高考數(shù)學(xué) 6.3 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題課件.ppt

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第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)二元一次不等式表示平面區(qū)域: 在平面直角坐標(biāo)系中,平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線Ax+By+C=0分成三類: ①滿足Ax+By+C__0的點(diǎn); ②滿足Ax+By+C__0的點(diǎn); ③滿足Ax+By+C__0的點(diǎn).,=,,,(2)二元一次不等式表示平面區(qū)域的判斷方法: 直線l:Ax+By+C=0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點(diǎn)分為兩部分,當(dāng)點(diǎn)在 直線l的同一側(cè)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)使式子Ax+By+C的值具有_____的符號(hào),當(dāng) 點(diǎn)在直線l的兩側(cè)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)使Ax+By+C的值具有_____的符號(hào).,相同,相反,(3)線性規(guī)劃中的基本概念:,不等式(組),不等式(組),解析式,一次,可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界,特殊點(diǎn)定域: ①直線定界:不等式中無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線,有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線; ②特殊點(diǎn)定域:若直線不過原點(diǎn),特殊點(diǎn)常選原點(diǎn);若直線過原點(diǎn),則特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來驗(yàn)證.,(2)利用“同號(hào)上,異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域: 對(duì)于Ax+By+C0或Ax+By+C0時(shí),區(qū)域?yàn)橹本€Ax+By+C=0的上方; ②當(dāng)B(Ax+By+C)0時(shí),區(qū)域?yàn)橹本€Ax+By+C=0的下方. (3)最優(yōu)解和可行解的關(guān)系: 最優(yōu)解必定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一,有時(shí)唯一,有時(shí)有多個(gè).,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:特殊點(diǎn)法,平移法. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想. (3)記憶口訣:線定界,點(diǎn)定域,一畫二移三求.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+By+C=0的上方.( ) (2)任何一個(gè)二元一次不等式組都表示平面上的一個(gè)區(qū)域.( ) (3)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.( ) (4)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b≠0)中,z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤,不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域不一定在直線Ax+By+C=0的上方,因?yàn)?Ax+By+C)·B0不一定成立. (2)錯(cuò)誤,當(dāng)二元一次不等式組中的不等式所表示的區(qū)域沒有公共部分時(shí),就無法表示平面上的一個(gè)區(qū)域. (3)正確,當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成的直線和某個(gè)邊界重合時(shí),最優(yōu)解無窮多.,(4)錯(cuò)誤,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b≠0)中, 是直線ax+by-z=0在y軸上的截距. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P86T3改編)不等式組 表示的平面區(qū)域是( ),【解析】選C.x-3y+60表示直線x-3y+6=0左上方部分,x-y+2≥0表示直線x-y+2=0及其右下方部分. 故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)C所示部分.,(2)(必修5P93習(xí)題3.3A組T2改編)已知x,y滿足 則z=-3x+y的最大值為 . 【解析】由題意畫出平面區(qū)域?yàn)?,當(dāng)直線-3x+y=0經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z取得最大值. 由 可得 即點(diǎn)A(1,3). 所以zmax=-3x+y=-3×1+3=0. 答案:0,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)x,y滿足約束條件 則z=2x-y的最大值為( ) A.10 B.8 C.3 D.2 【解析】選B.畫出可行域,可知可行域?yàn)槿切?經(jīng)比較斜率,可知目標(biāo)函數(shù)z=2x-y在兩條直線x-3y+1=0與x+y-7=0的交點(diǎn)(5,2)處,取得最大值z(mì)=8.故選B.,(2)(2014·天津高考)設(shè)變量x,y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選B.作出可行域如圖,結(jié)合圖象可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)通過點(diǎn)(1,1)時(shí),z取得最小值3.,(3)(2014·湖南高考)若變量x,y滿足約束條件 且z=2x+y的最小值為-6,則k= . 