中央電大《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件

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1、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) x1.4.1 函 數(shù) 連 續(xù) 性 的 概 念xxxxxx 00相 應(yīng) 的 函 數(shù) 的 改 變 量 （ 增 量 ） :函 數(shù) 的 終 值 與 初 值 之 差 稱 為 自 變 量 的 改 變 量 ， 記 為 )()()()( 0000 xfxxfxfxfyyy 1.改 變 量 （ 增 量 ） ：函 數(shù) 的 連 續(xù) 性y x0 x xx 0 )(xfy)( 0 xf x y0當(dāng) 自 變 量 由 初 值 變 化 到 終 值 時(shí) ， 終 值 與 初 值 之 差 稱 為 自 變 量 的 改 變 量 ， 記 為0 x 0 xx)(xf )( 0 xf )()( 0 xfxf 定 義

2、1： 設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ，當(dāng) 自 變 量 在 點(diǎn) 處 有 增 量 時(shí) ， 相 應(yīng) 的 函 數(shù) 有 增 量 ,如 果 當(dāng) 自 變 量 的 增 量 趨 于零 時(shí) ， 函 數(shù) 的 增 量 也 趨 于 零 ， 即則 稱 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) ， 點(diǎn) 稱 為 函 數(shù) 的 連續(xù) 點(diǎn) 0 x)(xfy )()( 00 xfxxfy )(xfy lim lim ( ) ( )x xy f x x f x 0 00 0D DD D0 x 0 x0 x 2.連 續(xù) x xy若 記 ， 則 ， 且 當(dāng) 時(shí) ， xxx 0 )()( 0 xfxfy 0 xx 故 定 義 1又

3、可 敘 述 為 注 ： )()(lim0lim 00 0 xfxfy xxx 定 義 2： 設(shè) 函 數(shù) y = f (x)在 點(diǎn) 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ， 若有 ,則 稱 函 數(shù) y = f (x) 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) . lim ( ) ( )x x f x f x 0 0 x0（ 1） 定 義 1與 定 義 2是 等 價(jià) 的 , 即由 左 右 極 限 定 義 可 定 義 左 右 連 續(xù) 定 義（ 2） 由 定 義 2可 知 若 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) ， 則 函數(shù) 在 點(diǎn) 處 的 極 限 一 定 存 在 ， 反 之 不 一 定 連 續(xù)x0)(xf)(xf x0（ 3） 當(dāng) 函

4、 數(shù) 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) 時(shí) ， 求 時(shí) ，只 需 求 出 即 可)(xf 0 x lim ( )x x f x 0)( 0 xf ( )y f x 定 義 3： 若 函 數(shù) 滿 足 ， 則 稱 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 左 連 續(xù) 。 同 理 可 以 定 義 右 連 續(xù)3、 左 右 連 續(xù) )()(lim 00 xfxfxx 4、 區(qū) 間 連 續(xù)定 義 4： 若 函 數(shù) 在 （ a , b） 內(nèi) 每 一 點(diǎn) 都 連 續(xù) ， 則 稱函 數(shù) 在 （ a , b） 內(nèi) 連 續(xù) 。 )()()()()( 00 limlimlim 000 xfxfxfxfxf xxxxxx 由 定 理 3可 知 ： 函 數(shù)

5、 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) 既 左 連 續(xù) 又 右連 續(xù) 即 )(xf)(xf )(xf )(xf )(xf 0 x 證 明 y = sin x在 內(nèi) 連 續(xù)例 1 2)2cos(2 0 xx證 ），（ 對(duì) 任 意 ),(0 x有 2sin)2cos(2 sin)sin( 0 00 xxx xxxy 因 為所 以 0lim 0 yx故 在 內(nèi) 連 續(xù)),( xy sin 定 義 5 若 函 數(shù) y = f(x)在 （ a , b） 內(nèi) 每 一 點(diǎn) 都 連 續(xù) ，且 在 左 端 點(diǎn) a 處 右 連 續(xù) ， 在 右 端 點(diǎn) b處 左 連 續(xù) ， 則 稱 函數(shù) y = f (x)在 a , b上 連 續(xù)

