為 F 點(diǎn)，∴ AE=FC ED=BF 所以 S ABF S EDC （三角形底等高等面積相等） 而原分成的兩部分相差 18 平方厘米，即平行四邊形 AFCE 的面積是 18 平方厘米，高 是 6 厘米，所以 AE 的長度就等于 18 6=3 （厘米）從而得出梯形的上底是 3 厘米。 師：利用等底等高的關(guān)系， 我們不僅可以解決三角形面積的問題， 我們還可以解決其它

14、 圖形的面積問題。 例 3 公園里有一個(gè)長方形花壇，把這個(gè)花壇分成了四部分，現(xiàn)已知三部分的面積，你能根據(jù)它們的關(guān)系求出第四部分的面積嗎？ 6 平方米 24 平方米 18 平方米 ？平方米 -可編輯修改 - 。 從圖中我們看出第一部分面積是 6 平方米， 第二部分面積是 18 平方米，而這兩部分長 相等，所以面積的比就是寬的比是 18 ： 6=3 ： 1 而第三部分面積是 24 平方米，它和第四部分的長也相等，寬的比也是 3 ： 1 所以面積

15、 比也是 3 ： 1 ， 即第四部分的面積是第三部分面積的三倍， 所以用 24 3=72 （平方米） 答：第四部分的面積是 72 平方米。 （出示） 四、智能拓展 下圖是長方形實(shí)驗(yàn)田，現(xiàn)將這塊實(shí)驗(yàn)田分成了甲、乙、丙、丁四部分，已知甲的面積是 40 平方米，乙的面積是 60 平方米，請你求出丙的面積是多少平方米？ 要求丙的面積，我們可以

16、先求出丁的面積，然后用丁 + 乙的面積減去甲的面積，就是丙 的面積。 連接 FB∵ 甲和乙的面積比是 40 ： 60=2 ： 3 ∴ S FBE 和丁的面積比也是 2 ： 3 -可編輯修改 - 。 又∵ S FBE 乙 S FBE S FDB 甲而 S FDB S FDC S 60平方米 S FDC 甲 S乙 所以等量減等量差相等，即 S FBE S乙 ∴ 丁的面積 =60 2 3=90 （平方米） ∴ 丙的面積 =90+60-40=110 （平方米） 答：丙的面積是 110 平方米。 -可編輯修改 -