【解析】如圖,畫出可行域,l0:2x+y=0,當(dāng)l0:2x+y=0運(yùn)動(dòng)到過點(diǎn)A(k,k)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值-6,所以2k+k=-6,k=-2. 答案:-2,考點(diǎn)1 平面區(qū)域面積的問題 【典例1】(1)(2015·北京模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,不等式組 表示圖形的面積等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2015·揚(yáng)州模擬)已知不等式組 表示的平面區(qū)域 為D,若直線y=kx+1將區(qū)域D分成面積相等的兩部分,則實(shí)數(shù)k的值是 .,【解題提示】(1)作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,根據(jù)平面區(qū)域的圖形即可計(jì)算對(duì)應(yīng)的面積. (2)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,直線y=kx+1過定點(diǎn)(0,1),利用面積相等確定直線經(jīng)過的區(qū)域邊界上的點(diǎn),然后代入求k值.,【規(guī)范解答】(1)選B.不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,,對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD, 其中A(0,1),D(1,0), 邊長(zhǎng)AD= 則正方形的面積S= =2, 故選B.,(2)區(qū)域D如圖中的陰影部分所示,直線y=kx+1經(jīng)過定點(diǎn)C(0,1),如果其把區(qū)域D劃分為面積相等的兩個(gè)部分,則直線y=kx+1只要經(jīng)過AB的中點(diǎn)即可.,由方程組 解得A(1,0). 由方程組 解得B(2,3)． 所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 代入直線方程y＝kx＋1得， 解得 答案：,【互動(dòng)探究】若把本例題(2)的條件改為 所表示的平面 區(qū)域被直線 分為面積相等的兩部分，則k的值是______.,【解析】由圖可知，平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC邊界 及內(nèi)部， 恰過 將區(qū)域平均分成面積相等的兩部分，故過 BC的中點(diǎn) 答案：,【規(guī)律方法】平面區(qū)域面積問題的解題思路 (1)求平面區(qū)域的面積: ①首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域,若不能直接畫出,應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題,從而再作出平面區(qū)域; ②對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析,若為三角形應(yīng)確定底與高,若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形),可利用面積公式直接求解,若為不規(guī)則四邊形,可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可. (2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題,也應(yīng)作出平面圖形,利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.,【變式訓(xùn)練】(2015·汕頭模擬)已知約束條件 表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的值為( ) A.1 B.-1 C.0 D.-2,【解析】選A.先作出不等式組 對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖：,要使陰影部分為直角三角形， 當(dāng)k=0時(shí)，此三角形的面積為 所以不成立， 所以k＞0，則必有BC⊥AB， 因?yàn)閤+y-4=0的斜率為-1， 所以直線kx-y=0的斜率為1，即k=1, 故選A．,【加固訓(xùn)練】(2014·郴州模擬)已知點(diǎn)P(x，y)滿足 則點(diǎn)Q(x+y，y)構(gòu)成的圖形的面積為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選B.設(shè)點(diǎn)Q(u，v)，則x+y=u，y=v， 則點(diǎn)Q(u，v)滿足,在uOv平面內(nèi)畫出點(diǎn)Q(u，v)所構(gòu)成的平面區(qū)域如圖， 它是一個(gè)平行四邊形，一邊長(zhǎng)為1，高為2， 故其面積為2×1=2．故選B．,考點(diǎn)2 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 知·考情 線性規(guī)劃問題以其獨(dú)特的表達(dá)形式成為不等式考查的重要內(nèi)容,在線性規(guī)劃中,通過最優(yōu)解求最值或求參數(shù)的取值范圍問題是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn),高考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1：已知約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值 【典例2】(2014·廣東高考)若變量x,y滿足約束條件 且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m－n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解題提示】畫出可行域，標(biāo)出邊界點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)動(dòng)直線的斜率為－2.,【規(guī)范解答】選B. 如圖,可行域是以 B(－1,－1),C(2,－1)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形， 所以當(dāng)動(dòng)直線z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)C(2,－1)時(shí)取得最大值3，經(jīng)過點(diǎn)B(－1,－1)時(shí)取得最小值－3，所以m－n=6.,命題角度2：已知目標(biāo)函數(shù)的最值，求參數(shù)的取值或取值范圍 【典例3】(2014·北京高考)若x,y滿足 且z=y－x 的最小值為-4，則k的值為( ) A.2 B.