6、。 1.4.2 函 數(shù) 的 間 斷 點(diǎn) 及 其 分 類連 續(xù)在 0)( xxf 處 有 意 義 。在 0)()1( xxf 則 一 定 滿 足 以 下 條 件存 在)(lim)2( 0 xfxx )()(lim)3( 00 xfxfxx 如 果 f(x)在 點(diǎn) 不 能 滿 足 以 上 任 何 一 個(gè) 條 件 ， 則 點(diǎn) 是 函 數(shù) 的 間 斷 點(diǎn) 。)(xf1.可 去 間 斷 點(diǎn) ： )()(lim 00 xfAxfxx 如 果 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 極 限 存 在 ， 但 不 等 于 ， 即0 x )( 0 xf則 稱 為 的 可 去 間 斷 點(diǎn) 。0 x )(xf 0 x )1( )1()(

7、 112 xk xxf xx例 2 )1(2 )1()()( xxxfx解 )1(2lim)(lim 1111 2 fxf xxxx 所 以 x =1為 可 去 間 斷 點(diǎn)重 新 定 義 新 的 函 數(shù) ：則 x=1成 為 函 數(shù) 的 連 續(xù) 點(diǎn) 2.1. 1.2. 0 )0( )0()(.1 211DC BA kx xk xxf x x （ ）處 連 續(xù) ， 則在 已 知 函 數(shù) 2.1. 1.2. 0 )0(1 )0(1sin)(.2 DC BA kx xxkxxxf （ ）處 連 續(xù) ， 則在 已 知 2.1. 1.2. 0 )0(1 )0(2sin)(.3 DC BA kx xxkxx

8、xf （ ）處 連 續(xù) ， 則在 已 知 2.1. 1.2. 0 )0(1 )0(3sin)(.4 DC BA kx xxkx xxf （ ）處 連 續(xù) ， 則在 已 知 )(lim)(lim 00 xfxf xxxx 2.跳 躍 間 斷 點(diǎn) ：例 3 )21(1 )10()( xx xxxf所 以 x =1為 跳 躍 間 斷 點(diǎn)1 1lim 1 lim( 1) 1x xx x 左 右 極 限 存 在 不 相 等 當(dāng) 時(shí) ， 函 數(shù) 值 不 斷 地 在 兩 點(diǎn) 之 間 跳動(dòng) ， 左 右 極 限 均 不 存 在3.無(wú) 窮 間 斷 點(diǎn) 0 xx f(x)在 點(diǎn) 的 左 、 右 極 限 至 少 有

9、一 個(gè) 是 無(wú) 窮大 ， 則 稱 為 f(x)的 無(wú) 窮 間 斷 點(diǎn) 0 x 0 x例 4 x=0為 無(wú) 窮 間 斷 點(diǎn)1y x4.振 蕩 間 斷 點(diǎn)例 5 1( ) sinf x xx=0是 其 振 蕩 間 斷 點(diǎn) 間 斷 點(diǎn) 的 類 型 ：第 一 類 間 斷 點(diǎn) : 我 們 把 左 右 極 限 都 存 在 的 間 斷 點(diǎn) 稱 為 第 一 類 間 斷 點(diǎn) .第 二 類 間 斷 點(diǎn) : 除 第 一 類 以 外 的 間 斷 點(diǎn) ,即 左 右 極 限 至 少 有 一 個(gè) 不 存 在 的 間 斷 點(diǎn) 稱 為 第 二 類 間 斷 點(diǎn) . 例 6 )1()( 22 xx xxxf解 函 數(shù) 在 x= -

10、1 , x = 0 , x = 1處 沒(méi) 有 定 義所 以 x= -1 , x = 0 , x = 1是 函 數(shù) 的 間 斷 點(diǎn)2 21lim ( 1)x x xx x 所 以 x = -1是 函 數(shù) 的 無(wú) 窮 間 斷 點(diǎn) 2 22 2 1( 1)( 1)0 0 0 1( 1)( 1)0 0 0lim ( ) lim lim 1lim ( ) lim lim 1x x xx xx x xx x xx xx x xf xf x 所 以 x= 0是 函 數(shù) 的 跳 躍 間 斷 點(diǎn)( )( ) 2 2 1 1( 1) 2( 1)1 1 1lim ( ) lim limx x xx xx x xf

