《河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》5-2特征值與特征向量》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》5-2特征值與特征向量（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、說 明 .,0.1言的特征值問題是對方陣而特征向量x .0 ,0- ,.2 的特征值都是矩陣的即滿足方程值有非零解的就是使齊次線性方程組的特征值階方陣A AExAE An . , , 1 的 特 征 向 量的 對 應(yīng) 于 特 征 值稱 為量 非 零 向的 特 征 值稱 為 方 陣這 樣 的 數(shù)那 末成 立使 關(guān) 系 式 維 非 零 列 向 量和如 果 數(shù)階 矩 陣是設(shè)定 義 Ax AxAx xnnA 0.3 AE 021 22221 11211 nnnn nnaaa aaa aaa . 0n 的特征方程為矩陣次方程為未知數(shù)的一元稱以A AE . n,)( 的特征多項式為方陣次多項式，稱其的它是
2、記A AEf 則有的特征值為階方陣設(shè), ,.4 21n ijaAn ;)1( 221121 nnn aaa .)2( 21 An 解例 1 .31 13的特征值和特征向量求 A的特征多項式為A 31 13 13 2 )2)(4(862 .4,2 21 的特征值為所以A ,00321 132 ,2 211 xx對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足時當(dāng) .0,021 21 xx xx 即,21 xx 解得.11 1 p取為所以對應(yīng)的特征向量可,0011 11,00341 134 ,4 21212 xxxx即由時當(dāng) .11 , 221 pxx取為所以對應(yīng)的特征向量可解得 例 .201 034 011的特征值和特征向
3、量求矩陣A解 ,)1)(2(201 034 011 2 AE A的特征多項式為.1,2 321 的特征值為所以A由解方程時當(dāng).0)2(,2 1 xAE ,000 010 001001 014 0132 AE ,1001 p 得基礎(chǔ)解系.2)0( 11的全部特征值是對應(yīng)于所以 kpk由解方程時當(dāng).0)(,1 32 xAE ,000 210 101101 024 012 AE ,1212 p 得基礎(chǔ)解系.1)0( 322的全部特征值是對應(yīng)于所以 kpk 例 設(shè),314 020 112 A求A的特征值與特征向量解 314 020 112 AE ,2)1( 2 02)1( 2 令.2,1 321 的特
4、征值為得A 由解方程時當(dāng).0-,11 xAE ,000 010 101414 030 111 AE ,1011 p得基礎(chǔ)解系的全體特征向量為故對應(yīng)于11 ).0( 1 kpk 由解方程時當(dāng).02,232 xAE ,000 000 114114 000 1142 AE得基礎(chǔ)解系為：,401p ,041 32 p :232的全部特征向量為所以對應(yīng)于 ).0,( 323322不同時為kk pkpk 定理1：若 是矩陣A的特征值， 是A的屬于的特征向量，則 x .kkAk)1(是任意常數(shù)的特征值是）的特征值；（）是（則）（）（設(shè)A EaAaAaA aaa mmmm mmmm 011 011)3( .A
5、,A)4( 11的特征值是可逆時當(dāng) .mA)2( mm是任意常數(shù)的特征值是 .)5( * *的特征向量的對應(yīng)于且仍是的特征值，的伴隨矩陣是可逆時，當(dāng) AAx AAAA ., ,., , 2 21 21 2121線性無關(guān)則各不相等如果向量依次是與之對應(yīng)的特征個特征值的是方陣設(shè)定理m mm m pppp ppmA 注 意.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；一個特征向量不能屬于不同的特征值 即有的特征向量的的屬于特征值同時是如果設(shè)因為, ,21 21 Ax xAxxAx 21 , xx 21 ,021 x ,021 由于,0 x則.與定義矛盾 求 矩 陣 特 征 值 與 特 征 向 量 的 步 驟 ： ; .1 AEA 的特征多項式計算;, ,0 .2 21的全部特征值就是的全部根求特征方程A AEn ., 0 , .3 的特征向量就是對應(yīng)于的非零解求齊次方程組對于特征值 ii i xAE
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