-2 C. D. 【解題提示】作出可行域，向右下平移l0:y-x=0判斷最小值.,【規(guī)范解答】選D.如圖，作出可行域，向右下平移l0過點(diǎn)A時(shí)，z 取 最小值，此時(shí) 所以 解得,命題角度3：已知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解的個(gè)數(shù)求參數(shù) 【典例4】(2014·安徽高考)x,y滿足約束條件 若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為( ),【解題提示】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識(shí),要使z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行,然后根據(jù)條件即可求出a的值. 【規(guī)范解答】選D.由線性約束條件可得其 圖象如圖所示,由圖象可知直線z=y-ax經(jīng) 過AB或AC時(shí)取得最大值的最優(yōu)解不唯一, 此時(shí)a=2或-1.,【一題多解】解答本題,還有以下解法: 選D.畫出可行域,如規(guī)范解答中圖所示,可知點(diǎn)A(0,2),C(2,0), B(-2,-2),則z(A)=2,z(C)=-2a,z(B)=2a-2. 要使對(duì)應(yīng)最大值的最優(yōu)解有無數(shù)組, 只要z(A)=z(B)z(C)或z(A)=z(C)z(B)或z(B)=z(C)z(A), 解得a=-1或a=2.,悟·技法 1.利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法 首先利用約束條件作出可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)找到最優(yōu)解時(shí)的點(diǎn),解得點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可. 2.利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其范圍的方法 利用約束條件作出可行域,通過分析可行域及目標(biāo)函數(shù)確定最優(yōu)解的點(diǎn),再利用已知可解參數(shù)的值或范圍.,3.利用可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法 畫出可行域,分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是斜率問題還是距離問題,依據(jù)幾何意義可求得最值.,通·一類 1.(2015·天津模擬)設(shè)變量x，y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值為( ),【解析】選B.由約束條件 作出可行域如圖， 由z=x-2y，得 由圖可知，當(dāng)直線 過可行域內(nèi) 點(diǎn)A時(shí)直線在y軸上的截距最小，z最大． 聯(lián)立 解得 即A(1，0)．所以目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值為1-2×0=1． 故選B．,2.(2015·杭州模擬)若x，y滿足約束條件 且z=kx+y取得最小值時(shí)的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，則k=( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2,【解析】選D.作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖(陰影部分). 由z=kx+y,得y=-kx+z, 若k=0,此時(shí)y=z,此時(shí)z只在B處取得最小值,不滿足條件.,若k0,則目標(biāo)函數(shù)的斜率-k0.平移直線y=-kx+z, 由圖象可知當(dāng)直線y=-kx+z和直線y=2x-2平行時(shí),此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè),此時(shí)-k=2,即k=-2. 綜上,k=1或k=-2.故選D.,【解析】選D.作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： w＝ 的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn) P(x，y)到定點(diǎn)A(0，-1)之間的斜率，由圖象 可知當(dāng)P位于點(diǎn)D(1，0)時(shí)， 直線AP的斜率最小，此時(shí) 的最小值為 故選D．,4.(2014·浙江高考)當(dāng)實(shí)數(shù)x,y滿足 時(shí)，1≤ax+y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.,【解析】作出不等式組 所表示的區(qū)域，由1≤ax+y≤4，由圖可知， a≥0且在(1,0)點(diǎn)取得最小值，在(2,1)點(diǎn)取得最大值，所以a≥1, 2a+1≤4，故a的取值范圍為 答案：,考點(diǎn)3 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 【典例5】某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力、煤和電如下表:,已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤(rùn)是7萬元,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤(rùn)是12萬元,現(xiàn)因條件限制,該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè),煤360噸,并且供電局只能供電200千瓦,試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn),才能獲得最大利潤(rùn)? 