11、x 所 以 x= 1是 函 數(shù) 的 可 去 間 斷 點(diǎn)20( 1)2 1(1 2 )1 ( 2 )xy x xx x 解 分 界 點(diǎn) 為 x =1,x =2 ,00lim)(lim 11 xx xf（ i） 當(dāng) x=1時(shí) 所 以 x= 1 是 函 數(shù) 的 跳 躍 間 斷 點(diǎn)1 1lim ( ) lim(2 1) 3x xf x x ( )例 7 5)1(lim)(lim 5)12(lim)(lim 222 22 xxf xxf xx xx（ ii） 討 論 x=2 而 f(2)=5 所 以 x= 2是 函 數(shù) 的 連 續(xù) 的 點(diǎn)因 此 ,分 段 函 數(shù) 的 分 界 點(diǎn) 是 可 能 間 斷 點(diǎn)

12、設(shè) 函 數(shù) y = f(u)在 點(diǎn) 處 連 續(xù) ,u= f (x)在 點(diǎn) 處 連續(xù) ,且 ,則 復(fù) 合 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) . 1.4.3 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 定 理 1 單 調(diào) 連 續(xù) 函 數(shù) 的 反 函 數(shù) 在 其 對(duì) 應(yīng) 區(qū) 間 上 也 是 單 調(diào)連 續(xù) 函 數(shù) 。設(shè) f(x),g(x)均 在 點(diǎn) 處 連 續(xù) ,則 也 在 處 連 續(xù)0 x0( )( ) ( ), ,( ( ) 0)( )f xf x g x g xg x )()( xgxf 因 此 ,基 本 初 等 函 數(shù) 在 其 定 義 域 內(nèi) 連 續(xù) . 定 理 2定 理 3 )()(lim 00 xfxfxx

13、 0 x0 0( )u x 0u 0 x ( )y f x即 ：因 此 ,一 切 初 等 函 數(shù) 在 其 定 義 區(qū) 間 內(nèi) 連 續(xù) . 2.1.1 引 出 導(dǎo) 數(shù) 概 念 的 實(shí) 例例 1 平 面 曲 線 的 切 線 斜 率 曲 線 的 圖 像 如 圖 所 示 ,在 曲 線 上 任 取 兩 點(diǎn) 和 ， 作 割 線 ， 割 線 的 斜 率 為)(xfy 0 0( )M x ,y),( 00 yyxxN x xfxxfxykMN )()(tan 00MN 2.1 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 y xO ( )y f x M NTx 0 x xx 0 yP 這 里 為 割 線 MN的 傾 角 ， 設(shè) 是 切

14、 線 MT的傾 角 ，當(dāng) 時(shí) ， 點(diǎn) N沿 曲 線 趨 于 點(diǎn) M。 若 上 式的極 限 存 在 ， 記 為 k， 則 此 極 限 值 k就 是 所 求 切線MT的 斜 率 ， 即 x xfxxfxyk xx x )()(limlim tanlimtan 0000 0 0 x y xO ( )y f x M NTx0 x xx 0 yP 當(dāng) 趨 向 于 0時(shí) ， 如 果 極 限設(shè) 某 產(chǎn) 品 的 總 成 本 C是 產(chǎn) 量 Q的 函 數(shù) ， 即 C=C(Q )， 當(dāng) 產(chǎn)量 Q 從 變 到 時(shí) ， 總 成 本 相 應(yīng) 地 改 變 量 為 當(dāng) 產(chǎn) 量 從 變 到 時(shí) ， 總 成 本 的 平 均 變

15、化 率0Q 0Q Q 0 0( ) ( )C C Q Q C Q Q0 0Q Q0 0( ) ( )C Q Q C QCQ Q 0 00 0 ( ) ( )lim limQ Q C Q Q C QCQ Q 存 在 ， 則 稱 此 極 限 是 產(chǎn) 量 為 時(shí) 總 成 本 的 變 化 率 。0Q0Q 例 2 產(chǎn) 品 總 成 本 的 變 化 率 定 義 設(shè) y=f(x)在 點(diǎn) x0的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ， 屬 于 該 鄰 域 ， 記 若存 在 ， 則 稱 其 極 限 值 為 y = f (x)在 點(diǎn) x0 處 的 導(dǎo) 數(shù) ， 記 為xx 0),()( 00 xfxxfy xyx 0lim

16、x xfxxfx )()(lim 000 .|dd,|dd,|)( 0000 xxxxxx xfxyyxf 或或或 .)()(limlim)( 00000 x xfxxfxyxf xx 或 2.1.2 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 三 、 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 當(dāng) 自 變 量 從 變 化 到 時(shí) ， 曲 線 y=f(x)上 的 點(diǎn) 由 變 到 ).(,( 00 xxfxxM 此 時(shí) 為 割 線 兩 端 點(diǎn) M0， M的 橫 坐 標(biāo) 之 差 ， 而 則 為 M0， M 的 縱 坐 標(biāo) 之 差 ，所 以 即 為 過(guò) M 0， M兩 點(diǎn)的 割 線 的 斜 率 .0 x ).(,( 000 xfxMx y

17、xy xx 0 M0 M0 x xx 0 曲 線 y = f (x)在 點(diǎn) M0處 的 切 線 即 為 割 線 M0M當(dāng) M沿 曲線 y=f(x)無(wú) 限 接 近 時(shí) 的 極 限 位 置 M0P， 因 而 當(dāng) 時(shí) ， 割 線 斜 率 的 極 限 值 就 是 切 線 的 斜 率 .即 ： 0 xD 0 0( ) lim limtan tanx yf x kx 所 以 ， 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義是 曲 線 y = f (x) 在 點(diǎn) M0(x0,f(x0)處 的 切 線 斜 率 . )( 0 xf M0 M0 x xx 0 P0M 設(shè) 函 數(shù) y=f(x)在 點(diǎn) 處 可 導(dǎo) ， 則 曲 線 y=

18、f(x)在點(diǎn) 處 的 切 線 方 程 為 ： 而當(dāng) 時(shí) ,曲 線 在 的 切 線 方 程 為 0 001( ) ( ).( )y f x x xf x 0 x x (即 法 線 平 行 y軸 ).0 x x 0 0 0( ) ( )( ).y f x f x x x 當(dāng) 時(shí) ,曲 線 在 的 法 線 方 程 為0( ) 0f x ( )f x 0M而 當(dāng) 時(shí) ,曲 線 在 的 法 線 方 程 為0( ) 0f x ( )f x 0M0( )f x ( )f x 0M 例 3 求 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)解 : (1)求 增 量 : (2)算 比 值 : (3)取 極 限 : 同 理 可 得 :特 別

19、 地 , . 2xy ( ) ( )y f x x f x 2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x xxxy 2 xxx xyy xx 2)2(limlim 00 為 正 整 數(shù) ）nnxx nn ()( 11 1( ) ( )x n 例 4 求 曲 線 在 點(diǎn) 處 的 切 線 與 法 線 方 程 .解 :因 為 ,由 導(dǎo) 數(shù) 幾 何 意 義 ,曲 線 在 點(diǎn) 的 切 線 與 法 線 的 斜 率 分 別 為 : 于 是 所 求 的 切 線 方 程 為 :即法 線 方 程 為 : 3xy )8,2(23 3)( xx 3xy )8,2( 1211,12)3( 122221 kkxyk