【解題提示】題目的設(shè)問是“該企業(yè)如何安排生產(chǎn),才能獲得最大利潤(rùn)”,這個(gè)利潤(rùn)是由兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)所決定的,因此A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤(rùn),故可以設(shè)出A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量,列不等式組并建立目標(biāo)函數(shù)求解.,【規(guī)范解答】設(shè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品分別為x噸,y噸,利潤(rùn)為z萬元, 依題意,得 目標(biāo)函數(shù)為z=7x+12y. 作出可行域,如圖中陰影部分. 當(dāng)直線7x+12y=0向右上方平行移動(dòng)時(shí),經(jīng)過M時(shí)z取最大值.,解方程組 因此,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24). 所以該企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時(shí),才能獲得最大利潤(rùn).,【規(guī)律方法】解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟 (1)分析題意,設(shè)出未知量. (2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù). (3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解. (4)作答.,【變式訓(xùn)練】農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表 為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)=總銷售收入-總種植成本)最大,則黃瓜和韭菜的種植面積分別是多少畝?,【解析】設(shè)種植黃瓜x畝,韭菜y畝, 由題意得 即 設(shè)總利潤(rùn)為z,則z=x+0.9y. 作可行域如圖所示,,由 得A(30,20). 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移,移至點(diǎn)A(30,20)處時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,即當(dāng)黃瓜種植30畝,韭菜種植20畝時(shí),種植總利潤(rùn)最大. 所以,黃瓜和韭菜分別種植30畝、20畝時(shí),一年的種植總利潤(rùn)最大.,【加固訓(xùn)練】(2015·江門模擬)甲、乙兩校計(jì)劃周末組織學(xué)生參加敬老活動(dòng),甲校每位同學(xué)往返車費(fèi)是5元,每人可為3位老人服務(wù),乙校每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元,每人可為5位老人服務(wù),兩校都有學(xué)生參加,甲校參加活動(dòng)的學(xué)生比乙校至少多1人,且兩校同學(xué)往返總車費(fèi)不超過45元.如何安排甲、乙兩校參加活動(dòng)的人數(shù),才能使受到服務(wù)的老人最多?受到服務(wù)的老人最多是多少?,【解析】設(shè)甲、乙兩校參加活動(dòng)的人數(shù)分別為x,y, 受到服務(wù)的老人的人數(shù)為z=3x+5y, 依題意,x,y應(yīng)滿足的約束條件為 可行域?yàn)閳D中陰影部分中的整點(diǎn),,畫直線l0:3x+5y=0,并向右上方平移l0到l,當(dāng)l經(jīng)過可行域的某點(diǎn),這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目標(biāo)函數(shù)取最大值. 解方程組 得 M(6,5)滿足約束條件, 因此,當(dāng)x=6,y=5時(shí),z取最大值, zmax=3×6+5×5=43. 答:甲、乙兩校參加活動(dòng)的人數(shù)分別為6和5時(shí),受到服務(wù)的老人最多,最多為43人.,自我糾錯(cuò)15 求非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題 【典例】(2015·保定模擬)已知 則x2+y2的最大值為 ___,最小值為___.,【解題過程】,【錯(cuò)解分析】分析上面解題過程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:解題過程中誤將求可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最值認(rèn)為是求三點(diǎn)A,B,C到原點(diǎn)的距離的平方的最值.,【規(guī)避策略】 1.準(zhǔn)確作圖 在利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)首先要利用約束條件作出可行域,一定要準(zhǔn)確,特別是邊界一定要明確是否包含. 2.準(zhǔn)確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 在求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí),一定要準(zhǔn)確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用其幾何意義結(jié)合可行域準(zhǔn)確解題.,【自我矯正】不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示 △ABC的內(nèi)部(包括邊界),,令z=x2+y2,則z即為點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方. 由 得A點(diǎn)坐標(biāo)(4,1), 此時(shí)z=x2+y2=42+12=17, 由 得B點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-6), 此時(shí)z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,,由 得C點(diǎn)坐標(biāo)(-3,2), 此時(shí)z=x2+y2=(-3)2+22=13, 而在原點(diǎn)處, 此時(shí)z=x2+y2=02+02=0, 所以當(dāng) 時(shí)x2+y2取得最大值37, 當(dāng) 時(shí)x2+y2取得最小值0. 答案:37 0,