20、 xx )2(128 xy01612 yx )2(1218 xy即 09812 yx 設(shè) 函 數(shù) u(x)與 v(x) 在 點(diǎn) x處 均 可 導(dǎo) ， 則 :定 理 一 );()()()()1( xvxuxvxu ),()()()()()()2( xvxuxvxuxvxu uCCuCCxv ) (,()(, 則為 常 數(shù) ）特 別 地 2)( )()()()()( )()3( xv xvxuxvxuxv xu ( ) 1,u x 2.2.1 函 數(shù) 的 和 、 差 、 積 、 商 的 求 導(dǎo) 法 則2.2 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算特 別 地 ,如 果可 得 公 式 21 ( ) ( ( ) 0)( )

21、 ( )v x v xv x v x wvuwvu )(注 ： 法 則 （ 1） （ 2） 均 可 推 廣 到 有 限多 個(gè) 可 導(dǎo) 函 數(shù) 的 情 形 wuvwvuvwuuvw )(例 ： 設(shè) u=u(x),v=v(x),w=w(x)在 點(diǎn) x處 均可 導(dǎo) ， 則 )3lnsin( 3 xexy x解 ： )3(ln)(sin)()( 3 xex x xex x cos3 2 例 2 設(shè) 5 2 ,xy x y 求 )(52)(5 xx 2xx解 ： )25( xxy 2ln252 25 xx xx yxexy x ， 求設(shè) 3lnsin3例 1 )(tan xy )cossin( xx解

22、： x xxxx 2cos )(cossincos)(sin x xx 2 22cos sincos xx 22 seccos1 即 2(tan ) secx x 2(cot ) cscx x 類 似 可 得 例 3 求 y = tanx 的 導(dǎo) 數(shù) )cos1( xxx2cossin )(sec xy解 ： xx tancos1 xx tansec 即 (sec ) sec tanx x x (csc ) csc cotx x x 類 似 可 得例 4 求 y = secx 的 導(dǎo) 數(shù) 基 本 導(dǎo) 數(shù) 公 式 表為 常 數(shù) ）CC (0).(1 為 常 數(shù) ） ().(2 1 xx axxa

23、 ln1).(log3 14.(ln )x x xx ee ).(6xx cos).(sin7 xx sin).(cos8 2.2.2 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)aaa xx ln)(5 . xxx 22 cos1sec).(tan9 xxx 22 sin1csc).(cot10 xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxxy x xx x xx x xxx sincos65)110( 10ln10)1()110(10 )sin(cos65()110( 10ln10)1()110(10 )cos()110( )110)(1()110()1( cos110 1 65612109 65

24、612109 6521010 3 210 xyxy xyxy xyx xexey eyxyey xx xx 22 222 sinsin sinsinsin lnln ln)1( cossin sin2 1ln2sin 2 xyey x 22 )12(6 )sin2()sin2(3 222 xxxx )cos4()sin2(3 22 xxxx 22 )cos4()sin2(3 22 xx xxxxy 2,)sin2( 32 xyxxy 求設(shè)例 5 )sin2( 32 xxy xu xuy )1()(sin 2 xu 2cos )1cos(2 2xx 例 7 yxy 求,2lnsin 22 2ln

25、cos 2 2 x xx xxxxy 222 1212lncos 222 解 ： 解 ： 復(fù) 合 而 成可 看 作 22 1,sin)1sin( xuuyxy yxy 求),1sin( 2例 6 )1ln( 2)1( xxx exyy 2可 以 寫(xiě) 成函 數(shù)解 一 )1ln( 2 xxey )1ln( 2)1ln( 2 xxe xx )1(1)1ln( 222)1ln( 2 xxxxe xx 2222 12)1ln()1( xxxx x yxy x 求設(shè) ,)1( 2例 11 )1ln(ln 2xxy 兩 邊 對(duì) x求 導(dǎo) ， 由 鏈 導(dǎo) 法 有 xxxxyy 21)1ln(1 22 222

26、12)1ln( xxx 2222 12)1ln()1( xxxxy x 解 二 稱 為 對(duì) 數(shù) 求 導(dǎo) 法 ， 可 用 來(lái) 求 冪 指 函 數(shù) 和 多 個(gè) 因子 連 乘 積 函 數(shù) 、 開(kāi) 方 及 其 它 適 用 于 對(duì) 數(shù) 化 簡(jiǎn) 的 函 數(shù) 的 求 導(dǎo)注 ： 兩 邊 取 自 然 對(duì) 數(shù)將 函 數(shù) xxy )1( 2解 二 dxdydxddxyd 22即 ,)( yy )()( xfxf 或,y記 作 ),(xf 22dxyd或二 階 導(dǎo) 數(shù) ： )(xfy 如 果 函 數(shù) f(x)的 導(dǎo) 函 數(shù) 仍 是 x的 可 導(dǎo)函 數(shù) ， 就 稱)(xfy 的 導(dǎo) 數(shù) 為 f(x)的 二 階 導(dǎo) 數(shù)

27、，n階 導(dǎo) 數(shù) ： ( ) ( )( ) ( )n n nnd d d d yf x f x ydxdx dx dx 二 階 及 二 階 以 上 的 導(dǎo) 數(shù) 統(tǒng) 稱 為 高 階 導(dǎo) 數(shù)高 階 導(dǎo) 數(shù) 的 計(jì) 算 ： 運(yùn) 用 導(dǎo) 數(shù) 運(yùn) 算 法 則 與 基 本 公 式 將 函數(shù) 逐 次 求 導(dǎo)2.2.6 高 階 導(dǎo) 數(shù) 2 2)(dxx f d ,lnaay x解 ： nxn aay )(ln)( ,)(ln 2aay x ,特 別 地 ,)( xx ee xnx ee )()(,)( xx ee ,例 15 )(,sin nyxy 求設(shè) )2sin( xy )2cos( x )22sin( x

28、解 ： )(sin xy xcos )2sin( x )22sin( xy )23sin( x )2sin()( nxy n 即 ( )(sin ) sin( )2nx x n 同 理 ( )(cos ) cos( )2nx x n )(, nx yay 求設(shè) 例 14 解 如 圖 ， 正 方 形 金 屬 片 的 面積 A 與 邊 長(zhǎng) x 的 函 數(shù) 關(guān) 系為 A = x2 , 受 熱 后 當(dāng) 邊 長(zhǎng) 由x0伸 長(zhǎng) 到 x0+ 時(shí) , 面 積 A相 應(yīng) 的 增 量 為 x2.3.1 微 分 的 概 念例 1 設(shè) 有 一 個(gè) 邊 長(zhǎng) 為 x0的 正 方 形 金 屬 片 ， 受 熱 后 它 的邊

29、長(zhǎng) 伸 長(zhǎng) 了 ， 問(wèn) 其 面 積 增 加 了 多 少 ？x 2 0 x A 0 x x x 0 x x 0 x 2 x 202020 )(2)( xxxxxxA 2.3 微 分 的 線 性 函 數(shù) 同 階 的 無(wú) 窮 小 ；時(shí) 與是 當(dāng) xxxx 0,2 0從 上 式 可 以 看 出 ，xA 是分 成 兩 部 分 ： 第 一 部 分 xA 是分 成 兩 部 分 ： 第 一 部 分高 階 的 無(wú) 窮 小 。時(shí) 比是 當(dāng)?shù)?二 部 分 xxx 0,)( 2這 表 明 的 近 似 值 ：數(shù) 作 為很 小 時(shí) ， 可 用 其 線 性 函 Ax 02 .A x x 這 部 分 就 是 面 積 A 的

30、增 量 的 主 要 部 分 （ 線 性 主 部 ）,2)()( 020 0 xxx xx A因 為所 以 上 式 可 寫(xiě) 成 0( ) .A A x x )()( 00 xfxxfy 可 以 表 示 為定 義 設(shè) 函 數(shù) )(xfy 在 點(diǎn) 0 x 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ，處 的 增 量0 x在 點(diǎn))(xf如 果 函 數(shù) ),( xoxAy 0 0 d | d | .x x x xy y A x， 即 于 是 ,（ 2.3.1)式 可 寫(xiě) 成 0 xxdAA 處 的 微 分 ，0 x)(xfxA 可 微 ， 稱 為 在 點(diǎn) 0 x 處在 點(diǎn))(xf高 階 的 無(wú) 窮 小 ， 則 稱

31、函 數(shù) 時(shí)0 x)( xo x其 中 A是 與 無(wú) 關(guān) 的 常 數(shù) ， 是 當(dāng)比 x記 為 由 微 分 定 義 ， 函 數(shù) f (x)在 點(diǎn) x0處 可 微 與 可 導(dǎo) 等 價(jià) ，且 0( )A f x ,因 而 )(xf 在 點(diǎn) x0 處 的 微 分 可 寫(xiě) 成0 0d ( )x xy f x x 0 0d ( )dx xy f x x 于 是 函 數(shù)通 常 把 x 記 為 ， 稱 自 變 量 的 微 分 ，上 式 兩 端 同 除 以 自 變 量 的 微 分 ， 得 d ( )dy f xx 因 此 導(dǎo) 數(shù) 也 稱 為 微 商 可 微 函 數(shù) ： 如 果 函 數(shù) 在 區(qū) 間 (a , b)內(nèi)

32、 每 一 點(diǎn) 都 可 微 ， 則 稱 該 函 數(shù) 在 (a , b)內(nèi) 可 微 。d ( )dy f x xf (x)在 點(diǎn) x0 處 的 微 分 又 可 寫(xiě) 成dxf(x) 在 (a,b)內(nèi) 任 一 點(diǎn) x處 的 微 分 記 為 解 ： 0201.0101.1)( 2222 xxxy例 2 求 函 數(shù) y=x2 在 x=1, 01.0 x 時(shí) 的 改 變 量 和 微 分 。于 是 1 10.01 0.01d 2 0.02x xx xy x x 面 積 的 微 分 為 d 2 .rs s r r r .)(2)( 222 rrrrrrs 解 ： 面 積 的 增 量面 積 的 增 量 與 微 分

33、 r當(dāng) 半 徑 增 大2rs 例 3 半 徑 為 r的 圓 的 面 積 時(shí) ， 求 2d ( ) 2y x x x x 在 點(diǎn) 1x 處 ， 2.3.2 微 分 的 幾 何 意 義 x當(dāng) 自 變 量 x有 增 量 時(shí) ，切 線 MT 的 縱 坐 標(biāo) 相 應(yīng) 地 有 增 量tan ( ) dP x f x x y Q ( , )M x y因 此 ， 微 分 d ( )y f x x 幾 何 上 表 示 當(dāng) x有 增 量 x 時(shí) ， 曲 線 ( )y f x 在 對(duì) 應(yīng) 點(diǎn)處 的 切 線 的 縱 坐 標(biāo) 的 增 量 y用 d y近 似 代 替dy y PN 就 是 用 QP近 似 代 替 QN，

34、并 且tan ( )f x 設(shè) 函 數(shù) y = f (x)的 圖 形 如 下 圖 所 示 .過(guò) 曲 線 y = f (x)上 一 點(diǎn)M(x,y)處 作 切 線 MT,設(shè) MT的 傾 角 為 則, y( )y f x M NO xy dyx x x QP 2.3.3 微 分 的 運(yùn) 算 法 則1. 微 分 的 基 本 公 式 ：(1) d 0 ( )C C為 常 數(shù)1(2) d d ( ) a ax ax x a 為 常 數(shù)(4) de e dx x x 1(6) dln dx xx(8) dcos sin dx x x (3) d ln d ( 0 1)x xa a a x a ,a 1 1(

35、5) dlog d ( 0 1)lna x x a ,ax a (7) dsin cos d x x x 2(10) dcot csc dx x x2(9) d tan sec dx x x續(xù) 前 表 解 ： )32(322 1)32( 222 xxxxydd 2326 xx26d d .2 3xy xx 解 ： 對(duì) 方 程 兩 邊 求 導(dǎo) ， 得 04222 yyyxyx )(xfy d y的 導(dǎo) 數(shù) dd yx 與 微 分例 5 求 由 方 程 122 22 yxyx 所 確 定 的 隱 函 數(shù)即 導(dǎo) 數(shù) 為 xy yxy 微 分 為 d dx yy xy x 例 4 .,32 2 yxy

36、xy ddd 與求設(shè) 2.3.4 微 分 在 近 似 計(jì) 算 中 的 應(yīng) 用0 0 0( ) ( ) d ( )y f x x f x y f x x 或 寫(xiě) 成 0 0 0( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x （ 1）上 式 中 令 0 0 xx （ 2）0 0 0( ) ( ) ( ) ( ).f x f x f x x x ， 則特 別 地 ,當(dāng) x0=0， x 很 小 時(shí) ,有( ) (0) (0)f x f f x （ 3）公 式 (1) (2) (3)可 用 來(lái) 求 函 數(shù) f(x)的 近 似 值 。0( ) 0f x ， 且 x 很 小 時(shí) ， 我 們 有 近

37、 似 公 式 在 x0 點(diǎn) 的 導(dǎo) 數(shù)( )y f x由 微 分 的 定 義 可 知 ， 當(dāng) 函 數(shù) 注 ： 在 求 )(xf 的 近 似 值 時(shí) ， 要 選 擇 適 當(dāng) 的 0 x ， 使)( 0 xf ， )( 0 xf 容 易 求 得 ， 且 0 xx 較 小 應(yīng) 用 （ 3） 式 可 以 推 得 一 些 常 用 的 近 似 公 式 ,當(dāng)x 很 小 時(shí) ,有(1) xx sin （ 用 弧 度 作 單 位 ）(3) xex 1(4) xx )1ln( (5) xnxn 111 (2) xx tan ( 用 弧 度 作 單 位 ） 例 6 .46sin 的 近 似 值計(jì) 算 則 18010

38、 xx解 : 設(shè) ,sin)( xxf 取 46x ， 4450 x于 是 由 （ 2） 式 得 ).(cossinsin 000 xxxxx 719.01802222 1804cos4sin46sin 即 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1xx10 y,y5ln2x5y.1 求 )5(ln2x5 )5ln2x5(y x10 x10 解 2ln2x50 02ln2x5 x9 x10 2ln250 2ln2x50y 1xx91x xsinxy.2 3 xsinxxsinxy 33解 xcosxxsinx3 32 dy1xxy.3 2 求解 ： 222 )1x( )1x(x)1x()x(y 22)1x( x21.

39、x)1x(x2 2 2)1x(x2 x)1x(xx4 22 )1x(x2 xx4x3 22 )1x(x2 xx4x3 dxydy dx)1x(x2 xx4x3 22 yey.4 xsin 求 xsinuey u )x(sin)e(uyy uxu xcosexcose xsinu ee xcosexsin)e(y xsinxsin ee cossin yey xsin 求 2 1 1ln alnaa 解 ： yxxey.5 x1 求 )xx()e(y x1 )x()e( 23x1 21x1 x23)x1.(e 21x12 x23ex1 0 x1x2x yey.6 2 求 )1x2x.(ey 21

40、x2x2 解 ： 1x2x2e)x1(2 )2x2.(e 1x2x2 e2e2e)01(2y 1100 x y,bxsiney.7 ax 求 )bx.(bxcos.ebxsin)ax.(ey axax b.bxcos.ebxsina.e axax 解 ： )bxcosbbxsina(e ax 0y)ecos(lny.8 x 求 )e(cos)ecos(1y xx解 xx etan.e )e).(esin()ecos(1 xxx 1tane0y 0y1xey.9 y 求解 ： 方 程 兩 端 同 時(shí) 對(duì) x求 導(dǎo) 。1)xe(y y yy e)xe1(y 0y.xeey yy yyxe1 ey 又 x=0時(shí) ， 代 入 原 方 程 y=1ee01 ey 0 x dy0 x3xyyx.10 22 求解 ： 方 程 兩 端 同 時(shí) 對(duì) x求 導(dǎo) 。 03)yxy1(y.y2x2 03yxyyy2x2 3x2y)xy2(y xy2 3x2yy dx3y2 3x2ydxydy